陳興同+李金玉+周圣武+章美月

摘要：本文將結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程作為實(shí)例，對(duì)高等數(shù)學(xué)類課程直觀性教學(xué)進(jìn)行探索，介紹了如何利用圖像、動(dòng)畫(huà)、電影、流程圖、標(biāo)注圖、表格等多媒體技術(shù)手段，將教學(xué)內(nèi)容直觀化、形象化，實(shí)踐表明這種處理教學(xué)內(nèi)容的方法是非常有效的，對(duì)其他層次數(shù)學(xué)課程的教學(xué)也有很好的借鑒作用。

關(guān)鍵詞：文氏圖;圖像;動(dòng)畫(huà);電影;流程圖;表格;圖形標(biāo)注

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）20-0167-02

高等數(shù)學(xué)類教材特點(diǎn)是文字?jǐn)⑹鰢?yán)謹(jǐn)、字符運(yùn)算多、公式多、定理多，但推理嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)、抽象難懂，學(xué)習(xí)者甚至需要通過(guò)逐字逐句地去推敲、思考、理解、想象、練習(xí)等過(guò)程，才能掌握。在教學(xué)過(guò)程中，怎樣將涉及到的數(shù)學(xué)思想方法、概念、定理、解題步驟、特殊情況等抽象內(nèi)容生動(dòng)、形象、直觀地表現(xiàn)出來(lái)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的感覺(jué)器官以及空間想象能力，以便盡快理解并掌握所學(xué)內(nèi)容，一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。以前已經(jīng)有不少教師進(jìn)行過(guò)討論，提出了很多有意義的解決辦法[1-3]。本文將結(jié)合“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)實(shí)踐，說(shuō)明如何利用文氏圖、圖像、動(dòng)畫(huà)、電影、流程圖、標(biāo)注圖、表格等多媒體技術(shù)手段處理教學(xué)內(nèi)容。

一、隨機(jī)事件的直觀化

文氏圖通常用于直觀地表示抽象集合，“隨機(jī)事件”是樣本點(diǎn)的集合，自然可以用文氏圖表示。在設(shè)計(jì)時(shí)，要注意不同的事件涂不同的顏色，對(duì)事件運(yùn)算如：■，A∪B，AB，■■，A-B，B-A等，要能用動(dòng)態(tài)方法體現(xiàn)出運(yùn)算結(jié)果，動(dòng)畫(huà)過(guò)程不要太快，這樣才能給學(xué)生較深刻的印象;同時(shí)概率減法公式P（A-B）=P（A）-P（AB）、概率加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）也可以按動(dòng)畫(huà)過(guò)程說(shuō)明，論證更加直觀，理解相當(dāng)容易。甚至多個(gè)事件的德·摩根定理也可以用動(dòng)態(tài)文氏圖設(shè)計(jì)，這樣難懂、難記的公式一下子就變活了。如果學(xué)生能夠掌握并正確地使用文氏圖，就會(huì)對(duì)隨機(jī)事件的運(yùn)算、概率公式等結(jié)論更好的理解，運(yùn)用更自如。

二、概率函數(shù)的直觀化

繪制函數(shù)圖像是直觀化函數(shù)的有效途徑。概率函數(shù)是指利用概率定義的函數(shù)，比如分布函數(shù)、分布律、概率密度函數(shù)、似然函數(shù)等。雖然這些函數(shù)仍然符合經(jīng)典函數(shù)定義，具有自變量、表達(dá)式、定義域、值域，但是學(xué)生總覺(jué)得它們與“高等數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)的函數(shù)不一樣。比如分布函數(shù)，教師除了需要講清楚定義中的各個(gè)細(xì)節(jié)外，最好能求出不同類型隨機(jī)變量的分布函數(shù)表達(dá)式，并繪制它們的圖像，看著圖像分析分布函數(shù)的特點(diǎn)，就會(huì)非常形象地將分布函數(shù)的各個(gè)細(xì)節(jié)展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)分布函數(shù)有一個(gè)全面的感性認(rèn)識(shí)，使他們更細(xì)致地了解分布函數(shù)的細(xì)節(jié)，從而有利于抓住分布函數(shù)所固有的特征。通過(guò)對(duì)大量分布函數(shù)圖像的觀察，可以順利地對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行分類：（1）離散型——分布函數(shù)是階梯形函數(shù);（2）連續(xù)型——分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù);（3）其他型——分布函數(shù)為其他類型。再比如，概率密度函數(shù)也有很多不同的特性，比如：允許有間斷點(diǎn)嗎？必須連續(xù)或可導(dǎo)嗎？單峰還是多峰函數(shù)？這些特性會(huì)對(duì)分布函數(shù)或似然函數(shù)有什么樣的影響？密度函數(shù)有那些共同的性質(zhì)？要回答這些問(wèn)題只要繪制各種類型密度函數(shù)的圖像，用圖形來(lái)“說(shuō)話”，就會(huì)比抽象的分析更容易接受。似然函數(shù)是由樣本發(fā)生概率定義的，但是求似然函數(shù)時(shí)經(jīng)常被一些學(xué)生忽略掉樣本數(shù)據(jù)，各種類型的教材中也很少介紹它們的圖像，如果教師能結(jié)合不同的樣本數(shù)據(jù)，求出一些似然函數(shù)并繪制出它們圖像，那么展示在學(xué)生面前的將是栩栩如生的似然函數(shù)，不再是枯燥無(wú)味的表達(dá)式。通過(guò)圖像對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)畏逯狈綀D或密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)也是單峰圖像，最大值點(diǎn)就是駐點(diǎn)，不必檢驗(yàn)二階導(dǎo)數(shù)的負(fù)性。

三、連續(xù)參數(shù)的直觀化

隨機(jī)變量分布函數(shù)或者數(shù)字特征中常常有連續(xù)變化的參數(shù)，它們都是一些抽象的不會(huì)“動(dòng)”的字符，當(dāng)這些參數(shù)連續(xù)變化時(shí)會(huì)有連續(xù)漸變的幾何圖形與之對(duì)應(yīng)，這時(shí)就可以采用幀動(dòng)畫(huà)支持直觀性。比如講正態(tài)分布N（？滋，？滓2）時(shí)，通常？滋是位置參數(shù)，？滓是形狀參數(shù)，但是如果將？滋或？滓按一定的步長(zhǎng)在某個(gè)范圍內(nèi)變化，就可以將不同參數(shù)密度函數(shù)圖像作為幀，制作成動(dòng)畫(huà)或電影進(jìn)行播放，這樣會(huì)更加突出位置和形狀的漸變效果，使兩個(gè)參數(shù)的幾何意義深深地刻在同學(xué)們的腦海里。在二維正態(tài)分布N（？滋1，？滋2，？滓12，？滓22，ρ）中，參數(shù)ρ所起的作用是相關(guān)系數(shù)，概率密度函數(shù)圖形怎樣隨ρ變化？如讓?duì)寻床介L(zhǎng)0.1變化，將每個(gè)ρ對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布N（0，0，1，1，ρ）密度函數(shù)圖像作為幀，制作成動(dòng)畫(huà)播放，同學(xué)們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)當(dāng)ρ接近1，密度曲面越來(lái)越接近一塊平面薄片（圖1），因此就容易理解定理|ρ|=1的充要條件是隨機(jī)變量X、Y與概率1具有線性關(guān)系，對(duì)相關(guān)系數(shù)的意義就有了比較深刻的認(rèn)識(shí)。對(duì)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，如：x2平方分布、t分布、F分布，也可以按一系列自由度逐個(gè)繪制它們的密度函數(shù)圖像，作成幀動(dòng)畫(huà)或電影，就可以形象地觀察了解密度函數(shù)隨自由度的漸變規(guī)律：什么自由度時(shí)概率密度上升較快？何時(shí)又上升較慢？概率密度是如何衰減的？概率集中在哪個(gè)范圍？對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)在哪？等等。實(shí)際上，幾乎所有“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教材的附錄中都列舉了很多常見(jiàn)的分布，這些分布中都帶有參數(shù)，它們都有相應(yīng)的概率意義，都具有連續(xù)變化的特點(diǎn)，但它們有什么幾何意義呢？強(qiáng)烈建議教師、同學(xué)們能夠充分運(yùn)用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件中的繪圖和AVI函數(shù)，將漸變參數(shù)對(duì)應(yīng)的一系列圖形制作成動(dòng)畫(huà)，再配上優(yōu)美的音樂(lè)，讓抽象的參數(shù)“動(dòng)”起來(lái)，在看電影的享受中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

四、求解過(guò)程的直觀化

流程圖可以方便地描述算法的步驟，它同樣也適合描述解題步驟。在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中有些問(wèn)題的求解方法是比較獨(dú)特的，建立方法的原理也不易理解，要想讓同學(xué)們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)掌握，可行的辦法就是將求解步驟分解，利用流程圖描述求解過(guò)程，然后在PPT課件中動(dòng)態(tài)顯示，即時(shí)講解，一目了然。比如：求參數(shù)置信區(qū)間，很多教材都是用文字來(lái)敘述求解方法或步驟，但是若用流程圖（圖2）來(lái)描述就更形象了，十分有利于學(xué)生對(duì)方法的掌握，不必去死記公式，生搬硬套公式。一般地，對(duì)復(fù)雜的求解過(guò)程若能將它分解成盡可能簡(jiǎn)單的步驟組合，使每步涉及的原理與公式都很單一，然后再畫(huà)出求解的流程圖，就可以各個(gè)擊破，降低學(xué)習(xí)過(guò)程的難度。所以在多媒體教學(xué)課件設(shè)計(jì)中，靈活使用流程圖對(duì)解題訓(xùn)練可以起到非常好的效果。

表格化處理也是很好的直觀工具。比如：在處理二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布或數(shù)字特征時(shí)，若將計(jì)算過(guò)程設(shè)計(jì)成一個(gè)表格（圖3），在課件中展示給同學(xué)們，教師和學(xué)生都會(huì)感覺(jué)一目了然，直接觀察就可以得到結(jié)果。千萬(wàn)不要用課本[4，5]上那些帶有多個(gè)下標(biāo)求和的∑公式去計(jì)算，這樣弄錯(cuò)的概率會(huì)很大。

五、特殊情況的直觀化

采用圖形標(biāo)注方式可以將定義或定理中的特殊情形表示出來(lái)。數(shù)學(xué)中的定義或定理通常是對(duì)一般情況的描述，這掩蓋了一些常用的特殊情況。比如：課本[4，5]中n=2時(shí)，全概率公式和貝葉斯公式是什么？相應(yīng)的樣本空間劃分是什么？還有自由度n=2時(shí)，x2分布是指數(shù)分布嗎？如此內(nèi)容還有很多。教師要挖掘這些特殊情況，在課件中對(duì)定義、定理、公式的特殊情況進(jìn)行圖形標(biāo)注，用標(biāo)注閃爍或晃動(dòng)等方式吸引同學(xué)們的注意力，提高同學(xué)們的關(guān)注度。教師要提醒學(xué)生對(duì)定義、定理養(yǎng)成考慮特殊情況、充分挖掘特殊情況，學(xué)會(huì)從特殊到一般的良好思維習(xí)慣，這樣能夠起到好的學(xué)習(xí)效果。

前面介紹了如何利用文氏圖、圖像、動(dòng)畫(huà)或電影、流程圖、表格、標(biāo)注圖等多媒體技術(shù)手段對(duì)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程部分內(nèi)容進(jìn)行直觀化處理技術(shù)，它們都可以通過(guò)Microsoft Office PowerPoint，Mathworks MATLAB等軟件實(shí)現(xiàn)。在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)過(guò)程中，我們根據(jù)教材[4，5]研制了多媒體教學(xué)課件（PPT格式），并在多年教學(xué)過(guò)程中不斷豐富、完善，起到了非常好的教學(xué)效果，在其他數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，我們也在積極探索這些多媒體技術(shù)的使用。

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