郭祖華，徐立新，張 曉

（1.河南機電高等?？茖W(xué)校 計算機科學(xué)與技術(shù)系，河南 新鄉(xiāng)453003；2.西北工業(yè)大學(xué) 計算機學(xué)院，陜西 西安710072）

0 引 言

數(shù)字圖像加密的基本方法有像素置亂和像素替換兩大類，實際應(yīng)用中，通常將以上兩種方式結(jié)合進(jìn)行加密處理，研究人員在該領(lǐng)域已經(jīng)取得了許多成果［1－4］。近年來，超混沌系統(tǒng)作為數(shù)字信息加密中的一種新的加密技術(shù)，為數(shù)字信息加密提供了一種全新、有效的保護手段，在信息安全領(lǐng)域中得到了極其廣泛的應(yīng)用。

超混沌系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：有兩個或兩個以上正的Lyapunov指數(shù)、更加復(fù)雜的動力學(xué)行為、較大的密鑰空間以及較強的密鑰敏感性等，其產(chǎn)生的混沌序列具有較好的偽隨機性能及不可預(yù)測性，因此被其加密的圖像具有很強的抗各種攻擊能力，非常適合加密系統(tǒng)的要求。

許多研究提出了將超混沌系統(tǒng)運用到數(shù)字圖像的加密中，以提高信息的安全性［5－7］。其中，孫勁光等提出了一種改進(jìn)的基于混沌分塊圖像加密算法［8］，該算法通過對外部密鑰分組生成Logistic映射初始條件迭代生成混沌序列，并用矩形灰度圖像進(jìn)行加密，有效地增強了密鑰的敏感性能，該算法較二維混沌圖像加密具有更高的置亂度，并且能夠有效地抵抗各種攻擊；周霖等利用混沌映射的隨機性和敏感性以及優(yōu)秀的混疊特性提出一種基于雙重混沌映射的圖像加密算法［9］，用貓映射對圖像進(jìn)行置亂，用Henon映射來進(jìn)行圖像的擴散處理，該方法具有較大的密鑰空間、加密速度快以及較強的抗攻擊性能等特點；張豐博等利用三角混沌映射產(chǎn)生混沌序列，并將其量化為離散二值序列，然后將三角混沌作為密鑰，用于改進(jìn)的擬Feistel結(jié)構(gòu)加密算法［10］，該算法加密后圖像相鄰像素具有良好的空間隨機特性。

但當(dāng)前利用超混沌系統(tǒng)對圖像進(jìn)行加密算法的研究中，都只是利用混沌系統(tǒng)做簡單的置亂和擴散處理，加密系統(tǒng)的復(fù)雜性相對較低，密鑰空間相對較小，無法保證圖像在存儲與傳輸過程中不被攻擊，因此，有待進(jìn)一步改進(jìn)思路和方法以提高加密圖像的安全性。

為此，本文提出一種基于并行子圖像和超混沌系統(tǒng)相結(jié)合的圖像加密算法來克服上述不足，仿真實驗結(jié)果表明，該算法具有安全性高、密鑰空間大、密鑰敏感性強、抗攻擊能力好等顯著優(yōu)點。

1 圖像的分離和置亂

1.1 原始圖像分離成子圖像

為了提高加密系統(tǒng)的復(fù)雜性和抵抗攻擊能力，本文首先將原始圖像分離成9個子圖像，然后將9個子圖像進(jìn)行置亂，重新排列成新的圖像。其加密步驟如下：

步驟1 假定原始圖像的大小為M×N ，并將圖像分割成9個等大的塊狀子圖像。

步驟2 根據(jù)Logistic映射模型，迭代計算得到的偽隨機序列置亂這9個子圖像，重復(fù)對Logistic映射進(jìn)行迭代和執(zhí)行式 （2）操作，來獲得9個介于 ［1，9］的不同整數(shù)值序列rand （xi）。

logistic映射模型如下

給定初始值x0，迭代N0次，獲得一個新的值xn；將xn代入式 （2）中，來獲得一個介于 ［1，9］的整數(shù)值。式（2）如下

式中：rand——偽隨機值，mod x，（ ）y ——x對y取余。步驟3 然后將這一隨機序列用來對9個子圖像進(jìn)行置亂重排處理。原始圖像的分離和置亂的過程如圖1所示。

1.2 圖像的位置置亂矩陣

圖1 原始圖像的分離和置亂過程

為了混亂圖像像素值的位置，以便消除明文圖像中相鄰像素值之間的自相關(guān)性，本文采用行、列替換來對圖像進(jìn)行位置置亂處理。其步驟如下：

步驟1 假定圖像P 的大小為M ×N ，像素位置矩陣為

其中，pi，j（i＝0，1，2...，M－1，j＝0，1，2，...，N－1 ）表示像素灰度值的位置。

步驟2 給定初始值x0，迭代Logistic映射模型N 次，獲得新的值xn；之后令

顯然l∈［0，M－1］，然后重復(fù)對Logistic映射進(jìn)行迭代和執(zhí)行式 （4）操作，來獲得M 個介于 ［0，M－1］的不同整數(shù)值序列random Xr＝（z1，z2，...zM），其中當(dāng)i≠j時，zi≠zj。

步驟3 利用序列random Xr對圖像P 做矩陣行變換，變換方式為：將Z1行移動到第1行，Z2行移動到第2行，Z3行移動到第3 行，以此類推，最終將得到一個新的矩陣Pr

同理，再計算出對矩陣Pr進(jìn)行列變換的序列random Xc＝（w1，w2，...wN）

同樣，l′∈［0，N－1］，利用random Xc對矩陣Pr做列變換，變換后的矩陣為Prc

因此，本文通過像素矩陣的行、列替換來加密，并且算法的復(fù)雜性較高，在一定程度上能提高抗攻擊能力。

2 Lorenz及Chen混沌系統(tǒng)

本文采用了混沌Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)來對圖像進(jìn)行加密，下面將分別介紹這兩種系統(tǒng)。

2.1 Lorenz混沌系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)［11］，和低維混沌系統(tǒng)相比，其產(chǎn)生的加密混沌序列具有很多優(yōu)點：其結(jié)構(gòu)比低維混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜，其產(chǎn)生的密鑰空間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低維混沌系統(tǒng)，它可采用單變量或多變量組合的加密混沌序列來對圖像進(jìn)行加密。因此，相對于低維混沌系統(tǒng)，Lorenz系統(tǒng)更適合對數(shù)字信息進(jìn)行有效的加密。本文采用的Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)方程式為

式中：x1、x2、x3——狀態(tài)參量；a、b、c——系統(tǒng)參數(shù)，典型的值為a＝8／3，b＝10，c＝28，當(dāng)a，b 不變，c＞24.74時，Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2.2 混沌Chen系統(tǒng)

Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)很相似，但是Chen系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為［11］。Chen系統(tǒng)的動力學(xué)方程式為

式中：x4、x5、x6——狀態(tài)參量；α，β，γ——系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)α＝35，β＝3，γ＝28時，Chen系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。Chen混沌系統(tǒng)由于具有大的Lyapunov指數(shù)，使它的動力學(xué)行為以及相空間變得更加復(fù)雜，系統(tǒng)變量多樣化，其圖像加密系統(tǒng)擁有較大的密鑰空間和較強的不可分析性與預(yù)測性，有利于對圖像進(jìn)行加密。

3 本文提出的圖像加密算法

本文提出的加密算法的圖像分離、置亂以及擴散框架，如圖2所示。

圖2 圖像加密算法流程

該算法的思路和主要步驟如下：

步驟1 原始圖像的分離和置亂處理。

（1）假定圖像的大小為M×N ，像素位置矩陣為P。

（2）將原始圖像分離成9個等大的子圖像，利用隨機序列random X 對子圖像進(jìn)行置亂重排處理，獲得混亂的子圖像Pi（i＝1，2，...，9）。

（3）分別對子圖像Pi進(jìn)行行、列變換的位置置亂操作，獲得置亂后的子圖像（i＝1，2，...9）。

（1）分別利用Lorenz 系統(tǒng)和Chen 系統(tǒng)進(jìn)行迭代，Lorenz系統(tǒng)M0次，Chen系統(tǒng)迭代N0（其中M0≠N0）以消除不利的過渡程序?qū)用芟到y(tǒng)的影響。

（2）將Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)結(jié)合起來，同時對這兩種混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代，來獲得6組混沌序列x1，x2，x3，x4，x5，x6，并將這些序列按式 （10）進(jìn)行處理

（3）為了使兩種混沌系統(tǒng)是互相關(guān)的，進(jìn)行如下操作

其中，式 （11）中符合⊕表示異或計算。

（4）將處理得到的序列 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）進(jìn)行排列組合，產(chǎn)生的不同組合狀態(tài)，見表1。

表1 Lorenz混沌序列和Chen混沌序列的不同組合狀態(tài)

（5）計算組合狀態(tài)函數(shù)值

式中：Z——組合狀態(tài)函數(shù)值。顯然，z∈［1，15］，當(dāng)z 等于表1中的序列號時，將選擇相應(yīng)的組合狀態(tài)來對圖像進(jìn)行異或操作。例如當(dāng)z＝3 時，則選擇 （x1，x2，x4，x6）來對圖像進(jìn)行異或操作。

（6）根據(jù)步驟 （5）中得到的組合狀態(tài)值來對每個子圖像的灰度值進(jìn)行異或操作處理。擴散機制如下

式 （13）中，Vi，j表示加密后的灰度值，K 表示為兩種混沌系統(tǒng)的第K－1次迭代，⊕表示異或計算，Pxi表示z對應(yīng)序列號下的組合狀態(tài)值，V0i，j＝128。

（7）執(zhí)行加密后，回到步驟 （6），重復(fù)執(zhí)行該步驟，直到全部子圖像的灰度值完全被加密。再組合所有子密文，輸出密文圖像。

圖像的解密過程是圖像加密的逆過程，由于本文篇幅有限，不作詳述。

某水利樞紐正常運行期近壩區(qū)域流場數(shù)值模擬…………………………………………………王靜靜，王金磊（1.66）

4 仿真實驗及結(jié)果分析

4.1 圖像灰度直方圖

下面，借助仿真實驗對本文提出的加密算法的安全性能及有效性進(jìn)行驗證與分析。輸入一個大小為256×256的明文圖像，迭代次數(shù)為N0次，在MTLAB 軟件平臺上進(jìn)行仿真實驗。分別給出了原始圖像及相應(yīng)的直方圖和加密后得到的密文圖像及相應(yīng)直方圖。仿真結(jié)果如圖3 所示。從圖中可以看到，經(jīng)過對子圖像進(jìn)行分離和置亂處理后，圖像信息得到了充分?jǐn)_亂，很難從圖中得到原始信息，如圖3 （b）所示，但其灰度直方圖分布和原始圖像一樣，并沒有發(fā)生任何變化，其隨機性以及冗余性較低，很容易被攻擊者獲取圖像相關(guān)信息。而經(jīng)過擴散加密后，圖像灰度直方圖產(chǎn)生了顯著地變化，如圖3 （c）所示，與前面的灰度直方圖相比，其灰度表現(xiàn)出均勻狀態(tài)，擁有較高的圖像冗余性與偽隨機性。因此，這一結(jié)果表明本文提出的圖像加密算法具有較好加密效果，擴散和混亂特性好，安全性較高。

圖3 本文加密算法的仿真結(jié)果

4.2 密鑰空間分析

足夠大的密鑰空間是每個高度安全的加密系統(tǒng)應(yīng)該具備的。由本文算法描述可知，該算法的密鑰空間包括了初始值x0，x10，x20，x30，x40，x50，x60，以 及 參 數(shù)a，b，c，α，β，γ。本加密算法由3部分進(jìn)行：Logistic映射對圖像分離，Logistic映射對子圖像進(jìn)行位置置亂及子圖像的擴散加密。若計算精度為10－15，則3 個密鑰空間依次為：1015、（1015）9＝10135、（1015）12＝10180，因此密鑰總空間為1015×10135×10180＝10330。另外，加之每次循環(huán)過程中的初始值不一樣，使得加密算法的密鑰空間更大，因此，如此巨大的密鑰空間足以抵抗窮舉強力攻擊。

4.3 相鄰兩個像素點的相關(guān)性分析

加密后圖像的兩個相鄰像素點的相關(guān)性越低，則其安全性越高。本文任意擇取加密前與加密后的圖像中的2000對相鄰像素點。用相關(guān)系數(shù)rxy來表征，其計算模型如下

式中：xi和yi——圖像中相鄰的兩個像素點的灰度值，n——選取的相鄰點數(shù)量，E （xi）和E （yi）——數(shù)學(xué)期望。

圖4為加密前與加密后圖像的任意兩個相鄰像素點在X 軸方向的相關(guān)性測試結(jié)果。從圖4 （a）可知，明文圖像的相鄰像素值變?yōu)橐粭l對角線，表明其具有較強的相關(guān)性；而經(jīng)過本文提出的圖像加密系統(tǒng)加密后，像素值均勻地布滿了整個灰度平面，如圖4 （b）所示，其相關(guān)性顯著降低。

圖4 明文圖像與密文圖像中相鄰像素點的相關(guān)性仿真結(jié)果

表2是加密前后圖像在對角線、水平、垂直方向的相關(guān)性實驗結(jié)果。從表2 可以看出，明文圖像具有較高的相關(guān)性，水平方向達(dá)到0.9428，其值很接近1，因此容易受到統(tǒng)計攻擊，而經(jīng)過本文提出的加密方法之后的密文圖像的水平方向相關(guān)性約為0.0022，幾乎接近于零，說明任意兩個相鄰的像素點幾乎不相關(guān)，加密效果好。

表2 加密前后的圖像相鄰像素點的相關(guān)性

這些數(shù)據(jù)顯示了本文加密算法能夠有效地消除圖像的相關(guān)性，使密文具有良好的擴散性及較強的抗統(tǒng)計攻擊能力。

4.4 信息熵

由于圖像像素值有28種可能，因此信息熵達(dá)到最大理想值為8。信息熵的計算公式如下

式中：L——像素值，p m（ ）i ——mi出現(xiàn)的概率。經(jīng)過本文加 密 后，通 過 式 （18）計 算 得 到 圖 像 的 （ ）H m ＝7.9987，該值非常接近8，由此表明本文算法在加密過程中基本沒有丟失信息，具有較強的抗熵攻擊性能。

4.5 密鑰敏感性測試分析

高效的加密系統(tǒng)應(yīng)該具有敏銳的密鑰敏感性。本文測試密鑰參數(shù)x0的敏感性能，將x0增加和減去一個極其微小干擾值δ（10－15）后，變?yōu)椋▁0＋δ）、（x0－δ），其它參數(shù)不變。

圖5是圖像該性能的仿真測試狀況，圖5 （a）是正確解密的密文圖像S；圖5 （b）是 （x0＋δ）密鑰的解密圖S′；圖5 （c）是 （x0－δ）密鑰的解密圖S″。從圖中可以看到，哪怕初值x0發(fā)生極其微小的擾動，所得到的密文是截然不同的。為了使不同密鑰得到的密文之間的差異度數(shù)值化，本文采用密文像素變化率Psx（ ）0 來計算x0的敏感系數(shù)，計算模型如下

式 中：W × H ——圖 像 大 小。S i，（ ）j 、S′i，（ ）j 與S″i，（ ）j ——密文S、S′與S″在坐標(biāo) i，（ ）j 處的灰度。如果x 不等于y，則Ns（x ，y） ＝1；反之則為0。通過計算得到Ps（X0）＝99.85%，如圖6所示。

5 結(jié)束語

為了增強圖像加密系統(tǒng)的復(fù)雜性以及密文圖像混亂程度，以提高加密圖像的抵抗攻擊能力，本文提出了將并行子圖像與超混沌系統(tǒng)相結(jié)合的加密算法來對圖像進(jìn)行有效的加密。將Logistic映射用來對圖像進(jìn)行分離，以及對子圖像實施位置置亂和像素置亂；然后利用Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)同時迭代來獲得不同序列組合狀態(tài)，并將其用來對每個子圖像進(jìn)行擴散加密操作。這一加密過程顯著提高了加密系統(tǒng)的復(fù)雜程度，兩混沌系統(tǒng)的同時結(jié)合，使其產(chǎn)生的混沌序列具有較好的偽隨機性能及不可預(yù)測性。對本文算法進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果表明本算法的加密質(zhì)量好，擴散機制高度安全，且擁有較大的密鑰空間。

圖5 密鑰敏感性仿真實驗測試結(jié)果

圖6 加密圖像之間的差異度仿真結(jié)果

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