陶為群

研究解決社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，對于深化馬克思的社會再生產(chǎn)理論以及對現(xiàn)實經(jīng)濟宏觀調(diào)控的指導(dǎo)，都具有重要的理論意義。馬克思的社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化，是指在對于馬克思的社會擴大再生產(chǎn)公式獲得解析解的基礎(chǔ)上，進一步獲得最優(yōu)解析解。馬克思的社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，是對于擴大再生產(chǎn)公式的求解問題增加了目標(biāo)函數(shù)，因而當(dāng)獲得社會擴大再生產(chǎn)公式的解，還只是獲得了擴大再生產(chǎn)的可行解而不是最優(yōu)解。已經(jīng)有研究運用多參數(shù)線性規(guī)劃方法解決了馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題（陶為群、陶川，2012），[1]但運算比較復(fù)雜。也有研究運用“價值系數(shù)法”替代單純形法，簡化了兩大部類擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的求解方法（陶為群、陶川，2013），[2]但是仍然不夠直觀、簡便。最近，又有研究提出了馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法，可以直觀、方便地獲得擴大再生產(chǎn)公式的解析解（陶為群，2015）。[3]基于這個圖解法的啟示，本文提出馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法，即應(yīng)用平面解析幾何方法，通過作圖獲得社會擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解析解。用馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法，可以替代已有的兩大部類擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的各種求解方法，直觀、方便地獲得社會擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解，切實簡化社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的求解。

一、馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的約束條件和目標(biāo)函數(shù)

按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，社會生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類。第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在t年初時點的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為Cj(t)和Vj(t)，Cj(t)和 Vj(t)都是每年周轉(zhuǎn)一次；Vj(t)帶來剩余價值 Mj(t)。第j部類產(chǎn)品當(dāng)中消耗的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù)hj表示該部類的資本有機構(gòu)成。剩余價值Mj(t)與可變資本Vj(t)之間保持固定不變的比率，以ej表示，是第j部類的剩余價值率。以Yj(t)表示第j部類的新創(chuàng)造價值，對確定了含義的字母前面加符號△表示在當(dāng)年再生產(chǎn)過程中所形成的增量，以Mx(t)j表示第j部類企業(yè)所有者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分。由于剩余價值Mj(t)是形成本部類的新增資本和企業(yè)所有者的剩余價值消費的唯一來源，所以有剩余價值使用的行為方程：

有研究結(jié)果根據(jù)式（1）和政治經(jīng)濟學(xué)教科書中說明的社會再生產(chǎn)的實現(xiàn)條件（程恩富等，2012），[4]獲得社會再生產(chǎn)的資本積累均衡方程式（2），并且基于資本積累均衡方程用圖解法求解馬克思擴大再生產(chǎn)公式。[3]

如果對于擴大再生產(chǎn)確定目標(biāo)函數(shù)，就可以在馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法的基礎(chǔ)上，形成馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法。這里以第j部類新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）△Yj(t)一般地代表該部類新增的社會產(chǎn)品，由于每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系固定不變，一個部類新創(chuàng)造價值最大化與利潤最大化具有等價性。那么，下一年相對于本年兩個部類新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）總和△Y(t)是：

可以把△Y(t)取得最大值確定為擴大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)。因為第j部類的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)出）與不變資本之間的比率即不變資本產(chǎn)出率Yj(t)│Cj(t)固定不變，是（1+ej）│hj，因而:

把式（4）代入式（3），得到：

只要兩個部類的不變資本產(chǎn)出率不相等也就是（1+eI）│hI≠（1+eII）hII，就可以通過將待定變量△CI(t)和 △CII(t)選擇特定的匹配，使式（5）所表示的新增的新創(chuàng)造價值總和△Y(t)取得最大值。

二、在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高條件下擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法

擴大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)式（5）中有兩個待定變量△CI(t)和△CII(t)。擴大再生產(chǎn)公式的圖解法是基于資本積累均衡方程（2）以及對于兩個待定變量的條件，應(yīng)用平面解析幾何方法，通過作圖獲得擴大再生產(chǎn)公式的解析解。而社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法，就是以擴大再生產(chǎn)公式的解析解為基礎(chǔ)，進一步獲得使目標(biāo)函數(shù)式（5）取得最大值的最優(yōu)解析解。

如圖1所示，分別以變量△CI(t)和△CII(t)作為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系。由于受到剩余價值使用的行為方程式（1）的約束，△CI(t)和 △CII(t)的取值范圍局限在由兩條直線△CI(t)=MIhI│（1+hI）和△CII(t)=MIIhII│（1+hII）與兩個坐標(biāo)軸圍成的矩形區(qū)域內(nèi)。資本積累均衡方程式（2）表示了一條直線，此直線處于矩形區(qū)域內(nèi)的線段上的點，都代表了擴大再生產(chǎn)公式的解，是擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的可行解。所以擴大再生產(chǎn)有一條可行解線段，在圖中用粗線條標(biāo)出。可行解線段的斜率是-1，與兩個坐標(biāo)軸圍成等腰三角形。對于資本積累均衡方程中的狀態(tài)參數(shù)（YI(t)-CII(t)）取不同值的情形，可以看作是可行解線段隨著參數(shù)取不同的值，可以在矩形區(qū)域內(nèi)上、下平行移動；參數(shù)（YI(t)-CII(t)）取值越大上移的位置就越高。矩形區(qū)域的右上頂點，是可行解線段能夠上移到的最高位置，到這最高位置可行解線段就收縮成只是一個點。圖1中標(biāo)出了可行解線段所處的兩種有一般代表性的位置。

圖1 條件下的兩個最優(yōu)解點

在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高即（1+eI）│hI＞（1+eII）│hII條件下，目標(biāo)函數(shù)直線是相對陡峭的，與坐標(biāo)系的橫軸在第一和第二象限形成小于135度的鈍角夾角，如圖1所示。因而當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線向上平行移動到在可行解線段的右端點與此線段相交時，到達最高位置，從而目標(biāo)函數(shù)取得最大值。所以，可行解線段的右端點（△CI(t)*，△CII(t)*）就是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解點。而在可行解線段上，右端點就是橫坐標(biāo)數(shù)值最大的點。所以最優(yōu)解點的橫坐標(biāo)值是：

根據(jù)圖1所示的此可行解線段所處的兩種有一般代表性的不同位置，可以看出，可行解線段上右端點的橫坐標(biāo)數(shù)值是：

進而由于最優(yōu)解點是在可行解線段上，所以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)數(shù)值之間滿足資本積累均衡方程式（2），因而縱坐標(biāo)數(shù)值是△CII(t)*=（YI(t)-CII(t)）-△CI(t)*。用這樣確定的△CI(t)*和△CII(t)*分別替換目標(biāo)函數(shù)式（5）中的待定變量△CI(t)和△CII(t)，就獲得目標(biāo)函數(shù)的最大值。

圖1中還將最優(yōu)解點分別放到兩條邊界線△CI(t)=MI(t)hI│（1+hI）和△CII(t)=MII(t)hII│（1+hII）用雙向箭頭線條標(biāo)出。這兩個雙向箭頭的長度是dj(t)*（當(dāng)最優(yōu)解點就在直線△CI(t)=MI(t)hI│（1+hI）上時，雙向箭頭收縮成為一個點，長度dj(t)*=0）。

而根據(jù)剩余價值使用的行為方程式（1），將雙向箭頭的長度dj(t)*乘一個放大系數(shù)，就得到最優(yōu)解的第j部類企業(yè)所有者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分Mxj*。

綜合以上圖解法，在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高條件下，可行解線段的右端點（△CI*，△CII*）總是成為最優(yōu)解點。最優(yōu)解點的橫坐標(biāo)值△CI(t)*是待定變量△CI(t)能夠取得的最大值M ax（△CI(t)），這與使用“價值系數(shù)法”求最優(yōu)解的結(jié)果完全一致。[2]將以上圖解法的結(jié)果歸納列成表1。

表1 在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高條件下擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解

三、在第Ⅱ部類的不變資本產(chǎn)出率高條件下擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法

在第Ⅱ部類的不變資本產(chǎn)出率高即（1+eI）│hI＜（1+eII）│hII條件下，目標(biāo)函數(shù)直線是相對平緩的，與坐標(biāo)系的橫軸在第一和第二象限形成大于135度的鈍角夾角，如圖2所示。

圖2 條件下的兩個最優(yōu)解點

當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線向上平行移動到在可行解線段的左端點與此線段相交時，到達最高位置，從而目標(biāo)函數(shù)取得最大值。所以，可行解線段的左端點（△CI(t)*，△CII(t)*），就是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解點。而左端點是可行解線段上縱坐標(biāo)數(shù)值最大的點。所以最優(yōu)解點的縱坐標(biāo)值是：

根據(jù)圖2所示的此可行解線段所處的兩種有一般代表性的不同位置，可以看出，可行解線段左端點縱坐標(biāo)數(shù)值是：

進而由于此交點是在可行解線段上，所以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)數(shù)值之間滿足資本積累均衡方程式（2），橫坐標(biāo)值是△CI(t)*=（YI(t)-CII(t)）-△CII(t)*。用這樣確定的△CI(t)*和△CII(t)分別替換目標(biāo)函數(shù)式（5）中的待定變量△CI(t)和△CII(t)，就獲得目標(biāo)函數(shù)的最大值。

類似地，圖2中還將此最優(yōu)解點分別放到兩條邊界線△CI(t)=MI(t)hI│（1+hI）和△CII(t)=MII(t)hII│（1+hII）雙向箭頭標(biāo)出。這兩個雙向箭頭的長度是dj(t)*。將雙向箭頭的長度dj(t)*乘一個放大系數(shù)，就得到最優(yōu)解的第j部類企業(yè)所有者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分Mx(t)j*。

綜合以上圖解法，在第Ⅱ部類的不變資本產(chǎn)出率高條件下，可行解線段的左端點（△CI*，△CII*）必定成為最優(yōu)解點。最優(yōu)解點的縱坐標(biāo)值△CII(t)*是待定變量△CII(t)能夠取得的最大值M ax（△CII(t)），這與使用“價值系數(shù)法”求最優(yōu)解的結(jié)果完全一致。[2]這里要說明一下為什么使用圖解法與“價值系數(shù)法”求最優(yōu)解的結(jié)果能夠完全一致。因為當(dāng)使用圖解法，哪個部類的不變資本產(chǎn)出率高，目標(biāo)函數(shù)“等值線”就沿著可行解線段向該部類新增不變資本數(shù)值大的方向移動，直至到達此線段的端點，所以圖解法傾向于使不變資本產(chǎn)出率高的那個部類新增不變資本取得最大值。而每個部類的不變資本產(chǎn)出率就是“價值系數(shù)法”當(dāng)中的價值系數(shù)，“價值系數(shù)法”是使價值系數(shù)大的那個部類新增不變資本取得最大值。所以，用兩種方法求最優(yōu)解的結(jié)果完全一致。

將以上圖解法的結(jié)果歸納列成表2。

表2 在第Ⅱ部類的新增不變資本價值系數(shù)大的條件下擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解

四、借助《資本論》的舉例計算最優(yōu)解

下面借助《資本論》第2卷第21章所舉的第一例，[5]對以上給出的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法的最優(yōu)解進行計算驗證。此例設(shè)定兩個部類結(jié)構(gòu)參數(shù)是：hI=4倍，hII=2倍，eI=eII=100%，說明一般情形下兩大部類的擴大再生產(chǎn)過程。該例是本文所分析的第Ⅱ部類的新增不變資本價值系數(shù)大（即（1+eI）│hI＜（1+eII）│hII）的條件。引用該例中的第2年（起始年份的下一年）數(shù)據(jù)，此年CI(t)=4400，VI(t)=MI(t)=1100，CII(t)=1600，VII(t)=MII(t)=800。此年擴大再生產(chǎn)中的（YI(t)-CII(t)）=600，它的數(shù)量所處區(qū)間是MII(t)hII│（1+hII）≤YI(t)-。運用圖解法計算兩大部類擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解，根據(jù)表2，得到：△CI(t)*=66.7，△CII(t)*=533.3，IMx(t)*=1016.6，IIMx(t)*=0。目標(biāo)函數(shù)最大值計算出的最優(yōu)解與運用單純形法、“價值系數(shù)法”獲得的結(jié)果完全相同。[1][2]