彭東林，練俊君，陳錫候，高忠華

(1.重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測技術(shù)與裝備教育部工程中心，重慶 400054;2.時柵傳感器及先進(jìn)檢測技術(shù)重慶市重點實驗室，重慶 400054)

時柵傳感器是基于“時間測量空間”思想設(shè)計的，具有高精度、高穩(wěn)定性的位移傳感器［1－3］，將其作為轉(zhuǎn)臺的測量元件，可構(gòu)成穩(wěn)定性較高的時柵轉(zhuǎn)臺。時柵轉(zhuǎn)臺因具有穩(wěn)定性高、成本低等優(yōu)勢而得到廣泛運用，擁有良好的市場前景。但是，由于安裝結(jié)構(gòu)、使用環(huán)境等因素，轉(zhuǎn)臺的定位精度相比時柵傳感器而言有較大的降低，在很大程度上未能發(fā)揮時柵傳感器精度高的特點。針對這一問題，目前時柵轉(zhuǎn)臺采用FFT技術(shù)進(jìn)行誤差修正，通過大量的標(biāo)定實驗，運用傅里葉級數(shù)對轉(zhuǎn)臺誤差的基次諧波進(jìn)行修正［4－5］。FFT修正取得了不錯的結(jié)果，目前最好的效果能使精度提高到±6角秒，但仍然存在以下問題:從測量數(shù)據(jù)的組成結(jié)構(gòu)來看，測量數(shù)據(jù)包含了標(biāo)準(zhǔn)量、綜合系統(tǒng)誤差和綜合隨機(jī)誤差。以往的修正方法很少考慮隨機(jī)誤差的因素，將分離的誤差基本視為系統(tǒng)誤差，然后進(jìn)行建模修正。從精益求精的角度看，對隨機(jī)誤差的修正是時柵轉(zhuǎn)臺精度提高的重要研究內(nèi)容，隨機(jī)誤差也是FFT修正后殘差中的主要組成部分［6］。

本文為進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)臺的定位精度，改進(jìn)現(xiàn)有的修正方案，考慮隨機(jī)誤差的修正并結(jié)合時柵傳感器的原理，采用時間序列模型對具有相關(guān)性的隨機(jī)誤差進(jìn)行建模修正。時間序列模型是利用“未來是過去規(guī)律的延續(xù)”這一思想，通過大量過去的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后通過有效的模型預(yù)測下一時刻的隨機(jī)誤差，以達(dá)到減小轉(zhuǎn)臺定位的隨機(jī)誤差，從而進(jìn)一步提高時柵轉(zhuǎn)臺精度的目的［7－9］。

1 時柵分度轉(zhuǎn)臺的時間序列誤差修正原理

時柵轉(zhuǎn)臺是可重復(fù)測量的穩(wěn)定系統(tǒng)。從誤差溯源的角度看，其誤差主要是由傳感器的非線性誤差、軸系的回轉(zhuǎn)誤差、齒輪的偏心誤差和溫度等因素引起。從所得測量數(shù)據(jù)的組成上看，數(shù)據(jù)包括了標(biāo)準(zhǔn)值、綜合系統(tǒng)誤差和綜合隨機(jī)誤差［10－11］。采用綜合誤差修正的思想，從測量數(shù)據(jù)中通過分離技術(shù)得到綜合的誤差數(shù)據(jù)，然后采用取平均、中心化等數(shù)據(jù)處理方法可分別得到系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。將系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)分別進(jìn)行建模，并通過模型疊加方式進(jìn)行修正，從而達(dá)到提高轉(zhuǎn)臺定位精度的目的［12－13］。在誤差修正過程中，誤差模型建立是關(guān)鍵，模型是否合適是影響修正結(jié)果好壞的重要因素。本文將時柵傳感器的原理與時間序列模型相結(jié)合，采用時間序列模型建立誤差模型。

時柵傳感器基于“時間測量空間的思想”，利用TST原理建立相對運動雙坐標(biāo)系，將一個坐標(biāo)系上的位置關(guān)系表現(xiàn)為在另一個坐標(biāo)系上的時間差關(guān)系［14］，然后通過測量時間的方式來實現(xiàn)空間的測量。

如圖1所示，三相電流產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場V可作為勻速坐標(biāo)系。圖1中:Pa和Pb分別為動測頭和定測頭，傳感器所測量的角度為Pa與Pb之間的夾角。根據(jù)電磁感應(yīng)原理，旋轉(zhuǎn)磁場相繼掠過動、定測頭就會有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生，對感應(yīng)信號進(jìn)行處理就可以得到如圖2所示的信號圖。在圖2中:Pa為定測頭感應(yīng)出的信號，Pb為定測頭的感應(yīng)信號。當(dāng)轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時，Pa會平移，這時定測頭和動測頭之間的夾角就表現(xiàn)為信號中的相位差θi。通過插入高頻脈沖pt后計脈沖數(shù)的方式可以計算出夾角。推導(dǎo)公式如下:

式(1)中:V為旋轉(zhuǎn)磁場的轉(zhuǎn)速，V=60f/k，f為電源頻率，k為電機(jī)對數(shù);Pt為單位脈沖頻率。

由式(1)可知:時柵傳感器實現(xiàn)了通過測量時間來測量空間的目的。傳感器對于時間的測量主要是通過插入高頻脈沖進(jìn)行計數(shù)的方式來實現(xiàn)。因為時柵傳感器會以某一頻率不斷地給出轉(zhuǎn)臺當(dāng)前的位置信息，由此可以得到具有相關(guān)位置信息的時間序列 {θ(t)，t=0，±1，±2，… }。

圖1 時柵傳感器原理

在誤差分離時運用了插入標(biāo)準(zhǔn)量法進(jìn)行誤差的分離［15］。在時柵給出當(dāng)前位置信息量的同時插入該位置的標(biāo)準(zhǔn)量，然后通過將標(biāo)準(zhǔn)量與時柵傳感器的測量值進(jìn)行比較可得到轉(zhuǎn)臺的綜合誤差。分離得到的綜合誤差含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，其中系統(tǒng)誤差很大程度上決定了誤差數(shù)據(jù)的變化趨勢。

圖2 時柵傳感器動、定測頭信號

將分離后的綜合誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行取平均、中心化等處理，然后運用傅里葉級數(shù)進(jìn)行擬合，將擬合出來的基波和低次諧波作為系統(tǒng)誤差，并把綜合誤差與系統(tǒng)誤差進(jìn)行比較就可以分離出隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差分離過程如圖3所示。圖3中:Θ為時柵傳感器給出的位置信息量;Θ0為標(biāo)準(zhǔn)量;er為分離出來的隨機(jī)誤差。

圖3 隨機(jī)誤差提取

時間序列的誤差修正是利用過去值與現(xiàn)在值有相關(guān)性的特點，通過過去時刻的隨機(jī)誤差序列ert，ert－1，ert－2，…來預(yù)測未來時刻的隨機(jī)誤差 ert+1。因為誤差序列為離散的序列點，如果要得到兩個時刻之間的誤差數(shù)據(jù)，可以通過曲線擬合的方式擬合出隨機(jī)誤差的連續(xù)函數(shù)。如圖4中，實心點為y1，y2，y3時刻插入的標(biāo)準(zhǔn)值，與實心點相對應(yīng)的空心點為該時刻的預(yù)測值。預(yù)測值通過對前期大量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模得到。如果需要得到兩個時刻之間的時刻yk所對應(yīng)的預(yù)測值，可以將采樣點的數(shù)值作為插入值進(jìn)行擬合，通過擬合的模型求出yk時刻的預(yù)測值［16］。

結(jié)合隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差疊加修正的思想可以得到整個時柵分度轉(zhuǎn)臺的修正模型:

其中:Y0(t)為修正后的數(shù)據(jù);Y(t)為時柵傳感器測量數(shù)據(jù);ΔsY(t)為系統(tǒng)誤差，可由傅里葉擬合得到有限次的傅里葉級數(shù)形式:

ΔrY(t)為隨機(jī)誤差，可由時間序列模型擬合。

圖4 隨機(jī)誤差預(yù)測

2 AR(p)時序模型的建立

誤差修正的關(guān)鍵在于誤差模型的建立，本文采用隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差分別修正的思想，將分離后的誤差分別建立系統(tǒng)誤差模型和隨機(jī)誤差模型，然后通過模型疊加的方式進(jìn)行修正。對系統(tǒng)誤差采用傅里葉級數(shù)擬合的方式修正，隨機(jī)誤差采用時間序列模型進(jìn)行擬合。時間序列模型可以很好地擬合出具有相關(guān)性的隨機(jī)誤差。本文針對時柵轉(zhuǎn)臺誤差的特點，通過實驗分析，采用AR(p)模型進(jìn)行擬合，通過擬合的AR(p)模型來預(yù)測下一時刻的隨機(jī)誤差，達(dá)到誤差修正的目的。

對于隨機(jī)序列 {X( t)，t=0，±1，±2，… }，有數(shù)學(xué)模型:

模型中 φp≠0，保證最高階數(shù)為 p，其中:{εt}是均值為零的白噪聲 WN(0，σ2);{φ1，φ2，…，φp}是模型的參數(shù)。從模型可以看出，當(dāng)前時刻的值與過去p個時刻的值和當(dāng)前時刻的隨機(jī)干擾有關(guān)，因此可以通過模型的遞推公式預(yù)測未來的值。

模型中的參數(shù)估計是整個模型建立的關(guān)鍵［17］。下面對模型中的參數(shù)估計進(jìn)行介紹。將所有的時間序列零均值處理后，通過式(4)計算出樣本子相關(guān)系數(shù)。

系數(shù) ρ1，ρ2，…，ρp和φ1，φ2，…，φp滿足 Yule-Wolker方程，如下所示:

3 實驗研究

圖5為時柵轉(zhuǎn)臺的誤差修正平臺。運用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動時柵轉(zhuǎn)臺勻速運動，同時時柵傳感器將發(fā)出帶有位置信息的時間序列。每次時柵傳感器發(fā)出信號的同時，光柵也發(fā)出相應(yīng)的位置信號作為標(biāo)準(zhǔn)信號，然后將時柵和光柵信號同時送入計算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

實驗研究將結(jié)合上述的實驗平臺，對轉(zhuǎn)臺進(jìn)行整周離散采樣，采樣規(guī)格為對時柵傳感器的一個對極(5°)進(jìn)行240個點的采樣，即每隔0.021°對光柵傳感器和時柵傳感器進(jìn)行一次采樣。圖6(a)為一對極采樣中光柵數(shù)據(jù)和時柵數(shù)據(jù)的差值，可視為該實驗轉(zhuǎn)臺的綜合誤差。從圖6(a)中數(shù)據(jù)可以看出，其最大誤差達(dá)到了90角秒。根據(jù)本文前述，運用傅里葉級數(shù)對系統(tǒng)誤差進(jìn)行擬合。本實驗轉(zhuǎn)臺采用8次傅里葉級數(shù)進(jìn)行擬合，圖6(b)中曲線為系統(tǒng)誤差擬合的曲線。將擬合模型視為該轉(zhuǎn)臺的系統(tǒng)誤差模型，然后與綜合誤差數(shù)據(jù)做比較可得到綜合隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。如圖6(c)所示，可見該轉(zhuǎn)臺的隨機(jī)誤差達(dá)到±6角秒，對于隨機(jī)誤差的修正是本文研究的重點。

隨機(jī)誤差采用AR模型進(jìn)行擬合，通過對實驗轉(zhuǎn)臺的大量研究發(fā)現(xiàn)，采用6階AR模型具有較好的擬合效果。圖7中‘ ’為隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)的實際測量值，通過對前50個數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得到合適的AR模型，該模型的擬合曲線在圖中用‘ ’表示。從圖7可以看出其擬合程度較好，能達(dá)到47.41%。

圖5 實驗平臺

圖6 誤差分析

圖8為整個誤差修正之后的結(jié)果。通過傅里葉級數(shù)對系統(tǒng)誤差的修正和AR模型對隨機(jī)誤差的修正，從圖8可知轉(zhuǎn)臺的精度有了較大的提高，由原來的最大90角秒減少到±3角秒。

圖7 隨機(jī)誤差預(yù)測

圖8 修正結(jié)果

4 結(jié)論

本文結(jié)合時間序列與時柵傳感器原理之間的關(guān)系，將時間序列模型運用到時柵轉(zhuǎn)臺誤差修正中。通過時柵傳感器在單位周期內(nèi)給出的具有轉(zhuǎn)臺位置信息的時間序列進(jìn)行建模，預(yù)測出下一時刻的誤差值，然后通過誤差修正模型提高轉(zhuǎn)臺的定位精度。通過本文的研究可以得到以下的結(jié)論:

1)通過實驗研究，對比圖6(a)中的最大90角秒的誤差和圖8中的±3角秒誤差可知:對于時柵轉(zhuǎn)臺，采用系統(tǒng)誤差模型和隨機(jī)誤差模型疊加的方式進(jìn)行修正可以取得較好的修正效果。

2)在隨機(jī)誤差修正模型中，本文采用時間序列AR模型，并通過大量實驗研究得到較好的AR模型，證明了時間序列模型可以很好地運用到時柵轉(zhuǎn)臺的隨機(jī)誤差修正中。

3)除了通過改善時柵轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)的方式來提高時柵轉(zhuǎn)臺的精度外，增強(qiáng)時柵轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使其成為可重復(fù)測量的穩(wěn)定系統(tǒng)，然后運用本文方法也可以很好地提高轉(zhuǎn)臺精度。該方法為提高時柵轉(zhuǎn)臺精度提供了另一種設(shè)計思路。

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