歐陽浩，戴喜生，王智文，王 萌

（1.廣西科技大學(xué) 計算機學(xué)院，廣西 柳州545006；2.廣西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，廣西 柳州545006）

0 引 言

現(xiàn)實世界中存在的數(shù)據(jù)對象，通常既具有數(shù)值屬性也具有分類屬性。但大多現(xiàn)有的聚類［1－5］算法只能分析數(shù)值屬性或者分類屬性［6－7］，當(dāng)它們在分析混合屬性的數(shù)據(jù)對象時，首先需要完成數(shù)據(jù)類型的轉(zhuǎn)化。針對這一問題，Huang提出了K－prototypes算法，該算法是將可分析數(shù)值屬性的K－means算法與可分析分類屬性的K－mode算法相結(jié)合而設(shè)計的算法［6］。K－prototypes算法可以分析混合屬性，但具有一定缺陷：①對初始均值點的選擇敏感；②容易受到噪聲干擾；③樣本間的差異度計算對于分類屬性不明顯［7－10］；④不能分析模糊以及不確定性問題等［11－13］。針對問題①－③，文獻(xiàn) ［7］提出了二次聚類的方式，并且對于數(shù)值屬性的差異度計算采用比值方式將其映射為區(qū)間（0，1］之間的值，但此方法需重復(fù)聚類計算分析；文獻(xiàn) ［8］計算新插入樣本的分類屬性值，以在整個簇中此屬性值出現(xiàn)的頻率來判斷二者之間的距離；文獻(xiàn) ［9，10］通過計算簇中樣本與均值點數(shù)值屬性的差值之和的倒數(shù)，來確定每個數(shù)值屬性的權(quán)值。針對問題④，文獻(xiàn) ［11－13］對于K－prototypes算法引入了模糊理論的概念，使其具有一定的解決模糊性和不確定性問題的能力；文獻(xiàn) ［14］采用層次聚類的方式實現(xiàn)混合屬性的聚類分析；文獻(xiàn) ［15］采用自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方式完成聚類分析。以上各文獻(xiàn)的方法均無法確定每個分類屬性對于聚類結(jié)果的影響，恰恰在現(xiàn)實生活中，每個分類屬性對于分類或聚類的結(jié)果的影響程度是不同的［16］。而且，這些算法缺乏在知識不完備的情況下對于不確定性問題的分析能力。

本文首先引入信息熵理論，聚類分析中，通過計算各分類屬性的信息增益，確定此屬性的權(quán)值大小。然后，通過粗糙的分析方式［17］，使得此算法在數(shù)據(jù)存在噪聲、不夠精確、不夠完整的情況下，也能做出較好的分析。實驗結(jié)果表明，本文提出的基于信息熵的粗糙K－prototypes 聚類算法 （entropy rough K－prototypes，ER－K－prototypes）有效。

1 K－prototypes算法

K－prototypes算法是將K－means算法與K－mode相結(jié)合而設(shè)計的一種新的算法，此算法可以處理混合屬性的數(shù)據(jù)集［3］。令U ＝｛x1，x2，…，xn｝表示由n個樣本構(gòu)成的集合。其中，xi＝｛xi1，xi2，…，xip，xi（p＋1），…，xm｝表示第i個樣本，其具有m 個屬性，其中前p個屬性為數(shù)值屬性，而p＋1至m 個屬性為分類屬性。與K－prototypes算法相關(guān)的定義如下描述。

定義1 樣本間數(shù)值屬性距離。本文數(shù)值屬性的距離采用歐氏距離，給定任一兩個樣本xi和xj，其數(shù)值屬性的距離d1定義為

定義2 樣本間分類屬性距離。給定任一兩個樣本xi和xj，其分類屬性的距離d2定義為

其中

定義3 樣本間相異度。給定任一兩個樣本xi和xj，樣本間的相異度為數(shù)值屬性距離d1和分類屬性距離d2之和，其定義為

其中，γ為分類屬性的權(quán)重。

定義4 模。令vi表示為類Ci的模，其中類Ci由h 個樣本對象構(gòu)成，即Ci＝｛x1，x2，…，xh｝。則，模vi的數(shù)值屬性取類Ci中各個樣本的數(shù)據(jù)屬性的平均值，而分類屬性取類Ci中各個分類屬性中出現(xiàn)頻率最高的值。

定義5 平均誤差函數(shù)。設(shè)p為樣本對象，vi為類Ci的模，則聚類的平均誤差函數(shù)定義為

K－prototypes算法的算法描述如下：

輸入：n 個樣本對象；類的數(shù)目k；分類屬性的權(quán)重γ；停止閾值ε。

輸出：聚類結(jié)果。

步驟如下：

（1）隨機選擇k個樣本作為初始類的模；

（2）按照定義3的公式計算各個樣本對象與各個模之間的距離，并且將此樣本對象劃分到與之距離最近的模所代表的類中；

（3）對于每個類按照定義4重新計算出類的模。

按照定義5計算出聚類的平均誤差E。Epre表示上一次計算的平均誤差，當(dāng)｜E－Epre｜＜ε時停止算法。否則，跳轉(zhuǎn)到步驟 （2）。

2 基于信息熵的分類屬性相異度

K－prototypes算法在計算分類屬性時，并未區(qū)分各個分類屬性對于聚類結(jié)果的影響程度。在現(xiàn)實生活中，不同的分類屬性對于聚類結(jié)果的影響程度是不同的，如在分析客戶信息時，其中電話號碼，姓名等分類屬性，它們并不能有助于聚類的計算。經(jīng)典的決策樹ID3算法中，在分類過程中，引入了信息熵的相關(guān)概念［13］。本文也將使用信息熵的概念來確定各個分類屬性的重要程度，并且根據(jù)其重要性重新定義樣本間的相異度。基于信息熵的分類屬性相異度相關(guān)的定義如下。

定義6 信息熵。設(shè)S是n 個數(shù)據(jù)樣本的集合，將樣本集劃分為c個不同的類Ci（i＝1，2，…，c），每個類Ci含有的樣本數(shù)目為ni，則S 劃分為c 個類的信息熵為

其中，pi為S 中的樣本屬于第i類Ci的概率，即pi＝ni/n。

定義7 期望熵。假設(shè)屬性A 的所有不同值的集合為Value（A），Sv是屬性A 的值為v 的樣本子集，即Sv＝｛s∈S｜A（s）＝v｝。屬性A 對樣本集Sv分類的熵為E（Sv），而屬性A 的期望熵為

定義8 信息增益。屬性A 相對樣本集合S 的信息增益Gain（S，A）定義為

基于信息熵的分類屬性相異度計算，對于經(jīng)典的Kprototypes算法中分類屬性距離的計算做了相應(yīng)的調(diào)整，其變化如定義9所示。樣本間相異度的調(diào)整見定義10。

定義9 基于信息熵的樣本間分類屬性距離。給定任一兩個樣本xi和xj，它們的分類屬性包括Al（l＝p＋1，…，m），則基于信息熵的樣本間分類屬性距離dEntropy2定義為

定義10 基于信息熵的樣本間相異度。給定任一兩個樣本xi和xj，樣本間的相異度為數(shù)值屬性距離d1和基于信息熵的分類屬性距離dEntropy2之和，其定義為

其中，γ為分類屬性的權(quán)值。

3 ER－K－prototypes算法

3.1 ER－K－prototypes的粗糙性

經(jīng)典的K－prototypes聚類算法對于孤立點敏感，且初始類中心的選取將影響聚類結(jié)果。為解決這些問題。模糊K－prototypes從集合的含混性的角度來完成混合型數(shù)據(jù)的聚類分析。本文將從知識表達(dá)的不精確性［2］的角度，將粗糙集的概念引入K－prototypes聚類算法中。

文獻(xiàn) ［18］中提出了基于粗糙集理論的聚類算法需要遵循的三條原則：

（1）一個樣本只能屬于一個類的下近似。

（2）若樣本屬于某個類的下近似，那么它也屬于這個類的上近似。

（3）若樣本不屬于任何類的下近似，那么它屬于兩個或兩個以上類的上近似。

定義11 粗糙模。U ＝｛x1，x2，…，xn｝表示由n個樣本構(gòu)成的集合。其中，xj＝｛xj1，xj2，…，xjp，xj（p＋1），…，xm｝表示第j個樣本，其具有m 個屬性，其中前p 個屬性為數(shù)值屬性，而p＋1至m 個屬性為分類屬性。引入粗糙集理論后，用表示類Ci的上近似，C－i表示類Ci的下近似，表示Ci的邊界，并且＝－。類Ci的粗糙模vi的數(shù)值屬性的計算公式如下

以上計算中，c表示模的數(shù)目；wl，wbn則分別表示模的下近似和邊界的權(quán)值，而且在分析中wbn表示了模的粗糙性，一般則表示類Ci的下近似和邊界中樣本的數(shù)量。

而對于vi的分類屬性，則取各個分類屬性中出現(xiàn)頻率最高的值

基于信息熵的粗糙K－prototypes聚類算法將計算各樣本xj與各個粗糙模v 的距離，其中（xj，vi）表示最小距離，（xj，vk）表示次小距離，當(dāng)二者的差值小于一定粗糙距離閾值η時，即｜（xj，vi）－（xj，vk）｜＜η，則認(rèn)為該樣本屬于這兩個模的上近似，否則將此樣本劃分到最近模的下近似中，從而完成聚類分析。

3.2 ER－K－prototypes算法描述

根據(jù)以上的理論描述，以下給出基于信息熵粗糙Kprototypes的算法描述。

輸入：n 個樣本對象；類的數(shù)目k；分類屬性的權(quán)值γ；下近似權(quán)值wl，邊界權(quán)值wbn；粗糙距離閾值η；停止閾值ε。

輸出：聚類結(jié)果。

步驟如下：

（1）隨機選擇k個樣本作為初始的類的粗糙模；

（2）按照定義10的公式計算任意樣本對象xj與各個粗糙模v之間的距離；

（4）對于每個類，按照定義11 重新計算出類的粗糙模；

（5）按照定義5計算出聚類的平均誤差E，此處的模為步驟 （3）計算所得的粗糙模。Epre表示上一次計算的平均誤差，當(dāng)｜E－Epre｜＜ε時停止算法。否則，跳轉(zhuǎn)到步驟 （2）。

4 算法驗證

4.1 正確率評價函數(shù)

為比較各算法分析中的正確率，本文引用文獻(xiàn) ［4］中的聚類正確率的定義，其描述如下。

定義12 聚類正確率。聚類算法f 將樣本集合U ，劃分為k個類，用corr＿ci表示第i個類中被正確聚類樣本的個數(shù)，｜U ｜表示集合中樣本個數(shù)。則聚類的正確率ac＿rate（D/f）為

4.2 實驗驗證

本文采用Visual C＋＋編寫實驗程序分析算法的有效性，運行環(huán)境為：Intel（R）Core（Tm）2Duo CPU ET500＠2.93GHz 2.93GHz，2.0GB內(nèi)存，Window 7系統(tǒng)。實驗數(shù)據(jù)為UCI機器學(xué)習(xí)庫［19］中的Heart Disease （簡稱Heart），Acute Inflammations （簡稱Acute），Credit Approval（簡稱Credit），Zoo這4個混合型數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集描述見表1。

表1 數(shù)據(jù)集描述

與本文提出的ER－K－prototypes相比較的算法為同樣對混合型數(shù)據(jù)具有分析能力的K－prototypes算法以及Fuzzy－K－prototypes算法。在分析前，需要對各數(shù)據(jù)集進(jìn)行歸一化處理，以消除各數(shù)據(jù)屬性因為取值范圍的不同而帶來的干擾。分類屬性的權(quán)值γ取值為：分類屬性數(shù)/數(shù)值屬性數(shù)；下近似權(quán)值wl＝0.9；邊界權(quán)值wbn＝0.1；粗糙距離閾值η取值為：屬性總數(shù)×0.1；停止閾值ε 取值為：0.001；樣本數(shù)n與類別數(shù)目k 根據(jù)表1中的實際情況設(shè)定。其它參數(shù)以及最終的聚類的正確率見表2。

表2 部分參數(shù)及聚類正確率比較

從表2可以看出，ER－K－prototypes正確率明顯優(yōu)于Kprototypes和Fuzzy－K－prototypes，從而驗證此算法是有效的。從定性上分析，其有效性來自于兩個方面。

一方面，ER－K－prototypes在計算分類屬性距離時，通過計算各個分類屬性的信息熵來確定其在計算過程中的權(quán)值，從而確保對于有效的聚類起關(guān)鍵影響的屬性，其權(quán)值更大，從而有利于聚類分析逐漸趨于正確。此更符合現(xiàn)實中事物的屬性特征。

另一方面，ER－K－prototypes引入了粗糙集的概念，從而具備一定的處理非確定性問題的能力。在背景知識不確定、不完整，或者存在噪聲時，不需要引入先驗知識的前提下，也能做出比較正確的分析。

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)的K－prototypes，在對混合型數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析時，將屬性分為兩大類：數(shù)值屬性和分類屬性。在聚類計算時，并未考慮各個屬性對于聚類結(jié)果的影響程度。Fuzzy－K－prototypes雖然引入了模糊性的概念，但對分類屬性的分析同樣存在此問題。本文提出的ER－K－prototypes引入了信息熵的概念，分析時需確定各分類屬性的信息增益，此更符合現(xiàn)實中的分類問題。同時，ER－K－prototypes引入的粗糙集概念，能處理非確定性問題，可以在一定程度上避免噪聲的干擾。實驗驗證此方法更有效。

ER－K－prototypes對于數(shù)值屬性的分析還不完善，需要今后做進(jìn)一步的研究。同時在以后的研究中，需要將粗糙理論與模糊理論相結(jié)合，應(yīng)用于混合數(shù)據(jù)的聚類分析中。

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