巴斌,鄭娜娥,朱世磊,胡捍英

(解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院,450001,鄭州)

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利用蒙特卡羅的最大似然時延估計算法

巴斌,鄭娜娥,朱世磊,胡捍英

(解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院,450001,鄭州)

針對最大似然時延估計算法的峰值搜索計算復雜度較高且容易陷入局部收斂,造成估計誤差較大的問題。提出了一種利用蒙特卡羅的最大似然時延估計(MCML)算法。首先利用信道頻域響應估計矢量建立似然函數(shù);然后把時延估計問題轉化為求解隨機變量的期望問題,將采用指數(shù)化似然函數(shù)構造的標準化概率密度函數(shù)趨近于沖激函數(shù),使得隨機變量的方差趨近于零;最后采用蒙特卡羅方法對隨機變量進行抽樣,從而利用抽樣的均值估計出時延。較之傳統(tǒng)方法,蒙特卡羅方法避免了網格搜索,降低了計算復雜度,保證了全局收斂性和估計精度。仿真結果表明:在信噪比0～25 dB的條件下,MCML算法均能始終逼近克拉美羅界;當信噪比為25 dB時,MCML算法的時延估計分布范圍縮小為馬爾科夫鏈蒙特卡羅算法的34%。

最大似然;蒙特卡羅;時延估計;克拉美羅界

在定位系統(tǒng)中,測量端通過接收輻射源信號精確估計到達時間(time of arrival, TOA),從而實現(xiàn)高精度目標定位[1]。因此,TOA估計一直都是國內外十分關注的研究熱點,其中超分辨TOA估計技術是研究的重點。該項技術被廣泛應用于聲吶、雷達[2]和通信中的目標定位[3]等各個領域。

超分辨TOA估計算法主要包括兩類:子空間類估計算法和最大似然估計算法。子空間類估計算法包括最小范數(shù)譜估計算法[4]、多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[5-6]、傳播算子算法(propagator method, PM)[7]、求根MUSIC算法[8]、旋轉不變技術估計信號參數(shù)(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[9]等。這些算法在較為理想的應用環(huán)境中具有較好的估計性能,但是在惡劣環(huán)境下,特別是低信噪比條件下,算法的性能會有所降低。最大似然估計算法被公認為最佳估計算法,不僅在高信噪比時性能逼近克拉美羅界(Cramer-Rao bound, CRB),并且在低信噪比時也具有很好的性能。然而,最大似然估計算法需要進行網格搜索,計算量巨大,工程上難以實現(xiàn)。

為了解決最大似然時延估計算法計算量巨大的問題,必須采用新的信號處理方法。蒙特卡羅(Monte Carlo, MC)方法是一類非常重要的數(shù)值計算方法,但與一般的數(shù)值計算方法有本質區(qū)別,它依據(jù)概率論中的大數(shù)定律,采用統(tǒng)計抽樣理論近似求解數(shù)學問題。文獻[10]利用MC方法對熱輻射輸運問題進行隱式求解。文獻[11]利用可逆跳轉馬爾科夫鏈蒙特卡羅(reversible jump Markov Chain Monte Carlo, RJMCMC)算法可以同時解決檢測和估計問題,該算法需要在所有的參數(shù)子空間上跳轉,因此效率低、計算量巨大。文獻[12]和文獻[13]利用蒙特卡羅重要性采樣的方法實現(xiàn)多徑條件下的最大似然時延估計,進而將蒙特卡羅思想引入到了到達時間差(time difference of arrival, TDOA)估計中。文獻[14]將馬爾科夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo, MCMC)應用于無源雷達系統(tǒng)中的最大似然TDOA估計,對于單快拍條件下的TOA估計具有重要的借鑒意義。然而,文獻[10-14]中的蒙特卡羅方法雖然解決了相應的問題,但是約束條件較多。

本文利用信道頻域響應估計建立信號模型,受約束的條件更少,并且充分利用了單徑條件下似然函數(shù)可以簡化計算的特性。相比于文獻[14]的MCMC方法,本文蒙特卡羅直接抽樣方法所需的抽樣點數(shù)更少,時延估計精度更高。

為減少約束條件,并簡化計算,本文推導了TOA估計的似然函數(shù),構建了標準化概率密度函數(shù),利用MC方法對標準化概率密度函數(shù)進行直接抽樣,并通過計算樣本均值得到TOA估計值,最后,通過仿真對比MCML算法與MUSIC算法及MCMC算法的估計性能并分析了計算復雜度。

1 信號模型

為了分析接收信號的頻譜,實現(xiàn)時延估計,接收端必須準確已知發(fā)送端發(fā)送信號的時間。在空曠的室外環(huán)境下,收發(fā)兩端可以通過GPS實現(xiàn)時間同步。在城市峽谷或者室內環(huán)境,由于GPS信號微弱,因此收發(fā)兩端無法通過GPS實現(xiàn)時間同步。時延估計的目的主要是用來完成無線電測距,而無線電測距可以通過測量飛行時間的方式來實現(xiàn)。例如,發(fā)送端在發(fā)送的信號中標記本地時間戳t1,接收端收到信號并在反饋信號中標記本地接收時間戳t2和發(fā)送反饋信號時間戳t3,發(fā)送端收到反饋信號后記錄時間t4,那么[(t4-t1)-(t3-t2)]/2即為信號由發(fā)送端到接收端的空中飛行時間,飛行時間乘以光速即為兩端的距離。t1和t4、t2和t3分別共時間基準,飛行時間的計算利用時間差避免了收發(fā)兩端的時間同步。

在定位系統(tǒng)中,無線信道脈沖響應可以建模為

(1)

式中:a=|a|ejφ為無線信道的復衰落系數(shù),|a|為幅度,φ為相位并在區(qū)間(0,2π)上服從均勻分布[6],記為φ～U(0,2π);τ為傳播時延,即TOA;δ表示沖激函數(shù)。對式(1)進行傅里葉變換,信道響應的頻域表示形式為

(2)

式中:f為頻率域。

信號模型利用頻域信道響應進行TOA估計。信道頻域響應的離散采樣在不同的系統(tǒng)中可以采用不同的方法獲得,如在正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)系統(tǒng)中采用多載波解調技術,在直接序列擴頻系統(tǒng)中采用接收信號解卷積方法等。

對頻域信道響應H(f)進行K個等頻率間隔采樣,考慮到測量過程中的加性高斯白噪聲,頻域信道響應的離散采樣可以表示為

x(k)=H(k)+w(k)=ae-j2π(fc+kΔf)τ+w(k)

(3)

式中:k=0,1,…,K-1;fc為載波頻率;Δf為頻域采樣間隔;w(k)表示均值為0、方差為σ2的加性復高斯白噪聲,記為w(k)～N(0,σ2)。信號模型的矢量形式可以表示為

(4)

式中:x=[x(0),x(1),…,x(K-1)]T和H=[H(0),H(1),…,H(K-1)]T分別為頻域信道估計矢量和頻域信道響應矢量。為簡化計算,并在下文的求導過程中消除無關參數(shù),定義α=ae-j2πfcτ、V(τ)=[1,e-j2πΔfτ,…,e-j2πΔf(K-1)τ]T為導向矢量,w=[w(0),w(1),…,w(K-1)]T為加性復高斯白噪聲矢量。

由式(4)和噪聲的相關假設,似然函數(shù)可以表示為

(5)

(6)

為了簡化時延估計過程,首先消除無關參數(shù)α,得到近關于時延的似然函數(shù)。由于p(x|τ,α)是τ和α的聯(lián)合分布函數(shù),并且α為二次形式,可以通過求偏導的方法得到α關于τ的估計值解析式

(7)

將式(7)代入式(5),取對數(shù),并去掉常數(shù)部分,可得τ的似然函數(shù)

(8)

由于

(9)

式(8)可以化簡為

(10)

式(10)是關于時延τ的表達式,從而簡化了似然函數(shù)。通過以上分析,信號的處理流程如圖1所示。

圖1 信號處理流程圖

2 蒙特卡羅時延估計算法

為了計算似然函數(shù)L(τ)的全局最大值,首先對L(τ)取指數(shù)得到指數(shù)似然函數(shù),使得指數(shù)似然函數(shù)更加尖銳;其次利用指數(shù)似然函數(shù)構造標準化概率密度函數(shù),標準化概率密度函數(shù)趨近于沖激函數(shù),并且其峰值所對應的時延(等價于標準化概率密度函數(shù)的期望)即為時延估計;然后進行隨機抽樣并利用統(tǒng)計平均代替積分得到時延估計,由于標準化概率密度函數(shù)趨近于沖激函數(shù),因此抽樣方差趨近于零,從而保證全局收斂和高精度的時延估計。

2.1 似然函數(shù)的全局最大值

為了使樣本均值逼近全局最大值,根據(jù)文獻[13],對似然函數(shù)L(τ)取指數(shù)能夠使分布函數(shù)更加尖銳,從而使估計更加精確。定義指數(shù)似然函數(shù)

(11)

式中:ρ為常數(shù)。

(12)

式中:J表示時延搜索區(qū)間。

定義標準化概率密度函數(shù)

(13)

(14)

由于fρ0(τ)趨近于沖激函數(shù),因此對fρ0(τ)的抽樣方差趨近于0,從而不僅保證了全局收斂,還保證了時延估計的高精度。

(15)

2.2 隨機抽樣方法

(16)

式中:n=1,2,…,N。

對式(16)進行隨機抽樣,首先利用均勻分布U(0,1)生成矢量u=[u1,u2,…,uM],計算τi=F-1(ui)。其中,F-1(·)是概率累積分布函數(shù)的逆函數(shù),F(x)定義如下

(17)

根據(jù)式(16),概率累積分布函數(shù)可以表示為

(18)

式中:n=1,2,…,N。

逆函數(shù)F-1(x)的閉式表達式不易獲得,因此第m次采樣的抽樣公式為

(19)

2.3 算法步驟

由以上推導與分析,MCML算法的流程可以歸納如下:

(2)利用均勻分布U(0,1)生成矢量u=[u1,u2,…,uM];

(3)根據(jù)式(19)得到M次抽樣τ(m),其中m=1,2,…,M;

（1）加快企業(yè)現(xiàn)金流出。根據(jù)權責發(fā)生制，企業(yè)賒銷所獲得的收入全部記入當期收入，企業(yè)通過賒銷獲得了相應的經濟收益，企業(yè)當期納稅義務隨之產生，企業(yè)當期并沒有獲得現(xiàn)金的流入，卻要幫客戶墊付各項稅費，這就導致了現(xiàn)金流出企業(yè)，應收賬款的產生增加了企業(yè)的費用，企業(yè)管理這些應收賬款所需要支付的成本都加快了企業(yè)現(xiàn)金的流出。

3 克拉美羅界

克拉美羅界給出了無偏估計子的均方誤差下界,下面給出模型相應的克拉美羅界。為了便于計算,同時不失一般性,對公式(5)取對數(shù),從而將指數(shù)形式轉化為求和形式

lnplnp(x|τ,α)=-Kln(2π)-Kln(σ2/2)-

(20)

定義αRe和αIm分別表示α的實部和虛部,即αRe=Reα,αIm=Imα?？死懒_界可以利用Fisher信息矩陣(Fisher information matrix, FIM)求得。FIM可以定義為E(γγT),γ=?lnp/?[σ2,αRe,αIm,τ]。因此,在求克拉美羅界時,需要首先計算出lnp對σ2、αRe、αIm和τ的一階偏導數(shù),可得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中

(25)

根據(jù)文獻[16],利用式(21)～式(24),可得E(γγT)中的元素

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

根據(jù)FIM矩陣及文獻[16],τ的克拉美羅界Bcrb(τ)滿足下式

(33)

4 仿真實驗及性能分析

4.1 仿真實驗

為了評估MCML算法的性能,將在OFDM系統(tǒng)下,本節(jié)對MCML算法與文獻[6]中的MUSIC時延估計算法、文獻[14]中的MCMC時延估計算法以進行對比分析。最后對以上算法的計算復雜度進行比較分析。仿真采用高斯信道,信道復衰落系數(shù)的幅度|a|設置為1,傳播時延τ設置為200 ns。OFDM系統(tǒng)仿真參數(shù)設置如表1所示。

表1 OFDM系統(tǒng)參數(shù)設置

首先定義信噪比(signal to noise ratio, SNR)

(34)

定義均方誤差(mean square error, MSE):

(35)

仿真1 似然函數(shù)與指數(shù)似然函數(shù)性能對比?？紤]到ρ0取值較大時計算溢出,分別取ρ0=1和ρ0=5時的指數(shù)似然函數(shù)與似然函數(shù)的歸一化結果進行對比,2種函數(shù)的性能對比結果如圖2～圖4所示。

從圖2～圖4可以看出,指數(shù)似然函數(shù)全局最大值明顯突出,曲線非常尖銳。對比ρ0=1和ρ0=5時的歸一化指數(shù)似然函數(shù)可以發(fā)現(xiàn),隨著ρ0的增大,歸一化指數(shù)似然函數(shù)變得更加尖銳,逼近沖激函數(shù)。歸一化指數(shù)似然函數(shù)越尖銳,表示時延隨機變量的方差越小,從而利用隨機抽樣平均進行時延估計的誤差越小。

圖2 歸一化后的似然函數(shù)

圖3 ρ0=1時歸一化后的指數(shù)似然函數(shù)

圖4 ρ0=5時歸一化后的指數(shù)似然函數(shù)

仿真2 MCML算法與文獻[6]和文獻[14]算法性能對比。參數(shù)設置為:樣本數(shù)M=2 000,做1 000次獨立統(tǒng)計實驗。考慮到ρ0取值較大時計算溢出,取ρ0=5。這是由于當ρ0=5時,歸一化指數(shù)似然函數(shù)已經足夠尖銳。

由圖5可以看出,隨著信噪比的增大,MUSIC算法和MCML算法估計的均方誤差迅速減小,而MCMC算法在高信噪比時的均方誤差變化趨于平緩。

圖5 時延估計性能比較

對于MUSIC算法,由于單快拍下協(xié)方差矩陣的秩為1,無法分解出信號子空間和噪聲子空間,因此需要采用頻域平滑使協(xié)方差矩陣滿秩。頻域平滑導致有效帶寬減小,從而導致時延估計方差始終與CRB有一定距離。

對于MCMC算法,由于馬爾科夫鏈具有一定的拒絕概率,因此,在高信噪比下為了提高時延的估計精度,需要增大馬爾科夫鏈的樣本點。MCMC算法的樣本點條件與MCML算法相同。

MCML算法由于利用直接抽樣的方法,始終能夠保證抽樣均勻分布于整個歸一化后的指數(shù)似然函數(shù)時延區(qū)間。并且ρ0=5時,歸一化后的指數(shù)似然函數(shù)逼近沖激函數(shù),因此抽樣平均的方差更小,時延估計精度更高。因此當信噪比在0dB到25dB的條件下,MCML算法均能始終逼近克拉美羅界。

仿真3MCML算法與文獻[14]算法時延估計分布。仿真參數(shù)設置與仿真2一致,對比MCML算法與MCMC算法時延估計的散布圖。

圖6給出了MCML算法與MCMC算法的時延估計散布圖。從圖中可以看出,隨著信噪比的提高,MCML算法與MCMC算法的時延估計值分布趨于緊密,估計誤差逐漸縮小;在信噪比較小時,MCML算法時延估計的分布范圍與MCMC算法相當;在信噪比較大時,MCML算法的時延分布范圍明顯小于MCMC算法。當信噪比為25dB時,MCML算法的時延估計分布范圍縮小為MCMC算法的34%。因此MCML算法的時延估計精度優(yōu)于MCMC算法。

圖6 MCML算法與MCMC算法的時延估計散布圖

4.2 復雜度分析

通過仿真實驗與性能分析可知,雖然MCML算法的計算復雜度略高于文獻[14]算法,但其估計精度卻大幅度提高,并且信噪比在0 dB到25 dB的條件下,均能始終逼近克拉美羅界。當信噪比為25 dB時,MCML算法的時延估計分布范圍縮小為MCMC算法的34%。

5 總 結

在定位系統(tǒng)中,最大似然時延估計的均方誤差具有逼近克拉美羅界的性能,但是計算復雜度較大。針對該問題,給出了一種基于蒙特卡羅的最大似然時延估計算法。并給出了標準化概率密度函數(shù)、隨機抽樣方法、模型的克拉美羅界以及計算復雜度分析。算法利用直接抽樣蒙特卡羅方法將統(tǒng)計平均代替積分,實現(xiàn)了最大似然時延估計,從而使估計結果均方誤差始終逼近克拉美羅界。

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(編輯 劉楊)

A Maximum Likelihood Time Delay Estimation Algorithm Using Monte Carlo Method

BA Bin,ZHENG Na’e,ZHU Shilei,HU Hanying

(Institute of Navigation and Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

A maximum likelihood time delay estimation algorithm using Monte Carlo method (MCML) is proposed to solve the problems that the maximum likelihood delay algorithm has high computational complexity due to peak searching and is easy to fall into local convergence. A likelihood function is constructed by using the channel response estimation vector in frequency domain. Then the MCML translates the time delay estimation into the expectation of a random variable, and a standardization probability density function is built from the index likelihood function to approximate an impulse function, and to make the variance of the random variable approach zero. Finally, the random variable is sampled using the Monte Carlo method, and the time delay is estimated from sampling mean. Compared with the traditional methods, the MCML avoids the grid search, reduces the computational complexity, and ensures the global convergence and estimation accuracy. Simulation results show that the MCML is always close to Cramer-Rao bound, and the time delay estimation range of the MCML is 34% of the MCMC’s range when the signal to noise ratio is from 0 dB to 25 dB.

maximum likelihood; Monte Carlo; time delay estimation; Cramer-Rao bound

2015-01-16。 作者簡介:巴斌(1987—),男,博士生;胡捍英(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家高技術研究發(fā)展計劃資助項目(2012AA01A502,2012AA01A505)。

時間:2015-07-22

10.7652/xjtuxb201508005

TN911.7

A

0253-987X(2015)08-0024-07

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150722.1638.001.html