付劍波

摘 要：本文耦合差分進(jìn)化算法和數(shù)值傳熱學(xué)求解方法，發(fā)展了一種新的傳熱學(xué)反問(wèn)題求解方法。以二維對(duì)流換熱反問(wèn)題為例，高精度的反演了熱流密度，證明了該算法的正確性和魯棒性?？疾炝藴y(cè)量點(diǎn)數(shù)目對(duì)反問(wèn)題求解的影響，計(jì)算表明存在一個(gè)最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)，并給出了確定最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)的方法。研究了測(cè)量誤差對(duì)算法的影響。結(jié)果表明該算法具有很強(qiáng)的抗噪能力，證明該算法具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：差分進(jìn)化算法；傳熱反問(wèn)題；測(cè)量誤差

引言：傳熱反問(wèn)題在數(shù)學(xué)上常常是的不適定性， 其求解比正問(wèn)題要復(fù)雜和困難得多。傳熱反問(wèn)題具有以下特點(diǎn)：

（1）傳熱反問(wèn)題的解具有不唯一性和不穩(wěn)定性的特點(diǎn)；（2）目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化變量之間沒(méi)有解析的函數(shù)關(guān)系式，目標(biāo)函數(shù)的可微性難于保證，求解目標(biāo)函數(shù)的梯度非常復(fù)雜；（3）目標(biāo)函數(shù)具有多峰值、非凸函數(shù)的特點(diǎn)。本文采用新近發(fā)展并得到廣泛應(yīng)用的差分進(jìn)化算法，耦合傳熱學(xué)數(shù)值求解方法，發(fā)展了一種新的反問(wèn)題求解方法，并以高溫超導(dǎo)實(shí)驗(yàn)中平行平板管道壁面熱流密度的測(cè)量問(wèn)題為例，驗(yàn)證了該方法的正確性和實(shí)用性。

一、差分進(jìn)化算法簡(jiǎn)介

進(jìn)化算法（Evolutionary algorithms）具有以下特點(diǎn)：1）尋優(yōu)過(guò)程中僅利用函數(shù)本身的信息，對(duì)目標(biāo)函數(shù)及約束條件的可微性、凸性沒(méi)有要求，且對(duì)各類優(yōu)化問(wèn)題的處理流程基本一致，具有很強(qiáng)的通用性；2）具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和優(yōu)秀的魯棒性，能以較大概率收斂到全局最優(yōu)解；3）采用隨機(jī)優(yōu)化算子而不是嚴(yán)格的確定性運(yùn)算，可直接逼近多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題；4）采用群體搜索而不是單點(diǎn)搜索，對(duì)初始解沒(méi)有要求。

由Storn和Price于1996年提出的差分進(jìn)化算法（Differen

tial evolution，簡(jiǎn)稱DE），是進(jìn)化算法的一個(gè)重大改進(jìn)，獲得了廣泛的關(guān)注。圖1是DE算法的操作流程圖。

DE算法通常采用實(shí)數(shù)編碼，與傳統(tǒng)的進(jìn)化算法有兩點(diǎn)區(qū)別：1）采用差分算子代替了傳統(tǒng)進(jìn)化算法中的交叉和變異算子；2）采用一對(duì)一選擇策略生成新的種群。設(shè)第t代中第i個(gè)染色體表示為：CHti=（chti，1，chti，2，chti，j，chti，n） （1）

圖1差分進(jìn)化算法流程圖圖 2linear_quadratic問(wèn)題迭代收斂史

設(shè)chtbest，t是第代最優(yōu)個(gè)體，chtp，j和chtq，j是第t代隨機(jī)選出的不同個(gè)體，差分算子可表示為：

（2）

其中r是[0，1.0]之間的隨機(jī)數(shù)。DE算法操作十分簡(jiǎn)單，在尋優(yōu)過(guò)程中只需要兩個(gè)參數(shù)：定標(biāo)因子F和闕值因子CR。其中F∈[0，1.0]，文中取0.85，CR∈[0，1.0]，文中取1.0。從式（2）可以看出，差分算子利用種群中多個(gè)個(gè)體的信息，正是這一特點(diǎn)使得

DE算法較傳統(tǒng)的進(jìn)化算法具有更優(yōu)秀的魯棒性和全局尋優(yōu)能力。本文選擇linear_quadratic問(wèn)題，驗(yàn)證DE算法在處理多峰值、高維問(wèn)題時(shí)的魯棒性和全局尋優(yōu)能力。linear_quadratic問(wèn)題定義為：

（3）

其中ui∈[-200，200]， i﹦1，2，…，45。該函數(shù)具有參數(shù)相互關(guān)聯(lián)的特點(diǎn)，優(yōu)化難度相當(dāng)大。對(duì)該函數(shù)，本文采用DE算法進(jìn)行100次隨機(jī)試驗(yàn)，圖2給出了函數(shù)優(yōu)化過(guò)程的迭代收斂史。

二、傳熱反問(wèn)題求解方法及應(yīng)用

本文以差分進(jìn)化算法為核心，耦合數(shù)值傳熱學(xué)求解技術(shù)，發(fā)展了一種適用于求解傳熱反問(wèn)題全局自動(dòng)求解算法。圖3是該算法的執(zhí)行流程圖。

圖3 傳熱反問(wèn)題求解算法流程圖

（一）數(shù)學(xué)模型。本文考慮一個(gè)平行平板的層流受迫對(duì)流的情況。其中管道的一個(gè)壁面絕熱， 而另一壁面受到隨空間變化的熱流。流體進(jìn)入管道的流體溫度為T0 ，如圖4所示。

圖4 二維對(duì)流換熱問(wèn)題示意圖 圖5 迭代收斂史

該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

以u(píng)m 表示流體的平均速度，u（y）可表示為：

一般情況是已知熱流密度q（x）求溫度分布，這就是所謂的正問(wèn)題。該問(wèn)題可通過(guò)數(shù)值傳熱的方法直接求解。但在工程測(cè)量和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中熱流密度往往是未知的或難以測(cè)量的，通過(guò)在管道內(nèi)壁附近沿流線方向放置若干個(gè)測(cè)溫?zé)犭娕迹?可以測(cè)量得到流體溫度場(chǎng)的一些離散信息， 通過(guò)方程（1） 求管道壁面的熱流密度，這就是一個(gè)已知若干測(cè)量點(diǎn)的溫度值求解未知的邊界熱流q（x）的二維對(duì)流換熱反問(wèn)題。

（二）目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化變量。本文目標(biāo)函數(shù)定義為試驗(yàn)測(cè)定點(diǎn)的溫度和給定壁面熱流條件下采用數(shù)值傳熱方法計(jì)算出該測(cè)量點(diǎn)的溫度的差，可表示為： fobj=■T■■-T■■ （6）

其中n為測(cè)量點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Tm表示測(cè)量溫度值，Tc表示計(jì)算溫度值。該問(wèn)題的優(yōu)化變量為壁面熱流密度。

三、計(jì)算結(jié)果及分析

（一）參數(shù)設(shè)定。本文中給定進(jìn)口流體的溫度T0=293k，平行平板管道的長(zhǎng)的b=1.6m，間隔L=0.01m，熱電耦放置的位置為y=

0.00923m，流體參數(shù)為：ρ=845kg/m3，Cp=2200J/（kg·k），λ=0.

137W/（m·k），平均流速um=0.04m/s。假設(shè)管道壁面上方受到一個(gè)已知的正弦變化熱流：q（x）=3000 ·sin（πx/0.55）+700 （7）

并定義熱流密度計(jì)算誤差： q=■■q■■-q■■ （8）

其中n為x方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，qm表示理想溫度值，qc表示計(jì)算熱流值。在每個(gè)算例的優(yōu)化過(guò)程中，DE算法中的父代個(gè)體數(shù)為200，最大計(jì)算代數(shù)為1000。溫度場(chǎng)求解的網(wǎng)格數(shù)為。

（二）算法正確性驗(yàn)證。為了驗(yàn)證本文提出的反問(wèn)題求解算法的正確性，設(shè)定在y=0.00923m上均勻分布的51個(gè)點(diǎn)的計(jì)算溫度為測(cè)量溫度，進(jìn)行5次獨(dú)立運(yùn)算，反算熱流密度。5次獨(dú)立運(yùn)算的熱流密度誤差都約等于2.2，證明了該算法的穩(wěn)定性和正確性。

圖6 最優(yōu)溫度變化 圖7 最優(yōu)熱流變化

（三）測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)熱流密度的影響。本節(jié)研究測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目對(duì)反問(wèn)題解的影響，給出了一種確定最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)目的方法，同時(shí)也研究的測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)解的唯一性的影響。

圖8 熱流密度誤差隨測(cè)量點(diǎn)的變化圖 9 最優(yōu)熱流密度隨測(cè)量點(diǎn)的變化

圖8給出了熱流密度誤差隨測(cè)量點(diǎn)數(shù)目的變化，圖9給出了最優(yōu)熱流密度隨測(cè)量點(diǎn)數(shù)目的變化。應(yīng)用本文提出的傳熱反問(wèn)題求解算法，通過(guò)計(jì)算熱流密度誤差隨測(cè)量點(diǎn)數(shù)的變化，可以確定測(cè)量點(diǎn)數(shù)目的最小值，為試驗(yàn)測(cè)量點(diǎn)的敷設(shè)提供參考。

（四）測(cè)量誤差對(duì)熱流密度的影響?？乖胄阅芎头€(wěn)定性是反問(wèn)題研究關(guān)注的重要內(nèi)容之一。為驗(yàn)證其抗噪能力，本文假設(shè)各點(diǎn)溫度的測(cè)量值具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差，測(cè)量點(diǎn)上的目標(biāo)溫度值設(shè)定為在理想溫度值加上隨機(jī)的測(cè)量誤差，即：

Tmi=Tmi+r （9）

其中r是[-σ，σ]之間的隨機(jī)數(shù)。圖10給出了在y=

0.00923m上均勻分布的34個(gè)點(diǎn)的計(jì)算溫度為測(cè)量溫度，分別取0.1，0.5，1.0時(shí)的最優(yōu)溫度分布和最優(yōu)熱流分布。

從圖中可以看出，隨著測(cè)量誤差的增大，反算的熱流密度誤差隨之增大。但在時(shí)求得的熱流密度能基本反映輸入熱流密度的特征，表明該算法有很強(qiáng)的抗噪能力。

四、結(jié)論

1）本文耦合差分進(jìn)化算法和數(shù)值傳熱學(xué)求解方法，發(fā)展了一種新的傳熱學(xué)反問(wèn)題求解方法。以二維對(duì)流換熱反問(wèn)題為例，以理想的計(jì)算溫度為測(cè)量溫度，5次獨(dú)立運(yùn)算均能高精度的反演熱流密度，證明了該算法的正確性和魯棒性。2）考察了測(cè)量點(diǎn)數(shù)目對(duì)反問(wèn)題求解的影響，計(jì)算表明存在一個(gè)最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目大于這個(gè)最小值時(shí)，測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)熱流密度的計(jì)算精度影響不大，但當(dāng)測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目小于這個(gè)最小值時(shí)，熱流密度誤差急劇增加。給出了確定最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)的方法。

3）研究了測(cè)量誤差對(duì)反問(wèn)題解的影響。計(jì)算表明，該算法具有很強(qiáng)的抗噪能力。表明該算法具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和實(shí)用性。

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