丁建立，趙鍵濤＋，曹衛(wèi)東，胡海生，黃 威

（1.中國民航大學 計算機科學與技術(shù)學院，天津300300；2.中國民航信息網(wǎng)絡(luò)股份有限公司，北京100010）

0 引 言

航班鏈中的各個航班發(fā)生延誤受到的影響因素是多方面的，對于單個航班在知道上游航班延誤的情況下，很難對下游航班進行預測。然而，可以針對大多數(shù)航班鏈中的延誤傳遞情況進行分析，從中發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況下延誤傳遞的普遍規(guī)律，這無疑也具有重要現(xiàn)實意義。

在國外，學者針對航班延誤，從不同角度進行了研究。Pyrgiotis等用排隊論的思想建立了一個機場網(wǎng)絡(luò)模型對航班延誤進行研究，指出了在機場網(wǎng)絡(luò)模型中考慮延誤傳播的重要性［1］；Barnhart等針對乘客到達延誤，采用了一種自適應的啟發(fā)式方法來估計旅客到達延誤的影響，同時研究了影響航空系統(tǒng)正常運行的主要因素［2］；Hao等研究了某幾個機場的延誤給整個機場網(wǎng)絡(luò)帶來影響，得出部分機場的延誤狀況不能夠?qū)φ麄€航空系統(tǒng)的延誤狀況進行估計的結(jié)論［3］；AhmadBeygi等研究了航班計劃與航班延誤的關(guān)系，指出了在當前狀況下即使航班計劃預留出松弛時間用于吸收延誤，在上游的航班發(fā)生延誤的條件下，延誤依然會向下游航班傳播［4］，但是可以采取增加航班在機場的周轉(zhuǎn)時間的方式來減少延誤向下游機場的傳遞［5］；Song等從機場容量的角度出發(fā)，研究了天氣對機場容量的影響［6］；Laskey等用靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)對各種影響因素及航班延誤之間的關(guān)系進行了建模［7］，但是沒有考慮到飛機在機場周轉(zhuǎn)時間等因素。

在國內(nèi)，應圣鋼等運用優(yōu)化方法，研究了如何對飛機進行合理化調(diào)度，以減小潛在損失［8，9］，但沒有涉及如何進行預測；丁建立、徐濤等采用生物免疫、支持向量機、馬爾科夫鏈等方法對機場航班延誤數(shù)量進行預測［10－13］，但沒有涉及航班鏈中延誤的傳播性。曹衛(wèi)東、劉玉潔等用靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的方法對航班延誤傳播進行了分析，但沒有考慮到計劃過站時間的因素及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學習問題［13，14］。

本文針對航班延誤傳遞的特點，采用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)對航班鏈上的航班延誤傳遞狀況進行分析，研究了過站時間對延誤傳播的影響，并對延誤傳遞過程中延誤時間的不確定性進行了度量，比較了延誤傳遞各個過程中的不確定大小。

1 航班延誤傳遞模型

航空公司為了提高飛機利用率，通常會安排一架飛機在一天之內(nèi)執(zhí)行多個航班，當上游航班發(fā)生延誤時，延誤有可能會向下游傳播。若一個航班鏈中有p 個航班，每個航班離港延誤時間為Ti，i＝1，2，…，p，則下一航班離港延誤時間與上一航班離港延誤時間有關(guān)系，而與上一航班之前的航班離港延誤時間沒有關(guān)系，具有一階馬爾可夫性。離港延誤時間的傳遞關(guān)系如圖1所示。

圖1 航班延誤傳遞

將延誤時間離散化，設(shè)ti表示延誤時間為第i 個狀態(tài)，第p 個航班離港延誤時間為ti的概率為P（Tp＝ti），運用消元法

由于下一段航班離港延誤時間與上一段航班有關(guān)系，具有馬爾可夫性，所以

而這個關(guān)系正好可以用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)來表達。

2 航班延誤傳遞的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)以概率論為基礎(chǔ)，是一種把靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)與時間信息結(jié)合，能夠表達時序數(shù)據(jù)的隨機模型。動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的可以看成是隨機過程的圖形模式［16］。

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)（DBN）可以定義為（B0，B→），其中B0是先驗網(wǎng)絡(luò)，定義在初始狀態(tài)上的聯(lián)合概率分布，B→是轉(zhuǎn)移網(wǎng)。設(shè)X［t］表示t時刻隨機變量的取值，定義轉(zhuǎn)移概率P（X［t＋1］／X［t］）。在時刻1，X［1］中的父節(jié)點是在先驗網(wǎng)絡(luò)B0中的節(jié)點，在時刻t＋1，X［t＋1］的父節(jié)點是那些在t時刻和t＋1中都相關(guān)的在B→中的節(jié)點。動態(tài)貝葉斯網(wǎng)假設(shè)動態(tài)概率過程是馬氏的，即

也就是說t＋1時刻的取值情況只與t時刻的取值情況有關(guān)，而與t時刻之前的取值情況無關(guān)。若相鄰時間的條件概率過程是平穩(wěn)的，那么P（X［t＋1］／X［t］）與時間t無關(guān)。對于一個DBN 模型，在X［0］，X［0］，…，X［t］上的聯(lián)合概率分布為

針對航班離港延誤傳遞，對離港延誤時間有影響的因素除了有上一航班的離港延誤時間外，還有飛機在下一機場的計劃過站時間。在上一航班離港延誤時間確定的條件下，飛機在下一機場計劃過站時間越長，相當于緩沖時間越多，下一航班離港延誤的可能性就越小。因此，航班延誤傳遞可以表示為在一個時間片中包含兩個節(jié)點的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，其中一個節(jié)點表示計劃過站時間，另外一個節(jié)點表示離港延誤時間。航班延誤傳遞的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)是一個有向無環(huán)圖，弧的方向代表因果指向，而在動態(tài)貝葉斯網(wǎng)中為了表示的方便，允許環(huán)存在。但是，存在的環(huán)不僅代表因果關(guān)系，還意味著代表的因果關(guān)系能進行時間上的擴展。例如把圖2代表的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)進行擴展，擴展時間片為4，展開形式如圖3所示。

圖2 航班延誤傳遞的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

3 航班延誤傳遞動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學習

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)學習包括了結(jié)構(gòu)學習與參數(shù)學習。在對航班延誤傳遞進行研究時，采用的是采取經(jīng)驗確定動態(tài)貝葉斯網(wǎng)結(jié)構(gòu)，然后再根據(jù)確定了的結(jié)構(gòu)學習參數(shù)的方法。EM 方法和梯度方法是動態(tài)貝葉斯網(wǎng)在不完整數(shù)據(jù)集上學習參數(shù)的兩種方法。

圖3 包含4個時間片的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

3.1 EM 方法

在完整數(shù)據(jù)集中用統(tǒng)計方法對參數(shù)進行估計時，每個樣本的權(quán)重為1。而在運用含有缺失數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集對參數(shù)進行學習時，EM 方法基于當前參數(shù)對缺失數(shù)據(jù)集進行修補。一個缺值樣本經(jīng)過修補之后權(quán)重不再是1，而是對每一種修補情況都附加一個權(quán)重。在進行數(shù)據(jù)修補后，計算當前樣本集的最大似然參數(shù)估計，然后基于新的參數(shù)估計值計算似然函數(shù)值。若似然函數(shù)值增大，則基于新的參數(shù)估計值重新修補缺失數(shù)據(jù)，否則以當前參數(shù)值作為最終的參數(shù)估計值。

其中，P（Xl＝xl／Dl，）為以Xl＝xl方式修補樣本的權(quán)重。當Xl＝ 時，樣本是完整的，P（Xl＝xl／Dl）＝1。當對數(shù)似然函數(shù)取得最大值時

以此作為下一次迭代的參數(shù)，其中，mtijk是修補后數(shù)據(jù)Dt中所有滿足Xi＝k，π（Xi）＝j(luò)的樣本權(quán)重之和，ri為節(jié)點Xi的取值個數(shù)

EM 算法步驟見表1。

3.2 梯度方法

同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用梯度下降的方式尋找節(jié)點間連接權(quán)重的方法類似，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)參數(shù)估計選擇也可以采用梯度優(yōu)化的方法來尋找參數(shù)。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以誤差最小化作為優(yōu)化準則不同，貝葉斯網(wǎng)以似然函數(shù)最大化作為優(yōu)化準則。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過迭代之后收斂到誤差曲面的一個局部最小值，而貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過迭代之后將收斂到似然函數(shù)曲面的一個局部最大值。給定D ＝（D1，D2，…，Dm）為一組獨立同分布數(shù)據(jù)集，給定動態(tài)貝葉斯網(wǎng)結(jié)構(gòu)，參數(shù)的對數(shù)似然為

表1 EM 算法步驟

對參數(shù)求偏導

用梯度上升來更新每一個θijk，即

其中，η是學習率。然后再將θijk′歸一化

計算似然當前參數(shù)下的似然函數(shù)值，若似然函數(shù)值變大，則更新參數(shù)值，否則不更新。這樣經(jīng)過迭代之后，將得到參數(shù)的一個局部最大似然假設(shè)。

梯度法步驟見表2。

表2 梯度法步驟

3.3 參數(shù)學習比較

下面對兩種參數(shù)學習方法進行比較，用其中比較好的方法作為航班延誤傳遞分析動態(tài)貝葉斯網(wǎng)的參數(shù)學習方法，其中梯度法η設(shè)置為0.02。實驗中采用的數(shù)據(jù)是國內(nèi)某大型航空公司在某省的航班數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)預處理后共有3800條數(shù)據(jù)。圖4所示為兩種方法的學習曲線。

圖4 航班延誤傳遞動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學習曲線

似然度越大，即負的對數(shù)似然值越小，說明得到的參數(shù)越符合訓練數(shù)據(jù)。從圖4 中可以看到，在計算參數(shù)時，EM 方法在收斂速度和對樣本數(shù)據(jù)的擬合能力上，均比梯度方法效果好。

4 基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)EM 參數(shù)學習方法的航班延誤傳遞分析

首次航班的計劃過站時間為首發(fā)計劃起飛時間減去上一天最后一個航班的計劃降落時間，由于首次航班的延誤時間不考慮過站時間的影響，因此在展開后的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)中去掉了指向首次航班離港時間的過站時間節(jié)點。訓練后結(jié)果如圖5所示。

圖5 基于EM 參數(shù)學習方法的航班延誤傳遞學習結(jié)果

表3和表4為部分情況下的轉(zhuǎn)移概率。對比兩個表可以發(fā)現(xiàn)，相同條件下的轉(zhuǎn)移概率并不相等，其它條件下也有類似的情況，說明航班延誤傳遞是一個非穩(wěn)態(tài)過程。

在航班實際執(zhí)行之前，航班計劃是已知的，所以飛機在各個機場的計劃過站時間也是已知的。因此，在上游航班延誤狀況已知的前提下，根據(jù)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)學習結(jié)果，可以得出后續(xù)航班的離港延誤時間的概率分布。圖6所示為首發(fā)航班時延誤時間為30～40分鐘，后續(xù)航班的計劃過站時間都為40～50分鐘時，后續(xù)航班離港延誤時間的概率分布。圖7所示為首發(fā)航班時延誤時間為30～40分鐘，后續(xù)航班的計劃過站時間都為70～80分鐘時，后續(xù)航班離港延誤時間的概率分布。

表3 離港延誤時間 ［1］轉(zhuǎn)移概率

表4 離港延誤時間 ［2］轉(zhuǎn)移概率

圖6 航班離港延誤時間概率分布1

圖7 航班離港延誤時間概率分布2

對比圖6和圖7可以看到，當上游航班發(fā)生離港延誤時，若下游航班過站時間充分，大多數(shù)情況下延誤是可以被逐漸吸收的。其它條件下也有類似的情況。為了度量各時間片中離港延誤時間的不確定性，計算各離港延誤時間的熵值，熵的定義如下

式中：P（xi）——狀態(tài)xi出現(xiàn)的概率，n——狀態(tài)個數(shù)。以變量X1，X2，X3分別代表各個時間片中的離港延誤時間，按10分鐘為一個狀態(tài)，由公式計算上述兩種不同條件下各時間片中離港延誤時間的熵值，結(jié)果見表5。

表5 不同情況下離港延誤時間熵值

分析數(shù)據(jù)可以看出，上述兩種情況下，在航班離港延誤時間傳遞的過程中，隨著時間片的遞增，離港延誤時間的熵是在不斷增大的，即不確定性是在逐漸增大的，預測準確的可能性是在逐漸降低的。在其它條件下也有類似的情況。

5 結(jié)束語

本文用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)對航班延誤傳遞進行研究，并對典型的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)參數(shù)學習的效果進行了比較，對其中較好的學習結(jié)果進行了分析。分析結(jié)果表明，若過站時間充分，在大部分情況下，航班延誤在傳遞的過程中是可以被逐段吸收的。另外，隨著航班延誤動態(tài)貝葉斯網(wǎng)時間片的增加，離港延誤時間的不確定性逐漸增大的，預測準確的可能性是逐漸減小的。

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