朱 林，王曉飛

（1.中國南方航空工業(yè)（集團(tuán)）有限公司，株洲 412000；2.北京機(jī)電工程研究所，北京 100074）

0 引言

超聲速/高超聲速飛行器蒙皮在高強(qiáng)度氣流脈動(dòng)、尾噴管的噴氣噪聲作用下將承受巨大的壓力載荷[1]；同時(shí)，會(huì)產(chǎn)生極高的氣動(dòng)熱效應(yīng)。熱載荷與聲載荷的聯(lián)合作用帶來了飛行器結(jié)構(gòu)的熱聲疲勞問題[2]，對(duì)相關(guān)問題分析方法的需求日益迫切[3]。研究熱聲載荷下結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)是分析熱聲疲勞的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[4-7]論述了均勻分布在矩形板中面上的熱載荷與隨機(jī)聲載荷聯(lián)合作用對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。

為研究近似實(shí)際情況的溫度分布對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響，本文首先給定了隨坐標(biāo)軸變化的熱載荷函數(shù)[8-9]，進(jìn)而推導(dǎo)出熱聲載荷下四邊簡支矩形板的Von-Karman 大撓度非線性偏微分方程；借助于邊界條件，利用伽遼金方法將其轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)系下的微分方程組，并對(duì)此方程組進(jìn)行單自由度簡化；對(duì)四邊簡支矩形板的平面溫度分布以及薄板厚度方向溫度梯度進(jìn)行分析，分別給出了板的無量綱基頻隨熱屈曲系數(shù)變化的曲線以及受薄板厚度方向溫度梯度影響的勢(shì)能變化曲線。然后，利用有限元法對(duì)屈曲前后和不同溫度下四邊簡支矩形鈦合金板進(jìn)行了模態(tài)分析，計(jì)算其模態(tài)頻率（即熱模態(tài)），以及其在熱聲載荷下的動(dòng)態(tài)位移與應(yīng)力響應(yīng)，得到三種振動(dòng)類型；又從位移時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為頻域下的位移功率譜密度，分析了溫度對(duì)基頻的影響；并基于上述計(jì)算結(jié)果，對(duì)響應(yīng)基頻在不同溫度下的變化趨勢(shì)進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 薄板大撓度控制方程

對(duì)于各項(xiàng)同性結(jié)構(gòu)，在考慮溫度對(duì)結(jié)構(gòu)影響的情況下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為

式中：α為結(jié)構(gòu)材料的熱膨脹系數(shù)；ΔT為薄板溫度分布梯度；

薄板上任意一點(diǎn)的應(yīng)變可由薄板中面的應(yīng)變與位移表示為

其中，中面應(yīng)變分量為

對(duì)方程(2)進(jìn)行微分處理，可以將其轉(zhuǎn)化為利用中面應(yīng)變分量表示的變形協(xié)調(diào)方程

對(duì)方程(1)的3個(gè)應(yīng)力分量沿薄板厚度方向進(jìn)行積分，可以得到薄板內(nèi)力與彎矩：

將中面應(yīng)變代入其中，可分別得到面內(nèi)力與彎矩的矩陣表達(dá)式：

其中：

而熱內(nèi)力與熱彎矩可以表示為

薄膜矩陣A與彎曲剛度矩陣D可表示為

根據(jù)M,N及橫向位移w，可以給出薄板的內(nèi)力平衡方程：

其中：p即p(x,y,t)，為隨時(shí)間變化的聲壓載荷。

引入應(yīng)力函數(shù)ψ[1]，有

將方程(7)代入方程(6)可得到：

將方程(7)代入方程(4)可得到利用內(nèi)力表示中面的方程，再代入變形協(xié)調(diào)方程(3)，最后得到用應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)方程為

方程(8)與方程(9)共同構(gòu)成薄板大撓度控制方程。

2 用伽遼金法求解動(dòng)態(tài)位移與應(yīng)力

矩形簡支板四邊服從不可動(dòng)邊界條件：

矩形簡支板的橫向撓度可表示為

其中：qmn表示模態(tài)幅值；φmn=sin(mπx/Lx)·sin(mπy/Ly)，表示模態(tài)振型；m,n表示矩形板的半波數(shù)；Lx,Ly分別表示矩形板的長和寬。

對(duì)于溫度場(chǎng)分布，可以設(shè)定溫度函數(shù)ΔT(x,y,z)=T0(x,y)+zT1(x,y)，其中：T0=t0+tv(x,y)，且沿矩形板的中面分布；T1表示沿板厚度方向的溫度梯度，tg(x,y)=hT1表示沿厚度方向的溫度差。對(duì)于t0≠0 的情況，可以令tv=t0δvfv(x,y)，tg=t0δgfg(x,y)，其中δv,δg分別表示t0的比例因子，且t0δv,t0δg分別為tv,tg的幅值，則有ΔT=t0+t0δvfv(x,y)+t0δg(a/h)fg(x,y)，其中fv=fg= sin(mπx/Lx)sin(mπy/Ly)。矩形板四周常與具有支撐作 用的部件、散熱裝置等進(jìn)行裝配或約束，當(dāng)薄板平均溫度大于臨界屈曲溫度Tcr時(shí)，所引發(fā)的熱應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致薄板結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，發(fā)生屈曲現(xiàn)象。Tcr的表達(dá)式[4]為

為求解動(dòng)態(tài)位移，應(yīng)力函數(shù)可以寫成特解與齊次解之和的形式，即ψ=ψp+ψh。對(duì)于各向同性結(jié)構(gòu)，將式(11)代入變形協(xié)調(diào)方程(9)，可解出δv=0下的特解[9]

特解沒有考慮δv≠0 時(shí)的影響，但在下列應(yīng)力函數(shù)的齊次解中可給予考慮。

以標(biāo)準(zhǔn)化思維和手段助力“河長制”。采取群眾評(píng)議等形式，或參照國內(nèi)外相關(guān)政務(wù)服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)的方式，了解公眾在水環(huán)境治理中對(duì)政府的期望，盡快理順管理體制，及時(shí)研究制定出臺(tái)“河長制”標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)施細(xì)則，以進(jìn)一步規(guī)范化、常態(tài)化、精細(xì)化落實(shí)“河長制”。按照“簡約化、統(tǒng)一化”原則，依托政府政務(wù)信息平臺(tái)，將“河長制”工作性質(zhì)統(tǒng)一定義，相關(guān)組織、人員、職責(zé)、監(jiān)督、管理等事項(xiàng)條例性列出，進(jìn)行有效信息匹配。通過大數(shù)據(jù)分析與云計(jì)算系統(tǒng)，分解量化各項(xiàng)指標(biāo)，為水環(huán)境治理提供技術(shù)支撐。

由不可動(dòng)邊界條件(10)可知，c7=0；而根據(jù)方程(7)、(10)以及(11)，可以推導(dǎo)出c5,c6的表達(dá)式：

其中：c8=π2/8[(A*12)2-(A*11)2]；c9=t0(1+4δv/π2)；矩陣A*表示為

將方程(11)～方程(13)代入方程(8)，并可利用伽遼金方法將方程(8)轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)下的方程[9]

其中：δm1δn1為第一階(1,1)模態(tài)系數(shù)；ξmn為第(m,n)階模態(tài)阻尼系數(shù)，由于篇幅所限，其立方項(xiàng)在文獻(xiàn)[10]中給出；ωmn為無阻尼自由振動(dòng)固有頻率，ω2mn=(1/ρh){D11[(mπ/Lx)2+(nπ/Ly)2]2}；Θmn(A)=[(m/Lx)2+(n/Ly)2]× (A11+A12)α；Θmn(D)=[(m/Lx)2+ (n/Ly)2](D11+D12)α。壓力pmn有

方程(14)中m,n的數(shù)值不同，因此可組成二階常系數(shù)微分方程組。

3 溫度場(chǎng)對(duì)薄板隨機(jī)振動(dòng)的影響分析

首先，對(duì)方程(14)進(jìn)行單自由度簡化，得到簡支板的單自由度方程：

然后，根據(jù)方程(15)，忽略阻尼項(xiàng)、外載荷項(xiàng)及非線性項(xiàng)，可以計(jì)算出薄板的無量綱基頻為[3]

溫度場(chǎng)對(duì)薄板模態(tài)頻率的改變主要是由薄板中面上溫度分布所引起的。根據(jù)式(16)可以繪制出基頻隨熱屈曲系數(shù)變化的曲線，如圖1所示。屈曲前，無量綱基頻隨著熱屈曲系數(shù)的增加而降低，屈曲后隨著熱屈曲系數(shù)的增加而升高。

圖1 無量綱基頻隨熱屈曲系數(shù)的變化過程 Fig.1 The variation of non-dimensional fundamental frequency against thermal deflection coefficient

最后，為了進(jìn)一步討論薄板厚度方向上溫度梯度對(duì)薄板振動(dòng)的影響，忽略方程(15)中的慣性項(xiàng)、阻尼項(xiàng)以及隨機(jī)載荷項(xiàng)，可以得到由薄板平面溫度分布及厚度方向上溫度梯度共同作用所形成的勢(shì)能方程[11]

根據(jù)方程(17)，取r=Ly/Lx=1，v=0.3，并且令薄板厚度方向溫度梯度f0=0，可分別給出熱屈曲系數(shù)s=0,5,10,15 的情況下矩形簡支板的勢(shì)能變化情況，如圖2所示。從圖2可以看出，矩形板的勢(shì)能曲線隨著溫度的不同而具有不同的特性：當(dāng)s=0 時(shí)，即矩形板屈曲前，勢(shì)能曲線的最低點(diǎn)僅在初始平衡位置出現(xiàn)，表明屈曲前矩形板圍繞初始平衡位置振動(dòng)；當(dāng)s增大到臨界屈曲溫度以后，勢(shì)能曲線中的最低點(diǎn)不僅下降，而且出現(xiàn)在兩個(gè)對(duì)稱的位置上，說明屈曲后矩形板的振動(dòng)存在兩個(gè)平衡位置，且當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)達(dá)到一定程度，矩形板圍繞兩個(gè)位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)較小時(shí)，矩形板會(huì)圍繞兩個(gè)平衡位置中的一個(gè)振動(dòng)；保持隨機(jī)激勵(lì)不變，隨著s的繼續(xù)增大，勢(shì)能的最低點(diǎn)繼續(xù)降低，而且兩個(gè)對(duì)稱平衡位置的間距逐漸擴(kuò)大，即跳變頻率下降[4]。

圖2 無溫度梯度下簡支板勢(shì)能 Fig.2 The potential energy of simply supported plate with no temperature gradient

圖3和圖4分別表明了矩形簡支板在屈曲前、后，其厚度方向上的溫度梯度對(duì)矩形板振動(dòng)特性的影響?？梢钥闯?，由于溫度梯度的存在導(dǎo)致勢(shì)能曲線不對(duì)稱。與圖2相比，圖3中矩形板屈曲前的勢(shì)能曲線同樣存在一個(gè)勢(shì)能最低點(diǎn)，但是隨溫度梯度的增加，勢(shì)能最低點(diǎn)向模態(tài)位移的正方向移動(dòng)并下降；而圖4中矩形板屈曲后的勢(shì)能曲線出現(xiàn)兩個(gè)平衡位置，隨溫度梯度的增加，勢(shì)能曲線負(fù)位移對(duì)應(yīng)的最低點(diǎn)向正方向移動(dòng)并上升，而正位移所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能最低點(diǎn)向正方向移動(dòng)并下降。

圖3 屈曲前簡支板勢(shì)能 Fig.3 The potential energy of simply supported plate in the pre-buckling state

圖4 屈曲后簡支板勢(shì)能 Fig.4 The potential energy of simply supported plate in the post-buckling state

4 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

給定鈦合金板的幾何參數(shù)及物理參數(shù)如表1所示，聲壓級(jí)選取為有限帶寬高斯白噪聲，截止頻率為 0～1500 Hz，并假設(shè)高斯白噪聲壓力p(x,y,t)均勻分布在矩形板的表面[3,9,12]，利用有限元法對(duì)矩形薄板的熱聲問題進(jìn)行數(shù)值仿真求解。

表1 材料參數(shù) Table1 Material parameters

根據(jù)前述臨界屈曲溫度Tcr的計(jì)算公式，可求得第一階臨界屈曲溫度為41.35 ℃。

首先，計(jì)算矩形板的振動(dòng)模態(tài)，計(jì)算時(shí)考慮溫度的影響，但只考慮矩形板的中面溫度分布，而忽略了厚度方向溫度梯度的影響。矩形板中面的溫度分布為ΔT=t0+t0δvfv(x,y)+t0δg(a/h)fg(x,y)，根據(jù)單自由度方程(15)，可以認(rèn)為中面溫度分布使矩形板產(chǎn)生平面熱應(yīng)力，并在熱應(yīng)力作用下膨脹，最終結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化。因此，需通過平面溫度分布情況討論熱聲載荷下矩形板的振動(dòng)特性。表2為此溫度分布下計(jì)算出的矩形板屈曲前、后的模態(tài)頻率。當(dāng)中面溫度幅值δv=0.2 時(shí)，由于t0δvfv(x,y)較小，可以近似認(rèn)為，當(dāng)t0≈Tcr時(shí)矩形板開始發(fā)生屈曲[9]。

表2 不同溫度下的前5 階模態(tài)頻率 Table2 The first 5 order modal frequencies at different temperatures

然后，忽略矩形板厚度方向的溫度梯度影響，僅計(jì)算相應(yīng)平面溫度分布下矩形板中心節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)位移與應(yīng)力動(dòng)態(tài)響應(yīng)。圖5～圖9分別給出了定常聲壓級(jí)為160 dB，且δv=0.2 時(shí)，t0為0,17,41.35,55,72 ℃下矩形簡支板的無量綱動(dòng)態(tài)位移以及所對(duì)應(yīng)的x方向動(dòng)態(tài)應(yīng)力。從圖中可以看到，x方向應(yīng)力響應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)與其位移振動(dòng)狀態(tài)基本一致。從位移角度看，屈曲前，矩形板圍繞初始平衡位置隨機(jī)振動(dòng)，但由于溫度的上升致使矩形板振動(dòng)撓度逐 漸加大；屈曲時(shí)，由于給定聲壓級(jí)較大，直接導(dǎo)致矩形板在兩個(gè)屈曲平衡位置作持續(xù)跳變運(yùn)動(dòng)；屈曲后，由于聲壓級(jí)不變，溫度升高致使矩形板從持續(xù)跳變轉(zhuǎn)為間歇跳變，最后轉(zhuǎn)為圍繞屈曲后的一個(gè)平衡位置隨機(jī)振動(dòng)。

文獻(xiàn)[4]論述了均勻分布在矩形板中面上的溫度與聲載荷共同作用下矩形簡支板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。由于溫度不同，在與聲載荷的聯(lián)合作用下，矩形板的振動(dòng)同樣出現(xiàn)上述幾種特征。

圖5 簡支板中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（SPL=160 dB,t0=0 ℃） Fig.5 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=0 ℃)

圖6 簡支板中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（SPL=160 dB,t0=17 ℃） Fig.6 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=17 ℃)

圖7 簡支板中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（SPL=160 dB,t0=41.35 ℃） Fig.7 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=41.35 ℃)

圖8 簡支板中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（SPL=160 dB,t0=55 ℃） Fig.8 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=55 ℃)

圖9 簡支板中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（SPL=160 dB,t0=72 ℃） Fig.9 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=72 ℃)

表3為上述定常聲壓級(jí)、不同溫度下矩形板中心節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)(w/h)的有效值與均值；表4為矩形板中心節(jié)點(diǎn)x向動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)的有效值與均值。

表3 位移響應(yīng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果（SPL=160 dB,δv=0.2） Table3 Statistical results of displacement response (SPL=160 dB,δv=0.2)

表4 x 向應(yīng)力響應(yīng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果（SPL=160 dB,δv=0.2） Table4 Statistical results of x-component stress response (SPL=160 dB,δv=0.2)

表2計(jì)算出了溫度分別為0,17,41.35,55,72 ℃下四邊簡支矩形鈦合金板的模態(tài)頻率，表明不同溫度下矩形板的模態(tài)頻率不同。為了進(jìn)一步探討溫度對(duì)頻率的影響，本文結(jié)合文獻(xiàn)[13]中振動(dòng)響應(yīng)譜的估算方法，給出矩形板在上述定常聲壓級(jí)、不同溫度下的位移功率譜密度，如圖10和圖11所示。由圖可知，屈曲前，矩形板共振基頻隨溫度的升高而降低；屈曲時(shí)，下降到最?。欢?，則隨溫度的升高而上升。這是由于屈曲前矩形板隨溫度的升高出現(xiàn)軟化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度降低；而屈曲后矩形板隨溫度的升高開始硬化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度增加。矩形板共振基頻隨溫度的變化趨勢(shì)與圖1中無量綱基頻隨熱屈曲系數(shù)的變化趨勢(shì)基本一致。

圖10 位移功率譜密度（屈曲前） Fig.10 Displacement power spectrum density (pre-buckling)

5 結(jié)論

1）基于四邊簡支矩形鈦合金板屈曲前后特定溫度條件下的模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果，并結(jié)合無量綱基頻隨熱屈曲系數(shù)變化的曲線，分析出溫度對(duì)模態(tài)頻率的影響：屈曲前，隨溫度的升高，模態(tài)頻率下降，屈曲時(shí)降低到最??；屈曲后，隨溫度的升高，模態(tài)頻率上升。這是一個(gè)明顯的分叉行為，表明四邊簡支矩形板存在著穩(wěn)定—失穩(wěn)—再穩(wěn)定的過程。

2）基于四邊簡支矩形鈦合金板在定常聲壓級(jí)下熱屈曲前、后的位移響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，總結(jié)出矩形板振動(dòng)響應(yīng)特征：屈曲前，矩形板圍繞初始平衡位置隨機(jī)振動(dòng)，隨著溫度升高，振幅加大；屈曲后，在一定溫度下矩形板在屈曲后的兩個(gè)平衡位置作持續(xù)跳變與間歇跳變；當(dāng)溫度繼續(xù)升高到一定程度，矩形板圍繞屈曲后的一個(gè)平衡位置隨機(jī)振動(dòng)。

3）位移響應(yīng)功率譜密度表明，屈曲前，矩形板基頻隨溫度的升高而降低；屈曲后，矩形板的基頻隨著溫度的升高而增加。矩形板的勢(shì)能變化趨勢(shì)表明，薄板厚度方向上的溫度梯度使矩形板的勢(shì)能曲線由對(duì)稱變?yōu)椴粚?duì)稱。

（References）

[1] Lee J.Large-amplitude plate vibration in an elevated thermal environment,WL-TR-92-3049[R].Wright Lab,Wright-Patterson AFB,1992

[2] Chilakamarri K B,Lee J.Thermal-acoustic fatigue damage accumulation model of random snap-throughs[C]//8thASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability,2000: 216

[3] Mei C,Dhainaut J M.Nonlinear random response of composite panels in an elevated thermal environment[D].Norfolk,VA: Old Dominion University,2000

[4] Sha Y D,Gao Z J,Xu F.Influences of thermal loads on nonlinear response of thin-walled structures in thermo-acoustic environment[J].Applied Mechanics and Materials,2012,105-107: 220-226

[5] Sha Y D,Li J Y,Gao Z J.Dynamic response of pre/post buckled thin-walled structure under thermo-acoustic loading[J].Applied Mechanics and Materials,2011,80-81: 536-541

[6] Sha Y D,Gao Z J,Xu F,et al.Influence of thermal loading on the dynamic response of thin-walled structure under thermo-acoustic loading[J].Advanced Engineering Forum,2011,2-3: 876-881

[7] Sha Y D,Wei J,Gao Z J.Nonlinear response and fatigue life prediction of thin-walled structures under thermo- acoustic loadings[J].Applied Mechanics and Materials,2012,157-158: 1204-1211

[8] Ko W L,Gong L.Thermostructural analysis of unconventional wing structures of a hyper-X hypersonic flight research vehicle for the Mach 7 mission,NASA/TP-2001-210398[R],2001

[9] Lee J,Vaicaitis R.Prediction of statistical dynamics of thermally buckled composite panals[C]//39thAIAA/ASME/ ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference and Exhibit,2012

[10] Kavallieratos P,Vaicaitis R.Nonlinear response of composite panels of high speed aircraft[J].Composite Engineering,1993,3(7/8): 645-660

[11] Shukla A,Gordon R W,Hollkamp J J.Nonlinear dynamics of a post-buckled beam: a parametric space investigation[C]//IMAC-XXV: Conference ＆Exposition on Structral Dynamics,2007

[12] Sha Y D,Xu F,Gao Z J.Nonlinear response of carbon-carbon composite panels subjected to thermal-acoustic loadings[J].Applied Mechanics and Materials,2012,117-119: 876-881

[13] 沙云東,聞邦椿,屈伸.薄壁板在隨機(jī)聲載荷作用下的振動(dòng)響應(yīng)譜估算[J].振動(dòng)與沖擊,2007,26(6): 63-66 Sha Yundong,Wen Bangchun,Qu Shen.Estimation of dynamic response spectrum of thin plate under random acoustic load[J].Journal of Vibration and Shock,2007,26(6): 63-66