劉 植， 李 晨， 謝 進(jìn)， 費(fèi) 騰

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥學(xué)院科學(xué)計(jì)算研究所，安徽 合肥 230601）

一類雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

劉 植1， 李 晨1， 謝 進(jìn)2， 費(fèi) 騰1

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥學(xué)院科學(xué)計(jì)算研究所，安徽 合肥 230601）

為了分析清楚形狀參數(shù)對(duì)一類雙參數(shù)三次Bézier曲線形態(tài)的影響及實(shí)現(xiàn)其對(duì)該曲線形狀的調(diào)控，利用包絡(luò)理論與拓?fù)溆成涞姆椒▽?duì)一類雙參數(shù)三次Bézier曲線進(jìn)行了形狀分析，明確了形狀參數(shù)對(duì)曲線的影響，畫出了曲線的形狀特征分布圖，得出了曲線上有奇點(diǎn)、拐點(diǎn)和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，這些條件完全由控制多邊形的相對(duì)位置表示，并進(jìn)一步討論了形狀參數(shù)對(duì)曲線形狀的影響。

Bézier曲線；奇點(diǎn)；拐點(diǎn)；曲線形狀；形狀參數(shù)

Bézier曲線[1-3]以Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)，具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，受到了工業(yè)界和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design, CAGD)學(xué)術(shù)界的廣泛重視。1972年，F(xiàn)orrest發(fā)現(xiàn)處理作為Bézier曲線多邊形的相對(duì)矢量不如處理作為頂點(diǎn)的絕對(duì)矢量方便，而且上述Bézier基表示形式能被等價(jià)地改寫成使用控制頂點(diǎn)定義的Bernstein基表示形式。但是，由一組給定的控制頂點(diǎn)生成的Bézier曲線曲面的形式是固定的，形狀的局部修改非常困難。有理Bézier方法中的權(quán)因子可以用于調(diào)控曲線曲面的形狀[4]，但權(quán)因子的選取及求導(dǎo)、求積分運(yùn)算比較復(fù)雜。為了更加靈活、簡(jiǎn)便地調(diào)控曲線曲面的形狀，通過(guò)引入形狀參數(shù)對(duì)Bézier方法進(jìn)行擴(kuò)展，得到形狀可調(diào)的參數(shù)多項(xiàng)式曲線曲面[5-6]。

三次Bézier曲線擴(kuò)展有許多形式，文獻(xiàn)[7]提出了一種簡(jiǎn)單重要的擴(kuò)展形式。參數(shù)三次Bézier曲線具有許多便于曲線設(shè)計(jì)的幾何性質(zhì)，如端點(diǎn)性質(zhì)、對(duì)稱性、凸包性、變差減小性、幾何不變性，且可以通過(guò)改變形狀參數(shù)的取值，達(dá)到整體或者局部調(diào)控曲線形狀的目的。雙參數(shù)三次Bézier曲線有著更強(qiáng)的形狀調(diào)控能力，隨著參數(shù)λ，μ的增大更加地逼近控制多邊形，反之則遠(yuǎn)離控制多邊形。對(duì)于給定的控制多邊形，通過(guò)引入形狀參數(shù)，改變形狀參數(shù)取值來(lái)整體或局部調(diào)控曲線的形狀，為CAGD曲線曲面的設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大的便利。

在平面三次參數(shù)曲線的分類和形狀控制問(wèn)題上，蘇步青和劉鼎元[8]通過(guò)引進(jìn)幾何不變量的方法，徹底解決了該問(wèn)題，對(duì)CAGD作出了重要貢獻(xiàn)。曲線的奇點(diǎn)、拐點(diǎn)、尖點(diǎn)及凸性分布對(duì)于確定曲線的形狀至關(guān)重要[9-11]。形狀參數(shù)的引入使曲線形狀特征分布圖更加簡(jiǎn)單且易于判斷。而本文利用包絡(luò)理論與拓?fù)溆成涞姆椒▽?duì)雙參數(shù)三次Bézier曲線進(jìn)行形狀分析，明確了形狀參數(shù)對(duì)曲線的影響，得出了曲線上有奇點(diǎn)，拐點(diǎn)和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件。

1 雙參數(shù)三次Bézier曲線

定義. 給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2,3; i=0,1,2,3)，對(duì)?t∈[0,1]，定義曲線：

為雙參數(shù)三次Bézier曲線。其中，基函數(shù)Bi(t)為：

其中，λ,μ為形狀參數(shù)，且λ,μ∈(-2,1]。當(dāng)λ=1,μ= 1時(shí)，雙參數(shù)三次Bézier曲線就是三次Bézier曲線。

由式(1)定義的雙參數(shù)三次Bézier曲線含有2個(gè)獨(dú)立的形狀參數(shù)，具有與三次Bézier曲線類似的幾何性質(zhì)，且擴(kuò)展后的曲線與Bézier曲線次數(shù)一致，對(duì)于給定的控制頂點(diǎn)，可以通過(guò)改變形狀參數(shù)的取值對(duì)曲線的形狀做整體或局部調(diào)整。

2 空間雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

定理1. 若控制頂點(diǎn)Pi∈R3(i=0,1,2,3)不共面，則當(dāng)λ,μ∈(-2,1]時(shí)，雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無(wú)奇點(diǎn)(尖點(diǎn)，二重點(diǎn))和泛拐點(diǎn)，且曲線與控制多邊形的旋轉(zhuǎn)方向一致。

證明. 設(shè)qi=Pi-Pi-1(i=1,2,3)為控制多邊形的邊向量，將P(t)改寫為：

求導(dǎo)得：

由式(2)可知，當(dāng)(0,1)t∈時(shí)，

又控制頂點(diǎn)Pi∈R3(i=0,1,2,3)不在同一個(gè)平面上，也就是說(shuō)邊向量qi(i=1,2,3)線性無(wú)關(guān)，所以P′(t)≠0，即P(t)不可能有尖點(diǎn)。

再者，若曲線P(t)有二重點(diǎn)，設(shè)有0≤t1＜t2≤1，得：

代入式(3)得：

因?yàn)檫呄蛄縬i(i=1,2,3)線性無(wú)關(guān)，故：

令B0′(t)=0解得t=1(舍去)，由：

解得λ＞1或λ＜-2，與λ∈(-2,1]矛盾，即B0′(t)≠0，從而B0(t)為單調(diào)函數(shù)，不可能有B0(t1)=B0(t2)，故曲線P(t)無(wú)二重結(jié)點(diǎn)。

空間曲線上撓率變號(hào)的點(diǎn)稱為泛拐點(diǎn)。令g(t)=det(P′(t),P′(t),P′′(t ))，注意到：

則：

其中，(q1,q2,q3)為邊向量q1,q2,q3的混合積，由于q1,q2,q3不共面，則(q1,q2,q3)≠0；D(t)=12(2+λ)(2+μ)，由于參數(shù)λ,μ滿足：λ,μ∈(-2,1]，故D(t)＞0。

對(duì)任意0≤t≤1，有g(shù)(t)≠0且與(q1,q2,q3)同號(hào)，因此曲線P(t)沒(méi)有泛拐點(diǎn)。又D(t)＞0，故曲線P(t)與其控制多邊形的旋轉(zhuǎn)方向相同。

3 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

若雙參數(shù)三次Bézier曲線的4個(gè)控制頂點(diǎn)共面(不妨設(shè)Pi∈R2,i=0,1,2,3)，則P(t)為平面曲線，此時(shí)(q1,q2,q3)=0，邊向量qi(i=1,2,3)線性相關(guān)。以下根據(jù) q1與 q3是否平行分別進(jìn)行討論。

3.1 q1不平行q3的情形

當(dāng) q1不平行 q3時(shí)，以 q1,q3為平面的基向量，令q2=uq1+vq3，代入式(3)得：

若P′(t)=0(0＜t ＜1)，即：

由于1q與3q線性無(wú)關(guān)，則有：

代入基函數(shù)并化簡(jiǎn)得：

下面討論曲線C的形態(tài)，由式(6)易知：

故曲線C有兩條漸近線：

考察單調(diào)性和凹凸性，由式(6)可知：

即曲線C為單調(diào)下降曲線(-2＜λ,μ≤1,0＜t ＜1)，又：

即曲線C無(wú)拐點(diǎn)，曲線C如圖1所示。

下面將基于上述單調(diào)遞減，且嚴(yán)格凸的曲線C，進(jìn)一步討論曲線P(t)的尖點(diǎn)、拐點(diǎn)、重結(jié)點(diǎn)和凸性情況。

3.1.1 關(guān)于尖點(diǎn)

曲線P(t)有尖點(diǎn)的必要條件是P′(t)=0(0＜t ＜1)，任取一點(diǎn)(u0,v0)∈C，與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值設(shè)為t0(0＜t0＜1)，此時(shí)P′(t0)=0。

又P(t)在 t0處的Taylor展開式為：

求導(dǎo)得：

其中，P′′(t0)≠0。事實(shí)上，對(duì)式(5)再求一次導(dǎo)，有：

由于1q與3q線性無(wú)關(guān)，則有：

即：

聯(lián)立式(6)和式(7)可得λ=μ=-2，與λ,μ∈(-2,1]矛盾，因此P′(t0)≠0。

由P′(t0)=0，P′(t0)≠0可知，P′(t)經(jīng)過(guò)t0時(shí)方向反變，所以P(t0)是尖點(diǎn)(見(jiàn)參考文獻(xiàn)[12])。

結(jié)論. 曲線P(t)上有尖點(diǎn)等價(jià)于(u,v)∈C。3.1.2 關(guān)于拐點(diǎn)

點(diǎn)P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)P′(t)×P′′(t)經(jīng)過(guò) t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變，經(jīng)式(4)計(jì)算得：

其中：

因此，P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f（t;u,v）經(jīng)過(guò) t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變。而在uv平面，使得曲線P(t)有拐點(diǎn)的可能區(qū)域必為直線族f（t;u,v）=0所覆蓋，由包絡(luò)理論與拓?fù)溆成涞姆椒芍ㄎ墨I(xiàn)[12]），此直線族的包絡(luò)為：

即：

解方程即得式(6)，可以說(shuō)明直線族的包絡(luò)正好是曲線C。

討論曲線C的形態(tài)可知，曲線C是嚴(yán)格凸的連續(xù)曲線，因此曲線 C的切線所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)镾∪D∪C，此即為拐點(diǎn)區(qū)域。如圖1所示，其中D區(qū)域是由兩條漸近線：

和曲線C所圍部分（不含C）；S區(qū)域由兩部分構(gòu)成，一部分是兩條漸近線相交的左上部分，另一部分是兩條漸近線相交的右下部分。圖1(a)中形狀參數(shù)λ=-1,μ=0；圖1(b)中λ=1,μ=1；圖1(c)中λ=0,μ=-1。

由圖 1可知，雙參數(shù)三次 Bézier曲線比三次Bézier曲線的單拐點(diǎn)區(qū)域更大，但是雙拐點(diǎn)區(qū)域則更小。

過(guò)任一點(diǎn)（u0,v0）∈S∪D∪C 至少有一條uv平面上的直線f（t0;u,v）=0與曲線C相切。當(dāng)（u0,v0）∈C時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t0，由Taylor展開式得：

其中：

又λ,μ∈(-2,1],t0∈(0,1)，容易得到ftt′(t0;u0,v0)≠0，所以f(t;u0,v0)經(jīng)過(guò)t0時(shí)不變號(hào)，即曲線P(t)無(wú)拐點(diǎn)。

當(dāng)（u0,v0）∈S∪D時(shí)，設(shè)過(guò)它且與曲線C相切的直線為f（t0;u,v）=0，其中，t0為切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則由Taylor展開式得：

其中，ft′（t0;u0,v0）≠0（因?yàn)槿鬴t′（t0;u0,v0）=0，則由包絡(luò)定義可知（u0,v0）∈C），從而f（t;u0,v0）經(jīng)過(guò)t0時(shí)變號(hào)，即P(t0)是曲線P(t)的拐點(diǎn)。

結(jié)論. 若（u0,v0）∈S，過(guò)此點(diǎn)只能作曲線C的一條切線，對(duì)應(yīng)曲線P(t)只有一個(gè)拐點(diǎn)；若（u0,v0）∈D，過(guò)此點(diǎn)只能作曲線 C的兩條切線，對(duì)應(yīng)曲線P(t)只有2個(gè)拐點(diǎn)。

圖1 尖點(diǎn)拐點(diǎn)區(qū)域分布

3.1.3 關(guān)于重結(jié)點(diǎn)

曲線P(t)有重結(jié)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在0≤t1＜t2≤1，使得P(t1)-P(t2)=0，由式(4)可知，等價(jià)于u,v,t1,t2滿足方程組：

容易驗(yàn)證，式(8)定義了一個(gè)拓?fù)溆成洌?/p>

因此，象域L=F(Δ)是uv平面上單連通區(qū)域，Δ的3條邊界線：t1=t2,t1=0,t2=1分別對(duì)應(yīng)于L的3條邊界線：曲線C（不屬于L）、L1和L2（都屬于L），其中：

當(dāng)-2＜λ,μ≤1,0＜t＜1時(shí)，對(duì)于曲線L1，易知：

對(duì)于曲線L2，類似的有：

因此，曲線L1和L2均為單調(diào)下降，嚴(yán)格凸的連續(xù)曲線，且曲線L1以為漸近線，曲線L2以為漸近線。曲線L1和L2相交于點(diǎn)(-1,-1)。

結(jié)論. 由曲線C（不屬于L），L1和L2（都屬于L）圍成的單連通區(qū)域L中的點(diǎn)（u0,v0）對(duì)應(yīng)的曲線P(t)有且僅有一個(gè)二重結(jié)點(diǎn)。

3.1.4 關(guān)于凸性

記N=R2(C∪S∪D∪L)，曲線 L1,L2（不包括邊界 L1,L2）所圍成的左上部分區(qū)域?yàn)镹1，右下部分區(qū)域?yàn)镹2，N0=N(N1∪N2)，如圖2所示。

由前面討論易知，當(dāng)(u,v)∈N時(shí)，曲線P(t)無(wú)尖點(diǎn)、重結(jié)點(diǎn)和拐點(diǎn)。記向量：

由式(4)和式(5)直接計(jì)算可得：

對(duì)于任意的 t0∈(0,1)，如果由式(9)和式(10)所確定的向量和向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v)(q1×q3)經(jīng)過(guò) t0時(shí)符號(hào)不發(fā)生改變，則曲線P(t)為全局凸；如果向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v)(q1×q3)經(jīng)過(guò)t0時(shí)符號(hào)不發(fā)生改變，而向量m(t)=φ(t;u,v)（q1×q3）或者向量n(t)=ψ(t;u,v)（q1×q3）經(jīng)過(guò)t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變，則曲線P(t)為局部凸[10]。

由3.1.2節(jié)的討論可知，當(dāng)(u,v)∈N=N0∪N1∪N2時(shí)f(t;u,v)不變號(hào)，所以向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v) (q1×q3)經(jīng)過(guò)t0時(shí)方向不發(fā)生反變。式由(11)可知當(dāng)時(shí)，向量m(t)=φ(t;u,v)（q1×q3）經(jīng)過(guò)與v相對(duì)應(yīng)的參數(shù)t時(shí)方向反變，容易算出 v的取值范圍是所以當(dāng)(u,v)∈N1時(shí)，曲線P (t)為局部凸。事實(shí)上還可以證明：1N恰好是2L的切線所覆蓋區(qū)域在N中部分。

解關(guān)于 ,uv的方程：

求得的直線族ψ(t;u,v)=0的包絡(luò)恰好是直線L1， L1的切線在 N中所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)镹2，當(dāng)(u,v)∈N2時(shí)，曲線P(t)為局部凸。

由3.1節(jié)的討論可得，平面參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分布圖，如圖 2所示。其中，圖 2(b)是三次 Bézier曲線的形狀分布圖，且當(dāng)形狀參數(shù)λ=μ時(shí)，曲線P(t)的形狀分布圖關(guān)于直線u=v對(duì)稱。

結(jié)論. 當(dāng)(u,v)∈N0時(shí)，P′(t)×P′′(t),m(t), n(t)都不變號(hào)，曲線P(t)為全局凸[11]；當(dāng)(u,v)∈N1時(shí)，P′(t)×P′′(t),n(t)不變號(hào)，m(t)有一處變號(hào)，曲線P(t)為局部凸；當(dāng)(u,v)∈N2時(shí)，P′(t)×P′′(t),m(t)不變號(hào)，n(t)有一處變號(hào)，因此曲線P(t)為局部凸[11]。

定理2. 當(dāng)q1不平行q3時(shí)，設(shè)q2=uq1+vq3，平面雙參數(shù)三次 Bézier曲線P(t)的形狀特征取決于點(diǎn)(u,v)在uv平面的分布，如表1所示。

圖2 平面參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分布圖

表1 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀特征分布

3.2 q1平行q3的情形

當(dāng)q1//q3時(shí)，以q1,q2為平面的基向量，設(shè)q3=αq1，代入式(3)有：

3.2.1 關(guān)于尖點(diǎn)

類似3.1.1節(jié)的討論，曲線P(t)有尖點(diǎn)等價(jià)于P′(t)=0,t ∈(0,1)，由式(13)得：

由于q1,q2線性無(wú)關(guān)，由P′(t)=0可得：

易知式(14)無(wú)解，故平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無(wú)尖點(diǎn)。

3.2.2 關(guān)于拐點(diǎn)

類似3.1.2的討論可知，點(diǎn)P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)P′(t)×P′′(t )經(jīng)過(guò)t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變，經(jīng)式(13)計(jì)算得：

其中：

因此，P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f（t;α）經(jīng)過(guò) t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變。又當(dāng)α＞0時(shí)，

即(;)ftα在(0,1)t∈內(nèi)關(guān)于t是單調(diào)遞減函數(shù)。而且，

所以有唯一的t0使得f（t;α ） 經(jīng)過(guò) t0時(shí)符號(hào)發(fā)生改變。因此當(dāng)且僅當(dāng)α＞0，即 q1,q3方向相同（不包括4點(diǎn)共線）時(shí)，平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)有且只有一個(gè)拐點(diǎn)。

3.2.3 關(guān)于重結(jié)點(diǎn)

曲線P(t)有重結(jié)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在0≤t1＜t2≤1，使得P(t1)-P(t2)=0，由式(13)可知，P(t1)-P(t2)=0等價(jià)于α,t1,t2滿足方程組：

即：

由于(3t2-2t3)′=6t(1-t )＞0，所以式(15)無(wú)解，即平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無(wú)二重點(diǎn)。

定理3. 當(dāng) q1//q3時(shí)：

(1) 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無(wú)尖點(diǎn)、二重點(diǎn)；

(2) 當(dāng)且僅當(dāng)α＞0，即 q1,q3方向相同（不包括4點(diǎn)共線）時(shí)，曲線P(t)有且只有一個(gè)拐點(diǎn)。

4 形狀參數(shù)對(duì)曲線形態(tài)的影響及其對(duì)曲線形狀的調(diào)控

由定理2，進(jìn)一步討論形狀參數(shù),λμ對(duì)平面雙參數(shù)三次Bézier曲線形狀有以下影響，如圖3所示。

(1) 固定參數(shù)λ后，曲線 L1隨著參數(shù)μ的增大而逐漸靠近u軸，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2逐漸增大。固定參數(shù)μ時(shí)，曲線 L2隨著參數(shù)λ的增大而逐漸靠近v軸，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2逐漸增大。因此，通過(guò)調(diào)節(jié)形狀參數(shù)λ, μ可以靈活的調(diào)節(jié)曲線的形狀，這為幾何設(shè)計(jì)中的光滑拼接帶來(lái)了更加靈活的自由度。

(2) 當(dāng)(u,v)∈{(u,v)|-1≤u,v ＜0}{(-1,-1)}，即控制多邊形首末兩條邊相交（首末端點(diǎn)重合除外）時(shí)，曲線P(t)上可能出現(xiàn)奇點(diǎn)、單拐點(diǎn)或者雙拐點(diǎn)，也可能是全局凸，但不可能是局部凸，調(diào)節(jié)形狀參數(shù)能使P(t)成為全局凸曲線。

(3) 隨著形狀參數(shù)λ,μ的增大，曲線C被朝原點(diǎn)(0,0)方向拉伸，曲線 L1被朝點(diǎn)(-1,0)方向拉伸，曲線 L2被朝點(diǎn)(0,-1)方向拉伸。因此，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2,L逐漸增大。

圖3 參數(shù)對(duì)曲線形態(tài)分布的影響

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Shape Analysis of a Class of Cubic Bézier Curve with Two Shape Parameters

Liu Zhi1, Li Chen1, Xie Jin2, Fei Teng1

(1. School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. Institute of Scientific Computing, Hefei University, Hefei Anhui 230601, China)

The shape features of a class of Bézier curve with two shape parameters are analyzed by using the method based on the theory of envelope and topological mapping. Investigate effects of the shape parameter on the curve shape. Necessary and sufficient conditions are derived for this curve having one or two inflection points, a loop or a cusp, or be locally or globally convex. Those conditions are completely characterized by the relative position of the edge vectors of the control polygon. Furthermore we discussed the influences of shape parameter on the shape diagram and the ability for adjusting the shape of the curve.

Bézier curve; singular points; inflection points; curve shape; shape parameter

TP 301

A

2095-302X(2015)03-0356-07

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61070227，11471093)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20110111120026)；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(KJ2014ZD30)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(2012HGXJ0039)

劉 植(1976-)，男，安徽金寨人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：liuzhi314@126.com