盧梅霞 孫祥娥

摘要：離散傅里葉變換是計算機對信號頻譜進行分析的理論基礎，在《數(shù)字信號處理》這門課程中進行了詳細的理論推導。學生在對這部分內容做實驗的過程中，往往會忽視實驗結果里面出現(xiàn)的一些由柵欄效應引起的細小差別。本文重點闡述連續(xù)周期信號頻譜由柵欄效應導致的誤差并提出相應的改善方法。文章還結合了實際的例子在MATLAB環(huán)境下進行了分析和驗證。

關鍵詞：柵欄效應；周期信號；DFT；譜分析

中圖分類號：TN911 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）26-0196-03

Study on the Effect of Fence in the Signal Spectrum Analysis of Continuous Cycle

LU Mei-xia， SUN Xiang-e*

（Yangtze University ，College of Electronic and Information， Jingzhou 434100， China）

Abstract： Discrete Fourier Transform （DFT） is the theoretical basis for the analysis of the signal spectrum， with the theory derived in detail in the course of Digital Signal Processing. Students tend to ignore some minor differences caused by the fence effect in experimental results when conducting the experiment. This paper mainly elaborates on the error caused by the fence effect in the periodic signal spectrum analysis and the corresponding improving methods are proposed. Practical examples are also combined to be analyzed and verified in the MATLAB environment.

Key words： fence effect； periodic signal； DFT； spectral analysis

DFT是一種時域和頻域均離散化的傅里葉變換，為計算機處理信號提供了理論支撐。對自然界中的連續(xù)信號進行頻譜分析時，需要進行離散化和時間域的截取，再進行離散傅里葉變換得到信號的頻譜。這樣的信號頻譜只是實際頻譜的近似，因此在對連續(xù)信號進行譜分析時就有必要去采取一些措施來減小這種近似帶來的影響。本文主要針對大家容易忽視的誤差原因—柵欄效應作深入地探究，解決連續(xù)信號譜分析過程中容易產生疑問的地方。

在對離散周期信號做頻譜分析時，對信號的截取不當會使得頻譜中出現(xiàn)多余的頻率值，下圖是對單頻率信號 [x（t）=cos（2πt/8）]（周期為8s，則頻率[f]=1/8）作采樣頻率為[fs]=2[Hz]的DFT，在結果圖中出現(xiàn)了多個頻率值，針對這種現(xiàn)象本文從理論上作了推導，并通過例子進行了深入的分析。

1 連續(xù)信號譜分析的基本原理

利用數(shù)字的方法對連續(xù)信號進行譜分析，需要信號在時間域和頻率域都是離散信號或者數(shù)字信號。對連續(xù)信號[x（t）]進行等間隔采樣能夠得到時間域的數(shù)字信號[x（n）]，對[x（n）]進行傅里葉變換能夠得到信號的頻譜[X（ejω）]：

[X（ejω）=n=-∞∞x（n）e-jωn][2] （1）

[X（ejω）]是周期為[2π]的連續(xù)函數(shù)。對[X（ejω）]進行離散化，得到頻域的數(shù)字信號[X（k）]：

[X（k）=X（ejω）ω=2πNk] （2）

在進行連續(xù)信號的頻譜分析時，我們是以[X（k）]來表示待分析連續(xù)信號[x（t）]的頻譜[X（ejω）]。時域采樣定理指出了由離散時間信號恢復連續(xù)信號的條件，頻率采樣定理指出了由離散頻域信號恢復離散時間信號的條件。在滿足這兩個采樣定理條件的前提下，離散化后得到的[X（k）]是否一定能夠正確反映連續(xù)信號的頻譜是本文需要討論的問題。

2 連續(xù)周期信號的譜分析

設單一頻率為[f0]的連續(xù)周期信號，周期[T=1/f0]，截斷后信號的時域長度為[Tp]，采樣時間間隔為[Ts]，則采樣頻率[fs=1/Ts]，采樣點數(shù)[N=TP/TS]。頻譜分析中的頻譜分辨率F為：

[F=fs/N=1/TP] （3）

設截取時長內有[m]個周期，即

[Tp=m?T] [Tp=m?T=mf0] （4）

其中[m]為任意數(shù)。將式（3）帶入式（4），可得：

[f0=fs?m/N=m?F] （5）

由于頻譜分辨率F表示兩條譜線所表示的頻率間隔，所以只有當[m]為整數(shù)時，信號原有頻率[f0]才會落在譜線上，即在時間域上對信號采用整周期截取。如果[m]不為整數(shù)時，頻率[f0]落在兩譜線之間，只能用相鄰的譜線來近似，因此譜分析結果只能是信號頻率的近似。含有多個頻率成分時的推導類似。

因此對周期信號進行譜分析時，確保截取信號中含有整數(shù)個周期信號，才能獲得對該連續(xù)信號頻譜成分的準確分析。

3 實例分析[3]

分析正弦信號[x（t）=sin（πt/6）+cos（πt/3）]的頻譜。信號包含兩個頻率成分[f1]=1/12，[f2]=1/6，信號的周期為12s.設采樣間隔[T]=0.5s，則采樣頻率[fs]=2[Hz]。分別對該正弦信號截取18s、24s和54s進行信號的頻譜分析。

a.時間域截取18s，具有1.5個周期，采樣點數(shù)[N]=36

分析：圖2中截取的是1.5個周期，得到的頻譜與實際頻譜相比，誤差較大，原始信號只有兩個頻率分別為1/12Hz和1/6Hz，而此頻譜中出現(xiàn)了多個頻率成分，這樣使得無法區(qū)分出原始信號中真正的頻率成分。

b.時間域截取24s，具有2個周期，采樣點數(shù)[N]=48

分析：圖3中截取兩個周期，得到的頻譜與實際頻譜相比較沒有誤差，很好地反映了真實的頻譜。

c.時間域截取78s，具有6.5個周期，采樣點數(shù)[N]=156

分析：圖4截取的是4.5個周期，得到的頻譜與實際頻譜相比，有誤差，得到的頻譜在無信號的地方出現(xiàn)了頻率成分，但是能夠區(qū)分出原始信號中的真正的頻率。

小結：圖2與圖3相比較，整周期截取可以精確的得到真實的頻譜。圖2與圖4相比較，在非整周期截取的情況下，增加截取的長度可以減小由于非整周期截取所帶來的柵欄效應。提高頻譜分析的精確度。圖3與圖4相比較，整周期截取比增加采樣長度后的非整周期截取得到的頻譜更精確。所以，對周期信號截取時，應該以整周期截取。

但是圖2、圖3、圖4三個圖中都不是從過零點開始截取的，那么對于信號從過零點開始截取對信號頻譜會有怎樣的影響，這將在下面討論。

4 周期信號是否過零點采樣的討論

分析：圖5中a，b采用整周期截取時，是否過零點采樣對得到的頻譜沒有影響。c，d采用非整周期截取時，過零點采樣與非過零點采樣得到的頻譜有差別。所以，對于連續(xù)的周期信號應該對信號進行整周期截取。如果周期不可知，應該盡量增大截取長度和采用過零點采樣。

5 連續(xù)周期信號的頻域恢復分析

連續(xù)的周期信號[x（n）]經過非整周期截取后，在滿足時間域采樣定理的條件下，其DFT得到的[X（k）]能否恢復序列[x（n）]需要做進一步的分析。

對[X（k）]進行IDFT得到

[xN（n）=IDFT[（XN（k））]N=[r=-∞+∞x（n+rN）]RN（n）] [1] [r]為整數(shù)

則在滿足頻率域采樣定理的條件下，[xN（n）]是截斷后的序列以采樣點數(shù)[N]為周期的周期延拓，此時[xN（n）≠x（n）]。

正弦信號[x（t）=sin（πt/6）+cos（πt/3）]包含兩個頻率成分f1=1/12，f2=1/6，信號的周期為12s.設采樣間隔[T]=0.5s，則采樣頻率[fs]=2[Hz]。一個周期內包含的采樣點數(shù)為24.現(xiàn)截取18s的信號，具有1.5個周期，采樣點數(shù)[N]=36，對其先做DFT后再做IDFT，得到[xN（n）]。

分析：圖6中的下圖一個周期內的采樣點數(shù)是36，周期為18s，與[x（n）]的周期相比周期發(fā)生了改變，不再是原來的12s。因此對連續(xù)的周期信號進行非整周期截取后，做DFT得到的頻域信號不能恢復連續(xù)的周期信號，這也解釋了非整周期截取得到的頻譜與真實的頻譜有較大誤差的原因。

6 結束語

柵欄效應很難克服，有時候甚至會引起嚴重的誤差，同時根據(jù)不同的信號特點所采用的減小柵欄效應方法的有效性也不同，所以找到信號的基本特性對我們得到誤差較小的頻譜是非常有幫助的。對于周期信號能有效地改善柵欄效應的方法就是整周期截取且過零點采樣。對于周期未知的信號需要增大DFT點數(shù)來改善柵欄效應[4-5]。

參考文獻：

[1] 李永全，楊順遼，孫祥娥.數(shù)字信號處理[M].武漢：華中科技大學出版社，2011：75.

[2] 胡廣書.數(shù)字信號處理（理論、算法與實現(xiàn)）[M].北京：清華大學出版社，2003：100.

[3] 林愛英，滕紅麗，袁超，等.DFT在信號譜分析中的應用[J].安徽工業(yè)大學學報，2011，28 （2）：192-195.

[4] 張登奇，楊慧銀.信號的頻譜分析及MATLAB 實現(xiàn)[J].湖南理工學院學報：自然科學版，2010，23（3）：29-33.

[5] 喬建華，張雪英.用DFT 對連續(xù)信號譜分析的誤差問題[J].現(xiàn)代電子技術，2014，37（13）：53-56.