王玉春，李曉文

（北京師范大學(xué)物理系，北京100875）

0 引言

1979年，Ikeda在研究非線(xiàn)性光學(xué)諧振腔時(shí)，從Maxwell－Debye方程中推導(dǎo)出了延遲偏微分方程（DDE），他對(duì)此方程進(jìn)行數(shù)值分析后發(fā)現(xiàn)：隨著系統(tǒng)控制參數(shù)的改變，系統(tǒng)會(huì)有周期態(tài)和混沌態(tài)的輸出［1］?；煦鐟B(tài)是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象，其基本特性就是對(duì)初值條件極為敏感，具有隨機(jī)變化的特點(diǎn)，它的動(dòng)力學(xué)行為具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性，因此，在保密通信、傳感器網(wǎng)絡(luò)、超寬帶混沌雷達(dá)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。為此，很多人致力于能找到一個(gè)可以用DDE方程來(lái)描述其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，并將此類(lèi)系統(tǒng)作為信號(hào)發(fā)生器應(yīng)用于實(shí)踐中。

近幾十年來(lái)，人們不斷調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置，從純光學(xué)系統(tǒng)到光電系統(tǒng)的改進(jìn)，不僅增加了系統(tǒng)操作的穩(wěn)定性，也增加了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性。我們所研究的非線(xiàn)性光電反饋延遲系統(tǒng)就是經(jīng)過(guò)多次改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)［2］（見(jiàn)圖1）。此類(lèi)系統(tǒng)主要由半導(dǎo)體激光器、馬赫－曾德?tīng)枺∕－Z）光強(qiáng)調(diào)制器、光電探測(cè)器、交流耦合放大器等元件組成光電反饋環(huán)。M－Z光強(qiáng)調(diào)制器透射的光強(qiáng)與加在調(diào)制器上的調(diào)制電壓成余弦平方關(guān)系，這是此系統(tǒng)非線(xiàn)性的來(lái)源。

非線(xiàn)性光電延遲反饋環(huán)在非線(xiàn)性、延遲和反饋的共同作用下會(huì)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)［3］，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。近年來(lái)，在現(xiàn)代科技發(fā)展的進(jìn)程中，實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)分析及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬等多種研究手段的共同運(yùn)用使得我們可以更清晰地研究復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)。人們對(duì)非線(xiàn)性光電延遲反饋環(huán)的研究主要集中于兩方面：系統(tǒng)在控制參數(shù)改變時(shí)所呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)；能夠產(chǎn)生用于實(shí)際應(yīng)用的混沌態(tài)。本文主要對(duì)其動(dòng)力學(xué)狀態(tài)進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬。

圖1 非線(xiàn)性光電反饋延遲系統(tǒng)Fig.1 Time－delayed feedback nonlinear optoelectronic system

1 非線(xiàn)性光電延遲反饋環(huán)的數(shù)學(xué)模型

用式（1）的DDE方程［4］來(lái)描述非線(xiàn)性光電延遲反饋環(huán)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)：

其中，β為反饋強(qiáng)度，ε為低通濾波器與高通濾波器時(shí)間常數(shù)的比值，τ為時(shí)間延遲，φ0為M－Z光強(qiáng)調(diào)制器的偏置相位。本文取ε＝2.45×10－6，φ0＝π／4，τ＝34.3ns。

對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，將方程進(jìn)行變分可得

其中，xτ＝x（t－τ），λ為方程的特征值。對(duì)應(yīng)的特征值方程為

整理可得

當(dāng)特征值λ的值為純虛數(shù)時(shí)，也就是說(shuō)當(dāng)λ＝±iω時(shí)，會(huì)出現(xiàn)Hopf分岔。取γ＝βsin2φ0，方程（4）轉(zhuǎn)化為

2 不同反饋強(qiáng)度下系統(tǒng)呈現(xiàn)的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)

我們所研究的非線(xiàn)性光電延遲反饋環(huán)的動(dòng)力學(xué)方程解的情況比較復(fù)雜，精確解的計(jì)算比較困難。我們主要通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)進(jìn)行研究。該系統(tǒng)的控制參數(shù)主要有兩個(gè)：反饋強(qiáng)度β和偏置相位φ。本文主要研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨反饋強(qiáng)度的改變而發(fā)生的變化。從圖3中可以看出，隨著反饋強(qiáng)度β的增加，系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)經(jīng)過(guò)一系列周期態(tài)最終到達(dá)混沌態(tài)，經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的一系列豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)：當(dāng)β＜1時(shí)，反饋強(qiáng)度低，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)；當(dāng)1＜β＜1.8時(shí)，系統(tǒng)處于對(duì)應(yīng)的不同周期態(tài)；當(dāng)β＞1.8時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)逐漸變得復(fù)雜。

圖4給出了系統(tǒng)的反饋強(qiáng)度β比1稍大時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)，可見(jiàn)，系統(tǒng)處于不同的周期態(tài)。當(dāng)反饋強(qiáng)度的值達(dá)到中等強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨著反饋強(qiáng)度的增大變得更為復(fù)雜，而且還出現(xiàn)了快慢時(shí)間尺度交替的混合狀態(tài)，這樣的狀態(tài)稱(chēng)為混沌呼吸子［5］。隨著反饋強(qiáng)度β的增加，系統(tǒng)由原來(lái)的低頻周期態(tài)發(fā)展到二級(jí)分岔，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)比較有趣的混合狀態(tài)—快尺度的動(dòng)力學(xué)加載到慢尺度的極限環(huán)上。圖4b是β＝1.5時(shí)的低頻周期態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間尺度為μs，振幅的極值類(lèi)似于一對(duì)不動(dòng)點(diǎn)，在這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，它們附近的動(dòng)力學(xué)較為緩慢。

圖2 β＝0.8時(shí)系統(tǒng)處在穩(wěn)定狀態(tài)Fig.2 The system is stable whenβ＝0.8

圖3 隨反饋強(qiáng)度的增加系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation versus increasing feedback strength

圖4 β＝1.1，β＝1.5時(shí)系統(tǒng)處在兩種不同的周期態(tài)Fig.4 The system stays at different periodic state asβ＝1.1andβ＝1.5

隨著反饋強(qiáng)度β的進(jìn)一步增加，β＝1.8時(shí)振幅極值點(diǎn)開(kāi)始出現(xiàn)快尺度的振蕩，如圖5a所示，圖5b是圖5a極值點(diǎn)附近的局部放大圖，可以看出，快尺度的動(dòng)力學(xué)從剛開(kāi)始產(chǎn)生就經(jīng)歷了快速的振蕩，而且還是以準(zhǔn)方波的周期態(tài)出現(xiàn)的。繼續(xù)增加反饋強(qiáng)度β的值，β＝2.0時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)如圖5c所示，其振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)狀態(tài)所占的時(shí)間間隔在增加，從圖5d可以看出，振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)仍然是以準(zhǔn)方波周期態(tài)的形式出現(xiàn)的，振蕩一段時(shí)間以后很快衰減。

圖5 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)Fig.5 System dynamic state

當(dāng)反饋強(qiáng)度β＝2.3時(shí)系統(tǒng)還是處于混沌呼吸子狀態(tài)，如圖5 e所示。這時(shí)從圖5f的局部放大圖中可以看出，振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)狀態(tài)不再是準(zhǔn)方波的周期態(tài)，從其時(shí)間序列看出是一種復(fù)雜的混沌態(tài)。進(jìn)一步增加反饋強(qiáng)度β的值，快尺度的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)所占時(shí)間間隔有著明顯的增加，其時(shí)間序列更為復(fù)雜，時(shí)間尺度更快，此時(shí)混沌態(tài)作為一種快尺度（ns）的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)被嵌入慢尺度（μs）的周期態(tài)中。從上述分析中可以看到，隨著反饋強(qiáng)度β的值越來(lái)越大，系統(tǒng)正在向著混沌狀態(tài)變化，如圖5g～k所示。圖6為β＝3.2時(shí)混沌態(tài)的頻譜，從圖中可以看出，其功率譜十分平坦，類(lèi)似于噪聲。

圖6 β＝3.2時(shí)系統(tǒng)混沌態(tài)的頻譜圖Fig.6 Frequency spectrogram of the chaotic state asβ＝3.2

3 結(jié)論

非線(xiàn)性光電反饋延遲系統(tǒng)在非線(xiàn)性、延遲和反饋的共同作用下會(huì)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。本文首先對(duì)于非線(xiàn)性光電反饋延遲系統(tǒng)的數(shù)值模型做了理論分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)反饋強(qiáng)度小于1時(shí)系統(tǒng)一直處于穩(wěn)態(tài)。反饋強(qiáng)度接近于1時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)Hopf分岔。得到了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨反饋強(qiáng)度變化的分岔圖。隨著反饋強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)從低頻周期態(tài)變化到快慢時(shí)間尺度混合的混沌呼吸子，最后到達(dá)高維混沌態(tài)。我們得到了系統(tǒng)的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的時(shí)間序列，并分析了所得混沌態(tài)的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌態(tài)的頻譜圖具有噪聲背景和寬峰，這樣的混沌態(tài)在很多方面都有重要應(yīng)用，例如超帶寬傳感器等。

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