郭亞梅

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455000)

高等代數(shù)課程要素教學(xué)與大學(xué)生的角色轉(zhuǎn)換

郭亞梅

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455000)

本文通過幾種行之有效的方法，討論了如何在高等代數(shù)教學(xué)中使大一新同學(xué)盡快適應(yīng)大學(xué)，完成由中學(xué)到大學(xué)的角色轉(zhuǎn)換。

高等代數(shù)；角色轉(zhuǎn)換；教學(xué)方法；中學(xué)數(shù)學(xué)

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)大一新生的第一門專業(yè)基礎(chǔ)課之一，如何在一點(diǎn)一滴的教學(xué)中巧妙地幫助學(xué)生完成由中學(xué)到大學(xué)的角色轉(zhuǎn)換尤為重要。由于該課程的內(nèi)容、思想的抽象性，傳統(tǒng)的教學(xué)模式很難使大一的學(xué)生入門，也很難培養(yǎng)學(xué)生對(duì)高等代數(shù)的興趣。許多學(xué)者從不同方面就課程教學(xué)與大學(xué)生的角色轉(zhuǎn)換問題進(jìn)行了行之有效的有益嘗試。王玉行(2007)指出中小學(xué)的數(shù)學(xué)中學(xué)生初步地學(xué)習(xí)了演繹推理，在高等代數(shù)中大量存在性、唯一性和結(jié)構(gòu)與表述復(fù)雜的命題、法則的登場(chǎng)，使探索發(fā)現(xiàn)過程的合情推理及論證過程的演繹推理復(fù)雜化。探索切實(shí)培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量的途徑就顯得格外重要。梁登峰、劉福林(2013)建議與解析幾何、數(shù)學(xué)軟件、數(shù)學(xué)建模等的教學(xué)結(jié)合起來，將教學(xué)內(nèi)容的先后順序做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，這樣使其內(nèi)容具體化、生動(dòng)化，更易適應(yīng)大一新生的學(xué)習(xí)方式。劉小川、何美為消除學(xué)生在思維方式、學(xué)習(xí)方法上的諸多不適應(yīng)提出了幾個(gè)需要注意的方面，包括針對(duì)基本概念設(shè)計(jì)適當(dāng)問題、通過舉反例加深對(duì)基本理論的認(rèn)識(shí)、補(bǔ)典型例題提倡一題多解、加強(qiáng)代數(shù)思想方法的滲透與培養(yǎng)、充分利用高等代數(shù)的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力等。蔣華、劉興燕(2013)認(rèn)為在關(guān)注“教”的同時(shí)更要關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”。培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、注重知識(shí)的來源與應(yīng)用、注重創(chuàng)新思維的培養(yǎng)等都要在課程教學(xué)中找到合適的定位。教學(xué)評(píng)價(jià)注重方法多元化、過程與結(jié)果、定性與定量評(píng)價(jià)相結(jié)合，全而描述學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。耿俊，鄧勇(2012)給出了高等代數(shù)教學(xué)中3個(gè)問題的創(chuàng)新示范，說明改革傳統(tǒng)教學(xué)方式及體現(xiàn)核心知識(shí)價(jià)值在高等代數(shù)教學(xué)中有著重大意義。葉立軍、斯海霞(2011)對(duì)課堂上教師的評(píng)價(jià)行為的重要性給予了高度重視，他們通過高等代數(shù)教學(xué)錄像課的量化分析及對(duì)教師在課堂教學(xué)中各類評(píng)價(jià)行為的統(tǒng)計(jì)分析表明，占近1/5課堂時(shí)間的教師課堂評(píng)價(jià)行為主要關(guān)注學(xué)生知識(shí)、技能的掌握，較少涉及學(xué)生情感、態(tài)度等，正確的評(píng)價(jià)行為能激勵(lì)學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，激發(fā)學(xué)生的潛能。

完成角色轉(zhuǎn)換首先需要解決兩個(gè)大的問題，一是學(xué)習(xí)者的學(xué)養(yǎng)轉(zhuǎn)變，這是學(xué)生學(xué)習(xí)自適力的轉(zhuǎn)變，反映到專業(yè)課程學(xué)習(xí)上是學(xué)習(xí)思想的轉(zhuǎn)變、學(xué)習(xí)能力的轉(zhuǎn)變與學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變等。一是教師教學(xué)內(nèi)容的安排、教學(xué)方式的選擇及教學(xué)思想的滲透等。我們擬在前人研究的基礎(chǔ)上從教師合理地運(yùn)用教學(xué)評(píng)價(jià)行為入手與學(xué)生的課程學(xué)習(xí)興趣及自適力培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來，對(duì)角色轉(zhuǎn)換為課程教學(xué)提出的教學(xué)環(huán)節(jié)問題進(jìn)行一些初步的嘗試。其中的一些具體的做法源于我們多年的教學(xué)實(shí)踐，且已證明取得了一些令人滿意的效果。

1 大學(xué)入門先做好課程入門

高等代數(shù)分為多項(xiàng)式和線性代數(shù)兩部分。同學(xué)們對(duì)多項(xiàng)式會(huì)覺得很親切。而多項(xiàng)式的整除、互素、因式分解等就是中學(xué)數(shù)學(xué)的推廣。在這一章，同學(xué)們會(huì)見到如x3+x2+1的形式，在中學(xué)，x叫未知數(shù)，一般取實(shí)數(shù)，而高等代數(shù)中它叫未知元，未知數(shù)是未知元的特殊情況。我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)2可以整除3、2與4互素的現(xiàn)象。而下面的結(jié)果到底哪個(gè)對(duì)？

x4-4=(x2-2)(x2+2)

在線性代數(shù)部分，線性代數(shù)從中文的角度看由兩個(gè)詞構(gòu)成，分別是“線性”和“代數(shù)”，“線性”修飾“代數(shù)”。比如函數(shù)y=x，它的圖像是一條直線，被形象地稱為線性函數(shù)。 那具體什么叫線性呢？其實(shí)線性就是量與量之間成一次關(guān)系，也就是說量與量之間只有“加”、“減”和“數(shù)乘”的關(guān)系，不能有變量之間的乘法運(yùn)算。 又如：x+y=1，是線性方程。而方程x2+y=1，就是非線性方程。中學(xué)的二元一次方程組，也叫線性方程組。

代數(shù)則是一門非常古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，起源可以追溯到古巴比倫的時(shí)代。 從字面上看，就是用字母代替數(shù)。例：如何表示3加上什么數(shù)等于5？很容易可以得到“2”。

歷史上，線性代數(shù)的第一個(gè)問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為線性代數(shù)的主要部分。

在中學(xué)我們知道二元一次方程組的解有三種情況，即無解、無窮多解和唯一解。而在高等代數(shù)中我們要將此結(jié)論推廣為n元線性方程組。

2 探索適合大一學(xué)生的教學(xué)方法

大一新生是一個(gè)特殊的群體。他們還沉浸在中學(xué)的教學(xué)環(huán)境中。他們還沿用的是中學(xué)的學(xué)習(xí)方法。他們對(duì)大學(xué)各方面還不了解、不太適應(yīng)，而高等代數(shù)又具有抽象、繁瑣、定義多、定理多、難度大等特點(diǎn)，在教學(xué)上急需尋找適合這一階段學(xué)生的教學(xué)方法。

2.1 增強(qiáng)趣味性降低難度

趣味是最好的老師。在枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)脑黾右恍┬蜗蟮恼Z言、生動(dòng)的例子，會(huì)使課堂不那么死氣沉沉，會(huì)讓學(xué)生積極地學(xué)習(xí)。

又如在用伴隨矩陣法求逆矩陣時(shí)，同學(xué)們總是丟三落四，三句口訣很合適：帶上符號(hào)(代數(shù)余子式的符號(hào))，找準(zhǔn)位置(伴隨矩陣中個(gè)代數(shù)余子式的位置)，不忘除|A|(矩陣的行列式)。

而用化上三角形的方法求行列式時(shí)，此法可以稱為化歸法。應(yīng)用時(shí)，方法也是較靈活的。我們的原則是“有1用1，沒有1找1，找不到造1”.其中用1，就是直接化，而找就是換行或換列，造1，是指利用一個(gè)數(shù)乘以某行或某列加到另一行或一列上(可以稱為倍法化零)的性質(zhì)先造成第一個(gè)元素是1，下面就好操作了。這里的1也不一定是1，只要能整除所在列下面的元素即可。

再如，行列式的按行按列展開原理應(yīng)用時(shí)，口訣是“不見兔子不撒鷹，沒有兔子造兔子，同時(shí)不要忘記符號(hào)、不要忘記元素”。當(dāng)然，兔子就是有一行或一列只有一個(gè)數(shù)非零其余全為零。而這里的符號(hào)就是代數(shù)余子式的符號(hào)，元素是原行列式中的元素。

適當(dāng)?shù)膿Q用教師的語言會(huì)使沉悶的課堂活躍起來。

2.2 增加與中學(xué)的聯(lián)系提高親和性

在中學(xué)，有很多知識(shí)我們只知其然并不知其所以然，到大學(xué)我們就是要尋找其所以然。例如，中學(xué)只知道多項(xiàng)式的因式分解到某一步老師就說可以了，結(jié)束了，而在因式分解這一節(jié)中，通過學(xué)習(xí)不可約多項(xiàng)式就可以回答為什么，怎樣就叫結(jié)束。因式分解定理的證明回答了，因式分解可以有很多方法但分解的最終結(jié)果是標(biāo)準(zhǔn)分解式。不考慮順序時(shí)分解式唯一。其實(shí)，中學(xué)討論因式分解的方法，高等代數(shù)討論分解的結(jié)果。

多項(xiàng)式這一章是和中學(xué)聯(lián)系比較多的，同學(xué)們會(huì)有很自然的感覺，但無論在內(nèi)容還是講解方式上都與中學(xué)截然不同，在聯(lián)系中學(xué)內(nèi)容的同時(shí)還要時(shí)常提醒這里的多項(xiàng)式與中學(xué)的不同。特別是在整除這一節(jié)中，對(duì)多項(xiàng)式的整除，同學(xué)們總是想成整數(shù)的整除。

2.3 通過舉實(shí)例變抽象為具體

高等代數(shù)中有很多問題都是抽象的，這是與中學(xué)數(shù)學(xué)最大的區(qū)別。也是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的難點(diǎn)所在。變抽象為具體，深入淺出是教學(xué)的關(guān)鍵。

例如，一元多項(xiàng)式的定義anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0式中的x是未知元，不能用數(shù)來代入，否則就特殊化了。如3x4+x-1是一個(gè)4次多項(xiàng)式，中學(xué)所學(xué)多項(xiàng)式是它在x取實(shí)數(shù)時(shí)的特殊情況。

又如，第二章行列式在講到排列的性質(zhì)定理，對(duì)換改變排列的奇偶性時(shí)，舉一個(gè)特殊例子214536來講解相鄰對(duì)換和不相鄰對(duì)換的情況，對(duì)證明問題很有幫助。

在遇到較難想象的n級(jí)行列式的計(jì)算時(shí)，最好先舉一個(gè)低級(jí)如四級(jí)的特殊情況，找出規(guī)律再想象n級(jí)行列式的計(jì)算方法。

由特殊情況猜想一般是學(xué)好高等數(shù)學(xué)特別是高等代數(shù)的技巧。

2.4 課后提出問題迫使同學(xué)思考

由于大學(xué)每一節(jié)課內(nèi)容較多，每學(xué)期教學(xué)任務(wù)繁重，不可能對(duì)所有問題都講得很全面很透徹，開快車是常有的事。因此很多問題就需要同學(xué)們下課消化并深入思考，但是，同學(xué)們還停留在中學(xué)被動(dòng)地聽老師講解的方法中，而不能也不會(huì)積極思考。幾乎每一節(jié)課針對(duì)本節(jié)內(nèi)容都可以提出或多或少的問題。如帶余除法定理課后，提問整數(shù)有沒有相應(yīng)的定理？怎么描述？講完極大線性無關(guān)組后，提問有沒有極大線性相關(guān)組？二三級(jí)行列式了解之后，一級(jí)行列式怎么表達(dá)？這些問題起到的只是拋磚引玉的作用，以此來教會(huì)同學(xué)們?nèi)绾握覇栴}，如何提問題。

3 利用課間與同學(xué)們談心了解同學(xué)情況

上中學(xué)時(shí)，老師要每天看自習(xí)，看著大家學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么思想問題和學(xué)習(xí)問題都能夠及時(shí)解決。而到了大學(xué)，老師不可能每天都跟學(xué)生在一起，特別是任課老師。所以，利用課間休息時(shí)間與同學(xué)們聊天是一個(gè)不錯(cuò)的方法。做老師的可以主動(dòng)跟同學(xué)聊，了解同學(xué)的同時(shí)對(duì)自己的教學(xué)也是大有幫助的。課間師生的聊天可以是生活中的問題，可以是思想問題，當(dāng)然更重要的是鼓勵(lì)同學(xué)們提學(xué)習(xí)上的問題，這些問題的提出對(duì)我們的教學(xué)也是很有益處的，也就是利用下課時(shí)間很隨意的與同學(xué)們討論問題。例如，有一節(jié)課快下課時(shí)，我提出問題：既然整除的定義是：對(duì)多項(xiàng)式f(x),g(x)，如果存在同一個(gè)數(shù)域上的多項(xiàng)式h(x)，使得：f(x)=g(x)g(x)，那么，g(x)整除f(x)。那么0是不是整除0？請(qǐng)同學(xué)們思考。同學(xué)們討論的非常熱列，有人認(rèn)為，0不能做分母，因此不能整除。我請(qǐng)同學(xué)認(rèn)真看定義，只要滿足等式f(x)=g(x)h(x)，就整除f(x)，那么等式0=0·h(x)不成立嗎？這樣0整除0自然就成立了。通過這些看似隨意的提問與討論，逐漸地培養(yǎng)了同學(xué)們積極、向上、勤奮、好學(xué)的學(xué)習(xí)氛圍，同學(xué)們?cè)诓恢挥X中喜歡上老師的課，喜歡上自己的專業(yè)。

大一新生的專業(yè)課老師不僅要教書育人，同時(shí)擔(dān)負(fù)著還未成熟，又渴望成熟，還在成長(zhǎng)又渴望指點(diǎn)的同學(xué)們的重任，幫助同學(xué)們盡快由中學(xué)到大學(xué)的角色轉(zhuǎn)換是一件長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)。

[1]王玉行.高等代數(shù)教學(xué)對(duì)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)的意義及教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2007，(3).

[2]梁登峰,劉福林.關(guān)于高等代數(shù)課程教學(xué)改革和教學(xué)實(shí)踐的幾點(diǎn)體會(huì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013，(5).

[3]劉小川,何美.高等代數(shù)教學(xué)方法的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，(1).

[4]蔣華，劉興燕.師范院?！陡叩却鷶?shù)》教學(xué)改革的思考與實(shí)踐[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，(6).

[5]葉立軍,斯海霞.代數(shù)課堂教學(xué)中教師的評(píng)價(jià)行為研究[J].教育理論與實(shí)踐，2011，(3).

[6]耿俊,鄧勇.高等代數(shù)課程教學(xué)要義探析[J].高師理科學(xué)刊，2012，(3).

[7]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)·第四版[M].北京；高等教育出版社，2013.

[8]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1999.

[9]王萼芳.高等代數(shù)[M].北京；高等教育出版社，2009.

[10]黎克麟，宋乾坤，郭發(fā)明.高等代數(shù)教學(xué)分析與研究[M].成都：四川大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯：Z]

2015-07-10

郭亞梅(1963-)，女，副教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面的教學(xué)研究。

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