陳思溢 皮佑國(guó)

(1.華南理工大學(xué) 自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州510640 2.華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州510640)

高性能永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)對(duì)速度和位置控制精度要求日益增高，對(duì)傳感器的要求也隨之提高，從而勢(shì)必加大系統(tǒng)安裝的成本.因此，永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)在風(fēng)機(jī)、水泵等適用于位置開(kāi)環(huán)或?qū)Ψ€(wěn)態(tài)精度要求不高的領(lǐng)域內(nèi)獲得了愈發(fā)廣泛的應(yīng)用.如何在不對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行直接測(cè)量的基礎(chǔ)上，提高系統(tǒng)的控制與觀測(cè)精度，已成為永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制領(lǐng)域內(nèi)亟待解決的問(wèn)題.

目前，除了采用高頻信號(hào)注入和卡爾曼濾波［1-3］等需要增加系統(tǒng)外設(shè)或系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜程度的方法來(lái)提高系統(tǒng)控制與觀測(cè)精度外，滑模觀測(cè)技術(shù)以其對(duì)系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變和外部擾動(dòng)的強(qiáng)魯棒性，為無(wú)位置傳感器系統(tǒng)的高性能控制提供了一條有效的途徑.其中，滑模觀測(cè)技術(shù)主要可分為以下幾類(lèi):采用高階滑模觀測(cè)器算法［4］;加入自適應(yīng)算法，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)滑模觀測(cè)器［5］;利用智能控制算法調(diào)節(jié)滑模觀測(cè)器參數(shù)［6-8］.雖然采用上述方法能在一定程度上提高無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的控制與觀測(cè)精度，但它們均未對(duì)低速或零速狀態(tài)下的系統(tǒng)控制與觀測(cè)效果進(jìn)行分析，而這正是無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的研究難點(diǎn)所在.因此，上述方法均具有一定的局限性.

文中采用他控啟動(dòng)和自控運(yùn)行的分段控制策略，即在轉(zhuǎn)子定位以后，給電機(jī)定子一個(gè)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)使電機(jī)啟動(dòng)，啟動(dòng)后滑模觀測(cè)器不斷對(duì)電機(jī)的電流和轉(zhuǎn)速進(jìn)行觀測(cè)，待電機(jī)啟動(dòng)到其電流電壓滿足預(yù)測(cè)計(jì)算時(shí)再切換到自控方式運(yùn)行.同時(shí)，為了提高無(wú)位置傳感器的控制與觀測(cè)精度，減小系統(tǒng)控制方式由他控向自控切換過(guò)程中所產(chǎn)生的抖振，算法中永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型與分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器的引入，為其提供了一種新的解決思路.

首先給出了永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型;然后在此基礎(chǔ)上提出基于分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器的轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速的估計(jì)方法以及相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性證明方法，同時(shí)也討論了分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器參數(shù)的整定方法;最后給出了仿真分析及原型實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，文中提出的控制策略具有較高的綜合控制性能.

1 永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)在兩相靜止α，β 坐標(biāo)系下的定子電壓方程為［9］

式中，uα、uβ為α，β 坐標(biāo)系下的定子電壓，iα、iβ為定子電流，Rs為定子電阻，L 為定子電感，p 為微分算子，Eα、Eβ為反電動(dòng)勢(shì).

相應(yīng)地，電磁轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中，J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Bm為摩擦系數(shù)，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，TM為電磁轉(zhuǎn)矩，ω 為轉(zhuǎn)速.

通過(guò)采用id=0 的磁場(chǎng)定向控制策略，其中id為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的直軸電流，電磁轉(zhuǎn)矩平衡方程可簡(jiǎn)化為

式中，φm為氣隙磁通量，Cm為電機(jī)在額定磁通下的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，iq為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的交軸電流.

考慮到實(shí)際電容和電感所具有的分?jǐn)?shù)階特性，結(jié)合文獻(xiàn)［10］提出的永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)階建模方法，給出永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階方程表達(dá)式如下:

式中，Γ(·) 為Gamma 函數(shù)，其表達(dá)式為Γ(z) =

2 分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器(FO-SMO)設(shè)計(jì)

圖1給出了建立在分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器系統(tǒng)框圖.系統(tǒng)由兩部分組成.其中，位于虛線框外面的是真實(shí)的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)模型;而位于虛線框里面的則包含永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)模型及分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器兩個(gè)模塊.

圖1 基于分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of fractional order sliding mode observer system based on fractional order mathematical model of PMSM

2.1 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

依據(jù)永磁同步電機(jī)在兩相靜止α，β 坐標(biāo)系下的分?jǐn)?shù)階定子電壓方程，構(gòu)造滑模觀測(cè)器為

將永磁同步電機(jī)在兩相靜止定義α，β 坐標(biāo)系下的分?jǐn)?shù)階定子電壓方程(4)與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程(6)相減，并定義觀測(cè)誤差，可得到定子電流誤差系統(tǒng)方程為

針對(duì)滑模觀測(cè)器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)切換函數(shù):

式中，λ為滑模面增益，r 為分?jǐn)?shù)階微積分的階次.

2.2 可達(dá)性證明

為證明系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)V:

考慮到式(7)中的微分項(xiàng)階次為分?jǐn)?shù)階，若直接對(duì)Lyapunov 函數(shù)一階求導(dǎo)，則加大了對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行論證的復(fù)雜度［11-12］.因此，對(duì)Lyapunov 函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)，則有:

其中，

因此，令

并代入式(10)中，可得:

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到切換流行面.

2.3 滑模觀測(cè)器參數(shù)整定

滑模觀測(cè)器中的系統(tǒng)運(yùn)行軌跡分為趨近模態(tài)與滑動(dòng)模態(tài)兩個(gè)過(guò)程［13］.分析式(11)可知，當(dāng)s = 0時(shí)，即說(shuō)明系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行軌跡到達(dá)滑模面，并開(kāi)始進(jìn)行滑模運(yùn)動(dòng)，此時(shí)可改寫(xiě)式(11)為

分析圖1中虛線框內(nèi)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并結(jié)合考慮滑模運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的控制率方程(12)及永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)模型方程(6)，可畫(huà)出相應(yīng)的系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Equivalent structure diagram of system

從圖2中可以看出，將永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)模型

(6)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式，可得:

在滑模運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，控制率(12)也可轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)，即

根據(jù)式(13)及式(14)，可得出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的形式為

下面是3 條設(shè)計(jì)準(zhǔn)則［14］:

(1)相角裕度準(zhǔn)則

(2)穿越頻率準(zhǔn)則

(3)增益變化魯棒性準(zhǔn)則

其中，ωc為幅頻特性曲線的截止頻率，φm為相角裕度.

聯(lián)立由3 條設(shè)計(jì)準(zhǔn)則構(gòu)造得出的方程，可得:

其中:

根據(jù)式(16)及式(17)，可繪出 1 和 2 關(guān)于r 變化的兩條曲線，如圖3所示.

圖3 隨r 變化的曲線Fig.3 Curves of changing with r

求解圖3中兩條曲線的交點(diǎn)，可得到分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器方程(8)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為 = -132.9及r = -1.62 .所設(shè)計(jì)出的基于分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器與分?jǐn)?shù)階模型的永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的波特圖如圖4所示.

圖4 整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的系統(tǒng)波特圖Fig.4 System Bode diagrams with IO-SMO and FO-SMO

從圖4中可以看出，系統(tǒng)截止頻率和相角裕度均滿足設(shè)計(jì)要求;且在截止頻率處，相頻特性曲線的斜率為零，滿足增益變化魯棒性準(zhǔn)則的要求.

3 啟動(dòng)過(guò)程分析

文中提出的永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)為矢量控制系統(tǒng).當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速位于零速或附近的低速范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)法避免控制死區(qū)及觀測(cè)死區(qū)的問(wèn)題，此時(shí)矢量控制系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)速環(huán)為開(kāi)環(huán)狀態(tài).因此，為保證電機(jī)能夠平滑啟動(dòng)或停機(jī)，須保證系統(tǒng)產(chǎn)生的定子圓形旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的幅值與相角能穩(wěn)定地增大或減小.圖5給出了啟動(dòng)過(guò)程中電壓空間矢量的變化規(guī)律，圖中α 軸與β 軸分別代表電壓空間矢量在靜止兩相αβ 坐標(biāo)系下的分量;相互嵌套的虛線圓為電壓空間矢量在幅值恒定時(shí)旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的狀態(tài)軌跡;U1-U6為按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)順序增大的6 個(gè)電壓空間矢量，隨著矢量幅值的增大，電機(jī)轉(zhuǎn)速也將相應(yīng)地增大，從而實(shí)現(xiàn)電機(jī)的平滑啟動(dòng).

圖5 定子電壓空間矢量變化規(guī)律Fig.5 Changing patterns of stator voltage space vector

4 仿真結(jié)果與討論

以Matlab 軟件為仿真平臺(tái).其中電機(jī)參數(shù):Rs=1.32 Ω，L = 0.0261H，J = 25.1 ×10-3kg·m2，Bm=0.8 ×10-3N·m·s，參考文獻(xiàn)［15］，設(shè)定分?jǐn)?shù)階模型的階次分別為ζ = 0.9219，? = 0.9534.

將分?jǐn)?shù)階算子sζ近似為有限維的離散傳遞函數(shù)，設(shè)置采樣周期為0.000125 s，則有:

其中:

從而，即可得到分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器Rs- Lsr+ζ的近似表達(dá)形式為，其中:

在Matlab/Simulink 環(huán)境下，按照實(shí)際的永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真，設(shè)置給定輸入為斜坡信號(hào)與正弦信號(hào)的分段疊加以區(qū)分不同的控制策略［16］，響應(yīng)曲線如圖6-9 所示.

圖6 分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的正弦響應(yīng)曲線Fig.6 Sinusoidal response curves under the influence of FOSMO

圖7 整數(shù)階滑模觀測(cè)器作用下的正弦響應(yīng)曲線Fig.7 Sinusoidal response curves under the influence of IO-SMO

圖8 分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線Fig.8 Comparison of rotor position curves under the influence of FO-SMO

圖9 整數(shù)階滑模觀測(cè)器作用下的轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線Fig.9 Comparison of rotor position curves under the influence of IO-SMO

根據(jù)圖6-9 給出的正弦響應(yīng)特性曲線與轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線，采用時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分ITAE性能指標(biāo)對(duì)其進(jìn)行衡量.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，t 為時(shí)間，e(t) 為誤差.依據(jù)ITAE 性能指標(biāo)，可得到整數(shù)階滑模觀測(cè)器與分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器分別作用于永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)上的系統(tǒng)控制效果，如表1所示.

表1 兩種控制方式下的ITAE 值對(duì)比Table1 Comparison of ITAE under two kinds of control strategy

從表1可以看出，分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)比整數(shù)階滑模觀測(cè)器能夠獲得更好的綜合控制性能.

5 實(shí)驗(yàn)

將文中提出的控制策略在永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖10所示.主控板的核心是DSP 處理器，其具體型號(hào)為T(mén)MS320F2812.PC 機(jī)主要通過(guò)采集伺服電機(jī)反饋的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較，編碼器則用于將實(shí)際轉(zhuǎn)子位置角度與預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子預(yù)測(cè)角度進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11-14 所示.

圖11、12 給出了分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階滑模觀測(cè)器分別作用下永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的正弦響應(yīng)曲線及相應(yīng)的誤差曲線，其中，縱坐標(biāo)以標(biāo)幺值的方式進(jìn)行顯示.對(duì)比兩張圖可以看出，相比整數(shù)階滑模觀測(cè)器，分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的系統(tǒng)正弦響應(yīng)在電機(jī)他控啟動(dòng)及控制方式切換后具有較小的誤差波動(dòng)，能更好地實(shí)現(xiàn)兩種控制方式間的平滑切換.

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 Experiment platform

圖11 分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階滑模觀測(cè)器作用下的系統(tǒng)正弦響應(yīng)曲線Fig.11 System sinusoidal responses curves under the influence of FO-SMO and IO-SMO

圖12 分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階滑模觀測(cè)器作用下的系統(tǒng)正弦響應(yīng)誤差曲線Fig.12 Error curves of system sinusoidal responses under the influence of FO-SMO and IO-SMO

圖13、14 給出了分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階滑模觀測(cè)器分別作用下永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的估算轉(zhuǎn)子位置及實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)子位置對(duì)比及誤差曲線，其中，縱坐標(biāo)以標(biāo)幺值的方式進(jìn)行顯示.對(duì)比兩張圖可以看出，分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的估算轉(zhuǎn)子位置與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)子對(duì)比曲線相比整數(shù)階滑模觀測(cè)器誤差較小.

圖13 分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器作用下的轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線Fig.13 Comparison of rotor position curves under the influence of FO-SMO

圖14 整數(shù)階滑模觀測(cè)器作用下的轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線Fig.14 Comparison of rotor position curves under the influence of IO-SMO

6 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)中存在的無(wú)法零速啟動(dòng)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了他控啟動(dòng)以及由他控方式向自控方式切換的分段控制策略.為消減控制方式切換過(guò)程中所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)速抖振，引入了分?jǐn)?shù)階模型及分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器理論以提高系統(tǒng)的控制與觀測(cè)精度，并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析.仿真和實(shí)驗(yàn)證明，文中提出的控制策略不但實(shí)現(xiàn)了電機(jī)的平滑啟動(dòng)，而且明顯削弱了控制方式切換過(guò)程中所帶來(lái)的轉(zhuǎn)速抖振.

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