余 婷

(西安電子科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西西安 710071)

圖像在形成和傳輸過程中由于噪聲的干擾而導致質(zhì)量下降，嚴重影響了人們對圖像正確信息的獲取，所以對圖像進行后續(xù)處理前，必須先對圖像進行去噪、減弱干擾。傳統(tǒng)圖像去噪方法，如中值濾波、高斯濾波等，在去噪的過程中，丟失了圖像較多的重要細節(jié)，因此尋找一些新的圖像去噪方法是必要的。

近年來，變分、偏微分方法在圖像處理中得到了廣泛應用［1－3，11－16］。其中，全變差模型 (Rudin，Osher，F(xiàn)atemi，ROF)［1］是較為典型的代表。ROF 模型因其具有良好的保邊性能而倍受青睞，但該模型在圖像恢復過程中常常會出現(xiàn)階梯效應。因此，繼ROF模型后，眾多改進的新模型［2－3］被提出。但這些改進的焦點主要是針對模型的正則項，而對于模型忠誠項改進的研究則是有限的。ROF模型的忠誠項實際使用L2空間對圖像的“振蕩”成分進行建模，并用L2度量進行刻畫。事實上，L2度量反映的是圖像均方誤差(MSE)，而MSE在度量圖像相似性方面經(jīng)常與視覺效果有較大反差［4－7］，用其作為忠誠項會給恢復圖像的視覺效果帶來較大影響。其中，文獻［4］對MSE的缺陷作了詳細分析。因此，需尋找一種新的刻畫忠誠項的度量來代替L2度量。

為亮度、對比度和結(jié)構(gòu)3個不同因素的組合，用均值作為亮度的估計，標準差作為對比度的估計，協(xié)方差作為結(jié)構(gòu)相似度的估計。因此，SSIM不僅可較好地度量圖像間的相似性，并與人眼對結(jié)構(gòu)信息敏感的特點相符。從視覺效果上看，盡管SSIM獲得了眾多圖像研究者的認可，但其應用一直被限制在圖像評估領域。最近，王舟等用SSIM代替MSE作為圖像信號的稀疏表示與近似的優(yōu)化準則［8－11］，并取得了良好的效果，這將SSIM的應用領域進一步推廣。

本文從提高恢復圖像視覺效果的角度出發(fā)，將SSIM作為一種忠誠項的度量用于圖像去噪模型中。針對ROF模型中刻畫忠誠項的L2度量并未考慮圖像空間結(jié)構(gòu)性導致去噪后圖像視覺效果差的缺陷，提出兩種改進的去噪模型。模型1在ROF模型忠誠項中引入SSIM，提高恢復圖像的視覺效果，模型2是在模型1的基礎上，為更好地保護圖像的邊緣，用非凸正則項［12－14］代替TV正則項所得到的。通過數(shù)值實驗驗證了本文提出新模型的有效性。

1 基于結(jié)構(gòu)相似度的圖像去噪模型及算法

1.1 預備知識

結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)作為圖像質(zhì)量評估的一種方法，在圖像質(zhì)量評估領域獲得了廣泛應用。該方法將原始圖像和失真圖像劃分為重疊或不重疊的子塊，計算失真圖像與原始圖像對應圖像塊的結(jié)構(gòu)相似度的公式為

其中，x、y分別為原始圖像和失真圖像的子塊;μx、μy分別表示x和y的均值;σx、σy分別表示x和y的標準差;σxy表示x和y的協(xié)方差;C1、C2是較小的常數(shù)，用于防止分母過小而接近于零時產(chǎn)生的不合理計算結(jié)果。在此基礎上，整幅圖像的結(jié)構(gòu)相似度定義為

式中，X、Y分別為原始圖像和失真圖像;N為圖像字塊的數(shù)目;Xi和Yi是對應的第i個圖像子塊。

1.2 模型的建立及其算法

設u(x)為要恢復的圖像，f(x)為噪聲污染的圖像。經(jīng)典的ROF去噪模型為

其中，λ是正則項參數(shù)，其在正則項和忠誠項之間起著重要的平衡作用。

ROF模型的忠誠項(L2度量)刻畫的是圖像的均方誤差(MSE)。而MSE只反映圖像單像素點間的差異，忽視了圖像的空間結(jié)構(gòu)。事實上，自然圖像是高度結(jié)構(gòu)化的，即像素間有較強的相關性，尤其是空域中較接近的像素，這種相關性蘊含著視覺場景中物體結(jié)構(gòu)的重要信息。王舟提出的結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)從圖像組成的角度將結(jié)構(gòu)信息定義為獨立于亮度、對比度，并反映圖像中物體結(jié)構(gòu)的屬性。在此基礎上，將失真建模為亮度、對比度和結(jié)構(gòu)3個不同因素的組合，再用均值作為亮度的估計，標準差作為對比度的估計，協(xié)方差作為結(jié)構(gòu)相似度的估計，用其作為忠誠項的度量，能克服L2度量未考慮圖像結(jié)構(gòu)性導致恢復圖像視覺效果差的缺點，使恢復的圖像盡量保持原有結(jié)構(gòu)，從而提高了恢復圖像的視覺效果。為進一步理解用SSIM作為圖像忠誠項的度量優(yōu)于MSE，本文通過以下舉例進行說明。

圖1 “愛因斯坦”圖像

表1 “愛因斯坦”圖的MSE值和SSIM值

從該例可看出，雖圖1中的4幅圖像視覺效果有較大差異，但其MSE值幾乎相同，這說明MSE作為一種刻畫圖像質(zhì)量的指標不能真實反映圖像的視覺效果，即用L2度量作為去噪模型的忠城項可能會導致恢復的圖像視覺效果差。而SSIM度量能如實反映圖像的視覺效果，因此用其代替L2度量應當會有更好的效果。

基于以上分析，本文引入SSIM到ROF模型中以彌補L2度量的缺陷。由結(jié)構(gòu)相似度的定義可看出，SSIM(f，u)介于 －1～1之間，且 SSIM(f，u)的值越大越好。為此，用1－SSIM(f，u)代替L2度量，得到模型1

模型1與ROF模型的主要區(qū)別是:L2度量只計算兩幅圖像對應像素灰度值的絕對差，并將所有誤差的絕對值相加求和，若將圖像空間的像素位置任意排列組合后計算L2度量值基本無變化，但圖像的視覺效果則會有較大改變，這是由于自然圖像具有高度的結(jié)構(gòu)性，像素點的排列次序攜帶大量結(jié)構(gòu)信息，而L2度量未考慮圖像的位置信息和像素之間的相關性，導致恢復圖像的視覺效果差。而由SSIM的定義可看出，其將亮度、對比度和結(jié)構(gòu)信息相結(jié)合，使新的去噪算法能盡量保持原圖像的結(jié)構(gòu)信息，使濾出的噪聲更接近于理想的隨機分布噪聲，從而達到了更好的去噪效果。此外，SSIM不但可較好地度量圖像之間的相似性，還與人眼對結(jié)構(gòu)信息敏感的特點相符。因此，用其來刻畫去噪模型的忠誠項可提高恢復圖像的視覺效果。

模型1對應的Euler－Lagrange方程為

其中，x、y分別表示圖像 f與 u的相應子塊。A1=2μxμy+C1，A2=2σxy+C2，B1= μ2x+μ2y+C1，B2= σ2x+σ2+C，M表示局部圖像塊的像素個數(shù)，1表示各元素y2均為1的向量。

根據(jù)式(5)并由梯度下降法可得到

求解模型1的完整算法描述如下:

算法1

步驟1 初始化:給定參數(shù) λ、τ，設定 u0=f，并令n=0。

步驟2 由式(7)計算un+1。

1.3 模型的改進及算法

文獻［12～13］中指出，非凸正則項在保護圖像邊緣方面的性能優(yōu)于TV正則項。因此，考慮到圖像邊緣的保護，引入非凸正則項可將模型1推廣到模型2

相比于ROF模型，該模型主要有兩個優(yōu)點:(1)忠誠項的優(yōu)點如模型的分析。(2)正則項采用非凸正則項可較好地保護圖像的邊緣和紋理。這是由于在光滑區(qū)域→α▽u，此時非凸正則項相當于TV正則項，模型主要特點是對圖像進行光滑，從而能較好地去除噪聲;在邊緣及紋理區(qū)域，模型的主要特點是對圖像結(jié)構(gòu)信息的保持，而幾乎不再進行光滑，進而較好地保護了圖像邊緣。

為求解模型2，引入輔助變量v，式(8)轉(zhuǎn)化為

其中，μ為調(diào)節(jié)參數(shù);μ常取作一個充分大的數(shù)以保證u≈v。式(9)中包含兩個變量u和v，采用交替迭代的策略將其轉(zhuǎn)化成下面兩個簡單的子模型

式(10)的Euler－Lagrange方程為

根據(jù)式(12)并利用梯度下降法可得到式(10)的迭代求解公式。式(11)的求解，采用迭代重加權方法，引入變量式(11)可轉(zhuǎn)化為

最終求解式(13)的迭代公式如下

式(15)中，p0=0，當n≥1時，求解p的迭代公式為

其中，τ為時間步長。

綜上，求解模型2的算法如下:

算法2

步驟1 初始化:給定參數(shù) λ，μ，τ＞0，設定u0=f，v0=f，p0=0，并令 k=1。

步驟2 利用式(14)計算bk－1。

步驟3 根據(jù)式(12)并利用梯度下降法計算uk。

步驟4 利用式(15)計算vk。

2 數(shù)值實驗

為驗證新方法的有效性，本文分別對4幅大小為256×256的帶噪圖像進行實驗，并將新模型的去噪效果和ROF模型進行比較。本文將從視覺效果和定量指標兩方面對恢復圖像質(zhì)量進行考察。采用的定量指標為結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)和峰值信噪比(PSNR)。其中，PSNR的定義為

式中，P為原始無噪圖像;P'為恢復后的圖像;M和N為圖像尺寸大小;i，j為圖像像素下標。

2.1 參數(shù)的選擇

算法1 中涉及的參數(shù)有λ、τ。試驗發(fā)現(xiàn)，τ=0.01時可在算法的去噪效果和收斂速度之間取得較好的平衡。參數(shù)λ對實驗的結(jié)果影響較大，大量的數(shù)值仿真結(jié)果表明，以0.01為步長，λ在0.02～0.1之間取值時實驗結(jié)果較優(yōu)。

算法2 中包含參數(shù)μ，τ，λ和α。試驗發(fā)現(xiàn)，算法對參數(shù)μ并不敏感(本文實驗選取μ=10)，對參數(shù)τ、λ和α則較為敏感，大量數(shù)值結(jié)果表明τ=0.01時能在算法的收斂速度和去噪效果之間取得平衡。參數(shù)對去噪效果影響比較大，它們的取值不僅依賴于噪聲的強度，還與帶噪圖像有關，所以如何很好地選擇這兩個參數(shù)是本實驗的難點。由于其均是作用在正則項上的，可采用固定其中一個參數(shù)，調(diào)整另一個參數(shù)的策略。大量數(shù)值仿真結(jié)果表明，固定α=0.05，以0.01為步長，λ在0.05～0.2之間取值，可獲得較好的實驗效果。

為便于比較，算法1和算法2的停止標準中參數(shù)ε均取10－4。在選取圖像子塊時，為防止“塊效應”現(xiàn)象，本文實驗均采用11×11高斯窗對圖像進行逐點滑動來選取圖像子塊。式(6)中μx、σ2x和σxy的計算公式如下

其中，N表示每個子塊中元素的個數(shù);xi、yi分別表示子塊x和y的第i個元素;ωi(i=1，2，…，N)表示每個子塊中第i個元素的權重且。式(20)中，大量的數(shù)值試驗表明參數(shù)K1=0.01，K2=0.03，L=255實驗結(jié)果較優(yōu)。

2.2 實驗結(jié)果分析

圖2選取“House”圖像作為實驗對象，實驗中加入標準差σ=20的高斯白噪聲。圖2給出了模型1、模型2及ROF模型的去噪結(jié)果。其中，圖2(a)為噪聲圖像，圖2(b)為ROF模型去噪結(jié)果，圖2(c)為模型1去噪結(jié)果，圖2(d)為模型2的去噪結(jié)果，圖2(e)、圖2(f)和圖2(g)分別為圖1(b)，圖2(c)和圖2(d)的局部放大。比較3種方法的去噪結(jié)果，ROF模型結(jié)果有明顯塊效應，恢復圖像的視覺效果較模糊，而模型1和模型2的去噪結(jié)果則較光滑、自然，圖像的視覺效果也較好，尤其是模型2的去噪結(jié)果對圖像的細節(jié)部分保持的更為清晰，從局部放大的圖像中可清楚地看到這一點。

圖3選取細節(jié)豐富的結(jié)構(gòu)圖“Lena”圖像作為實驗對象，實驗中加入的高斯白噪聲的標準差為σ=20。

表2 不同方法的恢復圖像SSIM值比較 dB

表3 不同方法的恢復圖像PSNR值比較 dB

圖2 House圖像實驗結(jié)果

圖3給出了模型1、模型2及ROF模型的去噪結(jié)果。其中，圖3(a)為噪聲圖像;圖3(b)為ROF模型去噪結(jié)果;圖3(c)為模型1去噪結(jié)果;圖3(d)為模型的去噪結(jié)果;圖3(e)、圖3(f)、圖3(g)分別為圖2(b)、圖2(c)、圖2(d)的局部放大。從3種模型去噪結(jié)果的局部放大圖中可看出，圖3(e)中Lena的臉頰、鼻梁、下巴等均較為模糊，而圖3(f)和圖3(g)中以上細節(jié)均得到了較好地保持，尤其是圖3(g)中圖像的細節(jié)等處理得更好，由此說明了模型2的去噪結(jié)果要優(yōu)于模型1。

圖3 Lena圖像去噪結(jié)果

表2和表3給出了各種方法去噪結(jié)果的實驗數(shù)據(jù)比較。其中，表2是SSIM值比較，表3是PSNR值比較。由表中數(shù)據(jù)可看出，模型1和模型2獲得了較高的SSIM值和PSNR值，從客觀上表明了這兩種方法的優(yōu)越性。此外，可看出模型2比模型1的去噪效果有了進一步的提高，這說明用非凸正則項代替TV正則項可獲得更好的去噪效果。

4 結(jié)束語

在研究圖像結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)的基礎上，基于經(jīng)典的ROF去噪模型，提出了兩種新的圖像去噪模型。模型1將SSIM這一符合人眼視覺效果的圖像質(zhì)量評估指標作為刻畫忠誠項的度量引入到ROF模型中，克服了原有模型的L2度量未考慮圖像空間結(jié)構(gòu)性而導致恢復圖像視覺效果差的缺陷。在模型1的基礎上，為更好地保護圖像邊緣，用非凸正則項代替TV正則項，得到改進的模型2。數(shù)值實驗表明，相比于ROF模型，模型1及模型2在去噪過程中能更好地保持圖像的結(jié)構(gòu)信息，提高了恢復圖像的視覺效果，且模型2在圖像邊緣保護方面優(yōu)于模型1。值得說明的是，本文將SSIM作為忠誠項的度量應用到圖像去噪模型中，并取得了較好的效果。因此，本文提出SSIM的應用不僅局限于圖像質(zhì)量評估領域，將其作為一種忠誠項的度量應用到圖像去噪等領域?qū)⒂懈鼜V闊的應用空間。

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