黃玉蘭

摘 ?要：本文通過舉例的形式介紹了間斷點(diǎn)的不同類型，用圖表歸納的形式對間斷點(diǎn)的分類進(jìn)行了總結(jié)，并分情況概況了判斷初等函數(shù)和分段函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類的方法步驟。

關(guān)鍵詞：間斷點(diǎn);分類;判斷方法

由函數(shù)的定義可知，引發(fā)函數(shù)在某點(diǎn)間斷的原因有多種，如何判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文通過例題并結(jié)合圖形介紹間斷點(diǎn)的分類，并用歸納總結(jié)的方式對間斷點(diǎn)的分類和如何判斷間斷點(diǎn)進(jìn)行了介紹。

一、函數(shù)間斷點(diǎn)的定義

根據(jù)函數(shù)在連續(xù)的定義，函數(shù)f（x）在x=x0處連續(xù)需滿足三個(gè)條件：（1）f（x）在x0及其領(lǐng)域有定義。（2） f（x）存在。（3）

f（x）=f（x0）。上述條件中，若至少有一個(gè)不滿足，則稱f（x）在x0處間斷，即不連續(xù);為的間斷點(diǎn)。由函數(shù)的定義可知，引發(fā)函數(shù)在某點(diǎn)間斷的原因有多種，如何判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型是學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，接下來結(jié)合圖形介紹間斷點(diǎn)的分類，并歸納總結(jié)如何判斷間斷點(diǎn)的方法.

二、間斷點(diǎn)的分類

造成函數(shù)f（x）在x0處間斷的原因有多種，由于 f（x）存在的充要條件是f（x0+0）、f（x0-0）都存在且相等，下面通過舉例從左右極限的角度出發(fā)對間斷點(diǎn)進(jìn)行分類：

例1、 討論函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在x=0處的連續(xù)性

分析：函數(shù)圖像如下圖1所示

圖1

解：在x=1處：f（1+0）=f（1-0）=1，左右極限都存在而且相等，可知 f（x）=1，但f（1）=1≠ f（x）=1，所以x=1為函數(shù)的間斷點(diǎn)。

左右極限都存在且相等的間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)在圖形上的特點(diǎn)是：相當(dāng)于連續(xù)的曲線去掉了這一點(diǎn)，或者說只要定義這點(diǎn)的函數(shù)值等于極限值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

例2、 討論函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在x=1處的連續(xù)性

分析：函數(shù)圖形如下圖2所示

圖2

解：在x=1處：f（1+0）=2，f（1-0）=1左右極限都存但是不相等，可知 f（x）=1不存在，所以為函數(shù)的間斷點(diǎn)。左右極限都存在但不相等的間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)在圖形上的特點(diǎn)是：由于左右極限存在但是不相等，曲線軌跡在這點(diǎn)發(fā)生了一個(gè)跳躍性的改變。可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)的共同特點(diǎn)是左右極限都存在，這兩類間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。相對應(yīng)的，若左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)，在第二類間斷點(diǎn)里，我們來熟悉一下以下兩種間斷點(diǎn)：

例3、 分析函數(shù)f（x） 的連續(xù)性。解：函數(shù)在x=0處沒有定義，所以x=0為函數(shù)的間斷點(diǎn)，在x=0處 f（x）=∞，可知x=0為第二類間斷點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上我們把極限為無窮大的間斷點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn)。

例4、 分析函數(shù)f（x）sin 的連續(xù)性。解：函數(shù)在x=0處沒有定義，所以x=0為函數(shù)的間斷點(diǎn)，在x=0處左右極限都不存在，可知x=0為第二類間斷點(diǎn).當(dāng)趨近于0時(shí)，函數(shù)在-1和1之間取值，這樣的間斷點(diǎn)稱為振蕩間斷點(diǎn)

無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)都屬于第二類間斷點(diǎn).

便于理解和記憶，間斷點(diǎn)的分類概括如下：

三、如何判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)

判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)是一個(gè)難點(diǎn)問題，我們先通過例子來熟悉如何判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，然后再概括判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的方法.

例5、 求f（x） 的間斷點(diǎn)并判斷其類型。解：因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無定義。所以x=0是它的間斷點(diǎn)。

例6、求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的間斷點(diǎn)并判斷其類型

根據(jù)我們常見的判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的形式，大概分為兩種情況，函數(shù)為初等函數(shù)或分段函數(shù).下面通過圖表的形式分情況概況判斷間斷點(diǎn)的步驟：

參考文獻(xiàn)：

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