伍小鐵

（湖南省新田水文站 郴州市 425700）

李正最

（湖南省水文水資源勘測(cè)局 長(zhǎng)沙市 410007）

洞庭湖是長(zhǎng)江中游典型的吞吐型調(diào)蓄湖泊，隨著三峽工程的建設(shè)與運(yùn)行，其防洪功能已顯著提高[1,2]，但與此同時(shí)其徑流與輸沙量關(guān)系也發(fā)生了很大變化[3,4]。為了探明洞庭湖水沙出入湖量變化和相互關(guān)系，選擇合適的模擬方法非常重要。目前投影尋蹤回歸（PPR）[5，6]和支持向量機(jī)（SVM）模型[7,8]均已成功運(yùn)用到多個(gè)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域，但很少有人將這兩種模型進(jìn)行比較。本文根據(jù)洞庭湖的系列實(shí)測(cè)水文資料，將洞庭湖徑流與輸沙量關(guān)系看作是一種多路水沙交互作用的復(fù)雜的小樣本和非線(xiàn)性問(wèn)題，基于PPR 和SVM 模型對(duì)洞庭湖徑流與輸沙量關(guān)系進(jìn)行了模擬與驗(yàn)證，并對(duì)模擬誤差進(jìn)行了對(duì)比。

1 投影尋蹤回歸（PPR）和支持向量機(jī)（SVM）原理

1.1 投影尋蹤回歸（PPR）

投影尋蹤是用于分析和處理非正態(tài)、非線(xiàn)性數(shù)據(jù)的一種新方法，其基本思想是：利用計(jì)算機(jī)技術(shù)，把高維數(shù)據(jù)通過(guò)某種組合投影到低維子空間上，并通過(guò)極小化某個(gè)投影指標(biāo)，尋找出能反映原數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或特征的投影，以達(dá)到研究和分析高維數(shù)據(jù)的目的。投影尋蹤回歸模型如下：

設(shè)y=f（X）和X=（x1，x2，…，xp）分別為一維和p維隨機(jī)變量，為了客觀反映高維非線(xiàn)性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，投影尋蹤回歸采用一系列嶺函數(shù)的“和”去逼近回歸函數(shù)，即：

式中：Gm（Zm）為第m 個(gè)嶺函數(shù)；M 為嶺函數(shù)的個(gè)數(shù)；Zm=aTmX 為嶺函數(shù)的自變量，它是p 維隨機(jī)變量X 在am方向上的投影；am為投影方向。

投影尋蹤回歸模型仍然采用最小二乘法作為極小化判別準(zhǔn)則，即以式（1）中的參數(shù)amj、Gm和嶺函數(shù)個(gè)數(shù)M 的適當(dāng)組合，使下式

達(dá)到極小。

當(dāng)前，建立投影尋蹤回歸模型一般均采用Friedman 和Stuetzle 提出的多重平滑回歸技術(shù)方法。設(shè)非線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：r 為多項(xiàng)式的階數(shù)，C 為多項(xiàng)式系數(shù)，hm表示正交的契比雪夫多項(xiàng)式，采用遞推形式計(jì)算：

根據(jù)樣本值估計(jì)式（2）中的參數(shù)，確定回歸函數(shù)f（X）進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)。對(duì)于式（1）中的非線(xiàn)性系統(tǒng)模型，實(shí)現(xiàn)投影尋蹤回歸的步驟如下：

step1：確定嶺函數(shù)的個(gè)數(shù)M。

step2：選擇M 個(gè)彼此正交的投影方向a1，a2，…，aM，建立初步回歸模型：

step3：分組優(yōu)化。即將amj（j=1，2，…，p）和Gm[即hmi（i=0，1，…，r）]劃為一組，m=1，2，…，M，共有M組。除去其中一組外，對(duì)另外的M-1 組用step2 中得到的值作為初值，對(duì)留下的一組參數(shù)尋優(yōu)。求得結(jié)果后。把這一組參數(shù)的極值點(diǎn)作為初值，另選一組參數(shù)尋優(yōu)，反復(fù)多次直到最后選取的一組參數(shù)值，使式（1）不再減小為止。

step4：參數(shù)處理，并輸出回歸模型：

1.2 支持向量機(jī)（SVM）回歸

支持向量機(jī)的基本思想是用少數(shù)支持向量代表整個(gè)樣本集，本質(zhì)上是通過(guò)某一事先選擇好的非線(xiàn)性函數(shù)φ（·）將訓(xùn)練集數(shù)據(jù)X 映射到一個(gè)高維線(xiàn)性特征空間H，在這個(gè)維數(shù)可能為無(wú)窮大的線(xiàn)性空間中按結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理構(gòu)造最優(yōu)分類(lèi)面。并利用原空間的核函數(shù)取代了高維特征空間ω 和Φ（x）的點(diǎn)積運(yùn)算，從而避免了復(fù)雜的點(diǎn)積計(jì)算。對(duì)于給定的樣本數(shù)據(jù)集{（xi，yi）|i=1，2，…，l} ，其中xi為輸入值，yi為預(yù)測(cè)值。要求擬合的函數(shù)形式為：

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)化最小原則即要尋求最優(yōu)回歸超平面使：

式中：C 為調(diào)節(jié)訓(xùn)練誤差和模型復(fù)雜度之間折中的正則化常數(shù)； ε 為不靈敏損失函數(shù)。則支持向量機(jī)的回歸問(wèn)題就等價(jià)于解決一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題為：

SVM 用來(lái)估計(jì)回歸函數(shù)時(shí)，常分為線(xiàn)性和非線(xiàn)性擬合回歸兩類(lèi)。由上式可求得線(xiàn)性回歸函數(shù)為：

對(duì)于非線(xiàn)性的情況，引入核函數(shù)即可。此時(shí)求得的是非線(xiàn)性回歸函數(shù)為：

其中K（x，xi）=φ（x）φ（xi）稱(chēng)為核函數(shù)。核函數(shù)的選擇必須滿(mǎn)足Mercer 條件，常見(jiàn)的核函數(shù)有：

（1）多項(xiàng)式核函數(shù)。

此時(shí)的SVM 是一個(gè)σ 階多項(xiàng)式分類(lèi)器。

（2）徑向基函數(shù)。

此時(shí)的SVM 是一種徑向集函數(shù)分類(lèi)器。

（3）Sigmoid 核函數(shù)。

此時(shí)的SVM 是一個(gè)單隱層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

目前最常見(jiàn)的支持向量機(jī)是Suykens J.A.K 于1999年提出了最小二乘支持向量機(jī)，采用二次規(guī)劃方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的支持向量機(jī)來(lái)解決函數(shù)估計(jì)問(wèn)題。最小二乘支持向量機(jī)在利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)原則時(shí)，在優(yōu)化目標(biāo)中選取了不同的損失函數(shù)。核函數(shù)參數(shù)σ 和最小二乘支持向量機(jī)參數(shù)的取值對(duì)模型的推廣預(yù)測(cè)能力有很大的影響，若取值不當(dāng)，均會(huì)增大模型誤差，其取值通常是采用試算法或經(jīng)驗(yàn)法，本文采用混沌優(yōu)化算法對(duì)峰值識(shí)別最小二乘支持向量機(jī)模型的參數(shù)σ、C 進(jìn)行優(yōu)化選取。

2 洞庭湖水沙模擬與比較分析

2.1 研究區(qū)概況與數(shù)據(jù)來(lái)源

洞庭湖位于湖南北部、長(zhǎng)江荊江南岸，跨越湘鄂兩省。北面有松滋、太平、藕池和調(diào)弦口（于1958年封堵），分瀉長(zhǎng)江水沙，南有湘、資、沅、澧四水匯入，周邊汩羅江、新墻河等中小河流直接入湖，經(jīng)洞庭湖調(diào)蓄，于城陵磯匯入長(zhǎng)江，是長(zhǎng)江中下游重要的調(diào)蓄型湖泊，對(duì)分瀉荊江洪水和保障下游徑流供給起著十分顯著的作用，洞庭湖河網(wǎng)水系結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1。新中國(guó)成立以來(lái)，長(zhǎng)江中游河段經(jīng)歷了調(diào)弦口封堵、下荊江系統(tǒng)裁彎取直、葛洲壩和三峽水庫(kù)建成發(fā)電等；湖南省湘、資、沅、澧四水流域包括柘溪、五強(qiáng)溪等干流骨干性工程在內(nèi)的13 000 多座各種水利工程和水土保持工程，但是一些工程并沒(méi)有取得預(yù)期效果，如下荊江裁彎工程等[9]。

本研究的水文泥沙數(shù)據(jù)來(lái)源于洞庭湖區(qū)水文年鑒和主要水文站監(jiān)測(cè)資料。

圖1 洞庭湖區(qū)河網(wǎng)水系結(jié)構(gòu)

2.2 模型整體結(jié)構(gòu)

洞庭湖水沙系統(tǒng)具有十分明顯的非線(xiàn)性特征，因此在建模的具體手段上分別選用投影尋蹤回歸和支持向量機(jī)兩種方法。用1956～2004年洞庭湖區(qū)水沙序列進(jìn)行模型擬合，以2005～2008年洞庭湖區(qū)水沙序列進(jìn)行模型檢驗(yàn)。洞庭湖出口城陵磯站的徑流量和輸沙量可簡(jiǎn)單地表述為以下非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)，即：

式中：Qd為城陵磯出口斷面的徑流量；Sd為城陵磯出口斷面的泥沙；Qu為四水入流量；Su為四水來(lái)沙量；Qλ為三口分流量；Sλ三口分沙量，q 為區(qū)間產(chǎn)水量；V 為洞庭湖調(diào)蓄量；X地形為洞庭湖區(qū)地形特性；φ（·）為水量交換作用函數(shù)，Ψ（·）為水沙交互作用函數(shù)。

由于洞庭湖區(qū)域水下地形變化較大，加之城陵磯以上區(qū)域尚有3.96×104km2無(wú)水文站網(wǎng)控制，區(qū)間產(chǎn)水產(chǎn)沙量尚存在很大的不確定性。因此在建模時(shí)不宜直接涉及區(qū)間產(chǎn)流產(chǎn)沙和調(diào)蓄變化的計(jì)算。綜合考慮洞庭湖河網(wǎng)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和水文資料獲取的可能性，水沙交互模型的具體輸入輸出處理如下：

（1）以荊江三口新江口、沙道觀、彌砣寺、管家鋪、康家崗5 個(gè)水文站和湘、資、沅、澧四水的湘潭、桃江、桃源、石門(mén)4 個(gè)控制站的徑流作為系統(tǒng)輸入，以城陵磯站徑流作為系統(tǒng)輸出，建立洞庭湖水量交換模型；

（2）以荊江三口新江口、沙道觀、彌砣寺、管家鋪、康家崗5 個(gè)水文站和湘、資、沅、澧四水的湘潭、桃江、桃源、石門(mén)4 個(gè)控制站的徑流和泥沙，以及洞庭湖水量交換模型的輸出作為系統(tǒng)輸入，以城陵磯站泥沙作為系統(tǒng)輸出，建立洞庭湖水沙交互模型。

2.3 模擬與預(yù)測(cè)誤差

按照建模序列和檢驗(yàn)序列，分別統(tǒng)計(jì)兩種模型的最大誤差和絕對(duì)平均誤差。因檢驗(yàn)序列過(guò)短不宜獨(dú)立計(jì)算誤差標(biāo)準(zhǔn)差，故按建模序列和檢驗(yàn)序列合并計(jì)算。主要誤差指標(biāo)計(jì)算公式如下：

式中：ei為第i 個(gè)樣本的擬合（預(yù)報(bào)）誤差；yi為第i 個(gè)樣本實(shí)測(cè)值；yi為第i 個(gè)樣本擬合或預(yù)測(cè)值；emax為最大擬合或預(yù)報(bào)誤差；max（·）為取大運(yùn)算符；ABS（·）為絕對(duì)值運(yùn)算符；emean為平均絕對(duì)誤差；Se為誤差標(biāo)準(zhǔn)差；n 為樣本總數(shù)。

對(duì)上述建立的二種模型分別進(jìn)行回顧檢驗(yàn)和外推預(yù)報(bào)，以式（17）計(jì)算相對(duì)誤差，誤差分布情況見(jiàn)圖2。對(duì)于所建立的二種模型，用城陵磯站年徑流和年輸沙量按式（17）～（20）統(tǒng)計(jì)誤差，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3。

2.4 結(jié)果比較分析

圖2 洞庭湖徑流與輸沙量關(guān)系模型擬合與檢驗(yàn)誤差分布

圖3 洞庭湖徑流與輸沙量關(guān)系擬合與檢驗(yàn)誤差統(tǒng)計(jì)

從圖2 和圖3 可以看出，所建立的兩種模型均具備一定的復(fù)雜系統(tǒng)仿真能力。而就模型的類(lèi)別而言，以SVM 模型的精度較高，PPR 略低；就模型的輸出物理量而言，兩種模型的徑流量模擬輸出精度均高于輸沙量，說(shuō)明江湖水沙演化中輸沙量的影響因素更為廣泛，演化機(jī)制更為復(fù)雜，非線(xiàn)性特征更為顯著；就模型的推廣和泛化能力而言，PPR 檢驗(yàn)序列精度對(duì)建模序列精度有所下降，SVM 檢驗(yàn)序列精度基本與建模序列相匹配，沒(méi)有表現(xiàn)出明顯的下降趨勢(shì)?？梢?jiàn)SVM 的有效性和可信性較好，其系統(tǒng)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)之間具有較好的一致性，因而其對(duì)復(fù)雜水網(wǎng)水沙交互作用的擬合和推廣能力較強(qiáng)。因此，運(yùn)用SVM 模型模擬計(jì)算的洞庭湖水沙出入湖量和區(qū)域泥沙淤積情況，可供江湖治理決策參考。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用洞庭湖近50年來(lái)的水文觀測(cè)資料，基于投影尋蹤回歸和支持向量機(jī)分別建立了洞庭湖徑流與輸沙量?jī)煞N非線(xiàn)性仿真模型，得到以下結(jié)論：

（1）通過(guò)兩種模型的誤差比較，SVM 模型的精度較高，說(shuō)明SVM 模擬和預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合度高，試用、可操作性強(qiáng)，為復(fù)雜水網(wǎng)區(qū)的水沙分析提供了一種新方法。

（2）支持向量機(jī)的推廣性能與模型的參數(shù)選擇有很大關(guān)系。因此，如何根據(jù)訓(xùn)練樣本選擇合適的模型參數(shù)，以保證建立好的模型有很好的推廣性能，成為設(shè)計(jì)支持向量機(jī)關(guān)鍵一步。

（3）通過(guò)模擬可以看出，兩種模型中洞庭湖的徑流量輸出精度均高于輸沙量，說(shuō)明洞庭湖輸沙量變化涉及因素更多，而不僅僅與徑流量有關(guān)。影響輸沙量因素，有待進(jìn)一步研究。

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