王昆侖+趙朝鋒+張啟敏

通訊作者，Email：tufei210@126.com（1.河南護(hù)理職業(yè)學(xué)院公共學(xué)科部，中國 安陽455000; 2.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，中國 銀川750021）

摘要研究了非線性隨機(jī)種群收獲動力學(xué)模型的數(shù)值解問題，給出了外界環(huán)境對系統(tǒng)產(chǎn)生影響的條件下隨機(jī)收獲動力學(xué)系統(tǒng).通過控制收斂定理，It公式及Gronwall不等式，討論了隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解收斂問題，得到了數(shù)值解逼近解析解的充分條件，所得結(jié)論是確定性種群系統(tǒng)的擴(kuò)展.

關(guān)鍵詞隨機(jī)種群收獲系統(tǒng);It公式;Gronwall不等式

中圖分類號O241文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2015）06008305

Numerical Solutions to a Nonlinear Stochastic Harvesting Population System

WANG Kunlun1， ZHAO Chaofeng1， ZHANG Qimin2*

（1.School of Students Affairs Department， Henan Nursing Vocational College， Anyang 455000， China;

2.School of Mathematics and Computer Science， NingXia University， Yinchuan 750021， China）

AbstractNumerical solution to a nonlinear stochastic harvesting population system is studied. When the external environment affects the system， the sufficient condition for the numerical solution is obtained through dominated convergence theorem， It fomula and Gronwall lemma. The result extends that of certaint population system.

Key wordsstochastic harvesting population system; It fomula; Gronwall lemma

考慮由下列數(shù)學(xué)模型所描述的隨機(jī)種群收獲動力學(xué)系統(tǒng)（P）：

p（r，t）r+p（r，t）t+λ1（r，t）p（r，t）+u1（r，t）p（r，t）=f1（p，t）+g1（p，t）dωdt，（r，t）∈Q;

p（r，0）=p0，QA=（0，A）;

p（0，t）=∫A0β1（r，t）p（r，t）dr，QT=（0，T）.（1）

其中Q=（0，A）×（0，T）. A是種群個體最高存活年齡，00是時間，λ1是平均死亡率，β1是平均生育率，p（r，t）是在t時刻年齡r的種群密度，u1（r，t）是收獲控制，滿足0≤u1（t）≤umax. f1是年齡為r在時間t的種群外界擾動（如遷移、地震等多突發(fā)災(zāi)害所造成的種群變化等）， f1（p，t）+g1（r，t）dωdt是外界環(huán)境對所研究系統(tǒng)的隨機(jī)擾動（ω（t）是白噪聲）.

對于確定性的種群收獲系統(tǒng)的數(shù)值解、最優(yōu)控制、最優(yōu)控制已經(jīng)有大量文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[1～3].對于隨機(jī)種群系統(tǒng)[4～15]的數(shù)值解、最優(yōu)控制、解的存在性唯一性也已有所研究，文獻(xiàn)[5～6]對解的存在唯一性、指數(shù)穩(wěn)定性以及解的收斂性進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[7]對隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)方程進(jìn)行了數(shù)值分析.文獻(xiàn)[8]利用Euler方法研究了隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性.然而對隨機(jī)種群收獲系統(tǒng)的數(shù)值解研究卻很少見到，本文主要針對系統(tǒng)（1），討論了在時間[0，y]內(nèi)種群收獲系統(tǒng)數(shù)值解收斂到解析解問題.

湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報第38卷第6期王昆侖等：一類非線性隨機(jī)年齡種群收獲系統(tǒng)的數(shù)值解1預(yù)備知識

令V=H1（Q）={z|z∈L2，zx∈L2（Q），其中zx是廣義函數(shù)意義下的偏導(dǎo)數(shù)}.V是Q的一階Sobolev空間，有V→H≡H1→V1.V1和V的對偶空間，分別用‖·‖，·，‖·‖1，表示V，H，和V1中的范數(shù)，〈·，·〉表示V1和V的對偶積，（·，·）是H中的內(nèi)積，且存在常數(shù)k有|x|≤k‖x‖，x∈V.F∈Ψ（M，H）是M到H有界算子空間中的一個算子，‖F(xiàn)‖2是HilbertShmidt范數(shù)，即‖F(xiàn)‖22=tr（FWFT）.設(shè)（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)，P）是定義的一個完備概率空間，濾波Ft≥0是右連續(xù)的且是遞增的，C=C（[0，T];H）是所有從[0，T]到H的連續(xù)函數(shù)形成的空間，其范數(shù)‖q‖C=supt∈[0，T]|q|（t）.以及LPV=LP（[0，T];V）和LPH=LP（[0，T];H），F(xiàn)是包含所有的零測度集.

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)（1），考慮如下模型

p（r，t）r+p（r，t）t+λ（r，t）p（r，t）+u（r，t）p（r，t）=f（p，t）+g（p，t）dωdt，（r，t）∈Q;

p（r，0）=p0，QA=（0，x）;

p（0，t）=∫A0β1（r，t）p（r，t）dr，QT=（0，y）.（2）

其中f（·，t）：L2H→H是一類非線性算子，{F-}關(guān)于t是可測的. g（·，t）：L2H→L（M，N）是一類非線性算子，F(xiàn)-關(guān)于t是可測的.

一類劃分令（T，T′）∈[0，s]×[0，s′].K={0=X0，X1，…，XN=T}是關(guān)于[0，T]的一類劃分，其中Δn=Xn+1-Xn， n=0，1，…，N-1.當(dāng)N→+∞時‖K‖=maxΔn→0. K′=0=Y0， Y1，…，YN=T是關(guān)于[0，T′]的一類劃分，其中Δn′=Xn′+1-Xn′， n′=0，1，…，N-1.當(dāng)N→+∞時‖K′‖=maxΔn′→0.

式（2）的離散迭代式如下：

pN（xn，yn′+1）Δn=pN（xn，yn′）Δn-（pN（xn+1，yn′）-pN（xn，yn′））Δn′-

λ（xn，yn′）pN（xn，yn′）ΔnΔn′-u（xn，yn′）pN（xn，yn′）ΔnΔn′+f（pN（xn，yn′），yn′）Δn′Δn+

14f（pN（xn，yn′），yn′）（Δn′Δn）2+g（pN（xn，yn′），yn′）Δω（r，t）.（3）

其中pN（x，y）是p（x，y）的逼近，兩者在節(jié)點處相等，且有pN（x，0）=p（x，0），Δω（r，t）=ω（xn+1，yn′+1）-ω（xn，yn′+1）-ω（xn+1，yn′）+ω（xn，yn′）.

關(guān)于（2）在（0，x）×（0，y）上的積分形式如下：

∫y0p（x，t）dr=-∫y0∫x0p（r，t）tdrdt+∫y0∫x0（β（r，t）-λ（r，t）-u（r，t））p（r，t）drdt+

∫y0∫x0f（p，t）drdt+∫y0∫x0g（p，t）dω（r，t）.（4）

若n，n′=0，1，…，N-1，Δn=TTN=Δ，Δn′=TT′N=Δ′.下面給出式（4）的逼近形式

∫y0N（x，t）dt=-∫y0∫x0N（r，t）tdrdt+∫y0∫x0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫y0∫x0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t）drdt+

∑n-1l=0∫yyn′∫xl+1xl（∫tyn′∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+

∑n′-1k=0∫k+1yk∫xxn（∫tyk∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+∫yyn′∫xxn（∫tyn′∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.

其中

N（r，y）=pN（xn，yn′），（x，y）∈[xn，xn+1）×[yn′，yn′+1）;

pN（xn，yN），x∈[xn，xn+1），y=yN;

pN（xN，yn′），x∈xN，y∈[yn′，yn′+1）;

pN（xN，yN′），x∈xN，y∈yN.（5）

其中n′=n=0，1，…，N-1，N（r，t），N（r，t），N（r，t）亦可以如上定義.

同時下列假設(shè)條件成立：

（A1） f（i，0）=0，g（i，0）=0，i∈S.

（A2） （Lipschitz條件）存在一個正常數(shù)L，當(dāng)（r，t）∈[0，T]×[0，T′]時，

|f1（p，t）|2≤L2（1+|p（r，t）|2），

|g1（p，t）|2≤L2（1+|p（r，t）|2）.

（A3） λ1∈C（Q×R+），非負(fù)可測函數(shù)，且滿足0≤λ0=λ1（r，0）≤λ1（r，t）≤θ1<∞.

（A4） β1∈C（Q×R+），非負(fù)可測函數(shù)，且滿足0≤β1（r，0）≤β1（r，t）≤θ2<∞.

（A5） u∈Uad=U的非空凸子集，且U=L2（Q），ε≤u≤m.

2主要結(jié)果

定理1在假設(shè)條件下，存在一個與N無關(guān)的常數(shù)C>0，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤C.

證不失一般性，若（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′，yn′+1]，則有

∫y0N（x，t）dt=∫yn′0N（xn，t）dt=-∫yn′0∫xn0N（r，t）tdrdt+∫yn′0∫xn0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫yn′0∫xn0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t）drdt+∫yn′0∫xn0f（N（r，t），t）drdt+

∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.（6）

根據(jù)偏導(dǎo)算子的有界性（其上界為L′0），Holder不等式以及（a+b+c+d+e）2≤5a2+5b2+5c2+5d2+5e2，可得

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤5L′20（TT′）∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt+

5（-λ0-）2∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt+5L2（TT′）∫yn′0∫xn0（1+E|N（r，t）|2）drdt+

5L2∫yn′0∫xn0（1+E|N（r，t）|2）drdt+5L2（116（TT′）4+116（TT′）3）∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt≤

5L2（TT′）2+5L2（TT′）+516L2（TT′）4+[5L2（TT′）+5L′20（TT′）+5L2516（TT′）3+

5（-λ0-）2（TT′）]∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt.（7）

若令L1=5L2（TT′）2+5L2（TT′）+516L2（TT′）4，

L2=5L2（TT′）+5L′20（TT′）+5L2+516（TT′）3+5（-λ0-）2（TT′）.

則有sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤L1+L2∫y0∫x0E|N（r，t）|2drdt.由Gronwall不等式，存在L3>0，使得sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤L3eL2=C，N.由此可得到在時間[0，y]內(nèi)∫y0N（x，t）dt是有界的.

定理2在上述定理的條件下，存在一個與N無關(guān)的常數(shù)C0，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤C0，N.

證若（x，y）∈[0，T]×[0，T′]，則有

∫y0pN（x，t）dt=-∫yn′0∫xn0N（r，t）tdrdt+∫yn′0∫xn0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫yn′0∫xn0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））pN（r，t）drdt+∫yn′0∫xn0f（n（r，t），t）drdt+

∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.（8）

與定理1同樣的方法，若（x，y）∈[0，T]×[0，T′]，存在常數(shù)L′3>0，則

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤L′1+L′2∫y0∫x0E|pN（r，t）|2drdt.

所以sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤L′1eL′3=C0.此定理說明在時間[0，y]內(nèi)∫y0pN（x，t）dt是有界的.

定理3在上述定理的條件下，對任意（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′，yn′+1]，當(dāng)N→∞時，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2→0.

證若任意（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′+yn′+1]，可得

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2≤|∫D（-λ0-）N（r，t）drdt|+|∫DN（r，t）tdrdt|+

|∫Df′（N（r，t）drdt，t′）drdt|+|∫Dg（N（r，t），t）|dω（r，t）+

|∑n-1l=0∫yyyn′∫xl+1xl（∫tyn′∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|+|∑n′-1k=0∫yk+1yk∫xxn（∫tyk∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|+

|∫yyn′∫xxn（∫tyn′∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|.（9）

其中D=[（0，0），（x，y）]＼[（0，0），（xn，yn′）].

由Hlder不等式，Lipschitz條件以及定理1，可得存在常數(shù)m>0，使得

E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2≤m（7（-λ0-）2|D|CT+2·7L2|D|2+2·7L2|D|TC+

7L′20|D|TC+7L2（1+TC）（116x2Δ2Δ′4+116y2Δ4Δ′2+116y2Δ4Δ′4））

其中|D|表示D的Lebesgue測度.當(dāng)N→∞時，|D|→0.所以

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2→0.

定理4在上述定理的條件下，對任意（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]，當(dāng)N→∞時，有

sup（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]E|∫yN0（p（xN，t）dt-pN（xN，t））dt|2→0.

證E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤

5E|∫xN0∫yN0（β（r，t）-λ（r，t）-u（r，t）-（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t））|2drdt+

5E|∫xN0∫yN0（p（r，t）t-N（r，t）t）drdt|2+5E|∫xN0∫yN0（f（p（r，t），t）-f（N，t））drdt|2+

5E|∫xN0∫yN0（g（p（r，t），t）-g（N，t））dω（r，t）|2+5E|∑N-1k=0∑N-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|≤

5（-λ0-）2（TT′）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt+5L′20（TT′）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt+

516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC）≤516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC）+

（5（-λ0-）2（TT′）+5LTT′+5L2+5L′20）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt.（10）

令L4=516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC），L5=5（-λ0-）2（TT′）+5LTT′+5L2+5L′20.

則有E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤L4+L5∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt≤

L4+2L5∫yN0∫xN0E|p（r，t）-pN（r，t）|2drdt+2L5∫yN0∫xN0E|pN（r，t）-N（r，t）|2drdt.（11）

由上述定理及控制收斂定理，limN→+∞∫xN0E|∫yN0（pN（r，t）-N（r，t））dt|2dr=0，可得

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L5limN→+∞∫yN0∫xN0E|p（r，t）-pN（r，t）|2drdt.

若存在常數(shù)L′5≥0得

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L′5limN→+∞∫xN0E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2dr.

再由控制收斂定理，可知

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L′5∫xN0limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2dr.

同理，可得到對任意（r，t）∈[0，T]×[0，T′]

limN→+∞E|∫T′0（p（T，t）-pN（T，t））dt|2≤4L′4∫T0limN→+∞E|∫T′0（p（T，t）-pN（T，t））dt|2dr.

由Gronwall不等式可得

sup（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]E|∫yN0（p（xN，t）dt-pN（xN，t））dt|2→0.

即，在時間[0，y]內(nèi)系統(tǒng)的解析解是均方收斂于數(shù)值解的.

參考文獻(xiàn)：

[1]KLOEDEN P E， PLATEN E. Numerical solution of Stochastic dierential equations[M].New York： SpringerVerlag， 1992.

[2]LUO Z X. Optimal harvesting control problem for an agedependent competing system of n species [J]. Appl Math and Comput， 2006，183（1）：119127.

[3]ZHAO C， WANG M， ZHAO P. Optimal control of harvesting for agedependent predatorprey system[J]. Math Comput Model， 2005，42（5，6）：573584.

[4]ABEL C. A Stochastic maximum principle for systems with jumps， with applications to finance[J]. Syst Contr Lett， 2002，47（5）：433444.

[5]ZHANG Q M， HAN C Z. Convergence of solutions to stochastic agestructured population system with diusion[J].Appl Math Comput， 2007，186（2）：12341242.

[6]ZHANG Q M， LIU W N， NIN Z K. Existence， uniqueness and exponential stability for stochastic agedependent population[J].Appl Math Comput， 2004， 154（1）：183201.

[7]ZHANG Q M， HAN C Z. Numerical analysis for stochastic agedependent population equations[J]. Appl Math Comput， 2005，169（1）：278 294.

[8]LI R H， MENG H B， CHANG Q. Convergence of numerical solutions to stochastic agestructured population system[J]. Comput Appl Math， 2006，193（1）：109120.

[9]ZHOU S B， WU F K. Convergence of numerical solution to stochastic delay dierential equation with Markovian switching[J]. Comput Appl Math， 2009，229（1）：8596.

[10]LI R H， LIU M . Exponential stability of numerical solutions to stochastic agedependent population equations[J].Appl Math Comput， 2006，183（1）：152159.

[11]ZHANG Q M， LI X N. Analysis of numerical solutions to stochastic agestructured population equations [J]. Appl Math Comput ， 2006，3（2）： 582592.

[12]MAO X R. Robustness of stabiity of stochastic dierential delay equations with Markovian switching[J].Stab Cont： Theor Appl， 2003，3（1）：4861.

[13]MA W J， ZHANG Q M. Numerical analysis of the semiimpicit Euler method for stochastic pantograph equations with fractional Broenian motion[J].Appl Math， 2010，23（4）：847854.

[14]MAO X R， SABANIS S. Numerical solutions of stochastic dierential delay equations under local Lipschitz condition[J].Appl Math Comput， 2003，151（1）：215227.

[15]杜卓勛，劉碧玉，顏愛民，等.一類具有時滯的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2013，36（5）：2732.