王 彬

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川，內(nèi)江 641112)

0 引言

1929 年，B.Knaster，C.Kurnatoaski和S.Mazurkiewicz[1]在 n-維單形上證明了著名的KKM定理。KKM定理在非線性領(lǐng)域的研究中有著重要的應(yīng)用。1961年，Ky Fan[2]將KKM定理推廣到了無限維拓?fù)湎蛄靠臻g中并給出了 F-KKM 引理。 1968年，Browder[3]在KKM型定理的基礎(chǔ)上建立了與集值映射相關(guān)的不動點(diǎn)定理，與集值映射相關(guān)的不動點(diǎn)定理在極大極小問題、截口問題以及社會經(jīng)濟(jì)平衡等問題中有著廣泛的應(yīng)用[4-11]。直到現(xiàn)在，對和KKM定理相關(guān)的非線性分析的研究成為數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)發(fā)展很快的一個領(lǐng)域。許多學(xué)者針對KKM引理中的凸性條件在不同結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g中（如：H-空間[12]、G-凸空間[13]、L-凸空間[14]和FC-空間[15]）對 KKM 定理及其應(yīng)用的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。其中這些拓?fù)淇臻g都以前面的空間為特例，即G-凸空間以H-空間為特例；L-凸空間以H-空間和G-凸空間為特例，而FC-空間以H-空間、G-凸空間以及L-凸空間為特例。FC-空間要求從單形到拓?fù)淇臻g存在一個連續(xù)映射。2011年，王彬[16]提出了具有性質(zhì)(H)的無任何凸性和線性的拓?fù)淇臻g，該空間削弱了FC-空間要求從單形到拓?fù)淇臻g存在一個連續(xù)映射為單形到拓?fù)淇臻g存在一個下半連續(xù)映射。本文利用具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g中的一個新的KKM型定理，在具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g中給出了匹配定理、極大元定理、不動點(diǎn)定理以及抽象經(jīng)濟(jì)的平衡存在定理。

1 預(yù)備知識

設(shè)X和Y是兩個非空的集合，我們用〈X〉表示非空集合X的一切非空有限子集的簇；用2Y表示非空集合Y的所有子集的簇，對每個N∈〈X〉，表示N的基數(shù)，Δn表示以e0，e1,··,en為頂點(diǎn)的n維單形，用ΔJ表示頂點(diǎn){ej:j∈J}的凸包，其中J為{0,1,···,n}的非空子集[11]。

我們記 C (X,Y)為從X到Y(jié)上的單值連續(xù)映射的集合。

定義1.1[16]稱一個拓?fù)淇臻gY具有性質(zhì)(H):若對每一個 N = { y0, y1, ··,yn} ∈〈Y 〉，均存在一個下半連續(xù)映射 φN:

定義 1.2[16]設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g，D是X的子集，稱D是關(guān)于X的弱FC-子空間，若 對 任 意 N = { x0,x1, ··,xn}∈〈X 〉和 每 一{ xi0,xi1, ···,xik}? N ∩ D ，有ψN( Δk) ? N ∩ D 。

定義 1.3[16]設(shè)X是一非空集合，Y是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g。稱映射 T : X → 2Y是廣義R-KKM 映射，如果對任意 { x0,x1,···,xn}∈〈X〉，都 存 在 A = { y0,y1,··,yn}∈ 〈Y〉使 得 對 任 意{i0, i1, ···,ik} ? { 0,1,···,n }有)。

引理 1.1[16]設(shè)X是非空集合，Y是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g， G : X → 2Y是一個閉值廣義R-KKM 映射，則對任意 { x0,x1,··,xn}∈〈X〉，有(xi) ≠φ。

引理 1.2[16]設(shè)X是非空集合，Y是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g， T : X → 2Y是一個閉值廣義R-KKM 映射，如果存在 M∈〈X〉 ，使得∩x∈MT(x) 是Y的緊子集，則

引理1.3[17]設(shè)X和Y是拓?fù)淇臻g，S : X →2Y是非空集值映射，則下列條件等價：

(a) S有局部交性質(zhì)；

(b) 對每一 y∈Y，存在X的開集Oy(可能是空的) 使得 O ? S-1(y)且 X =；y

(c)存在映射 T : X →2Y使得對每一x∈X，T(x) ? S(x) 且1(y)；

(e) S-1是轉(zhuǎn)移開值的。

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g，D是X的非空子集，Y是拓?fù)淇臻g，S:D → 2Y{?} 是集值映射，且滿足條件：

(1) S是開值的；

(2) 存在x0∈D使得Y S(x0)是緊的；

(3) S (D ) = Y 。

則對每一 f ∈ C (X,Y )存在 N = { x0, x1, ··,xn}∈〈D〉和( Δn) 使得(xi)。

證明 假設(shè)結(jié)論不成立，則存在一 f ∈C(X,Y )使得對每一 N = { x0, x1, ··,xn} ∈〈D〉， f(ψN( Δn))?Y。定義映射 G :D → 2 為 G (x) = Y S(x)，?x∈D。則

定義映射 F :D → 2X為 F (x) = ( f-1G)(x)，則ψN( Δn) ? (xi)。因此，F(xiàn)是廣義R-KKM 映射。

由(1)和 f的連續(xù)性，F(xiàn)是閉的。由(2) 和f的連續(xù)性，存在 x0∈D 使得 F(x0)是緊的。

由引理1.2， 可得

由此可得 S (D ) = ∪x∈DS(x) ≠Y ，這與條件(3)矛盾。

定理 2.2 設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g，D是X的非空子集，Y是拓?fù)淇臻g，G :{?} ，H :是集值映射，且滿足條件：

(1)G是開值的；

(2)G(D ) = Y ；

(3)存在 x0∈D使得YG(x0)是緊的；

(4)對每一x∈D，G(x)?H(x)；

(5)對每一y∈Y，H-1(y)是弱FC-子空間。則對每一 f∈ C (X,Y )，存在X使得。

證明 由條件 (1)，(2)和(3)，根據(jù)定理2.1得，對每一 f ∈ C (X,Y )存在 N = { x0, x1, ··,xn}∈〈D 〉和( Δn)使得 。

定理2.3 設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g，集值映射 H :{?} 滿足條件：

(1)對每一x∈X，H(x)是弱FC-子空間；

(3)H滿足引理1.3 (a)-(e) 條件中的一個。則H在X中有不動點(diǎn)。

證明 用 ( X,X,X,H-1)代替定理 2.2中的(X,D,Y,H ) ，并定義映射 T:為T(x) = int H-1(x)，?x∈X，則對每一x∈X，

X T(x) ? H-1(x) 且T是開值的。

此外，由條件 (3) 得 X = T (X)。不失一般性，假設(shè)對每一x∈X，T(x)≠? 。

又由條件 (1) ， (2) 和 f = IX，則由定理2.2得，存在X使得)，即)。

利用定理2.3的結(jié)果，可以得到一極大元存在定理。

定理 2.4 設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g，集值映射 H : X → 2X{?} 滿足條件：

(1) 對每一x∈X，H(x)=?或 H(x)是弱FC-子空間；

(2)存在x∈X 使得 X H-1()是緊的；0

(3)H滿足引理1.3 (a)-(e) 條件中的一個；

(4)對每一x∈X，x?H(x)。則存在 x*∈ X 使得 H (x*)=?。

證明 若對任意的x∈X，H(x)=?，則結(jié)論顯然成立。

假設(shè)對任意的x∈X，H(x)≠?。則由條件(1)、(2)和(3)知滿足定理2.3的條件，由定理2.3得，存在X使得，這與條件(4)矛盾。所以存在 x*∈ X 使得 H (x*)=?。

作為定理2.3的應(yīng)用，在具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻g中獲得了對抽象經(jīng)濟(jì)和定性對策的平衡點(diǎn)存在定理。

設(shè)I是一個指標(biāo)集， Γ = ( Xi; Ai, Bi; Pi)i∈I是一個有序四元組 (Xi; Ai, Bi; Pi)的族，其中對每一i∈I，Xi是非空拓?fù)淇臻g (策略集)，Xj→2Xi是約束映射，Pi: X → 2Xi是選擇映射。一個點(diǎn)x稱為抽象經(jīng)濟(jì)的平衡點(diǎn)，若對每一i∈I，且。

定理 2.5設(shè)X是具有性質(zhì)(H)的拓?fù)淇臻gA,B : X → 2X是兩個約束映射， P : X → 2X是一個選擇映射， Γ = ( X;A,B;P)是一個抽象經(jīng)濟(jì)和F : = { x ∈ X :(A ∩ P)(x) = ?}滿足條件：

(1)對每一x∈F，B(x)弱FC-子空間；

(2)對每一 x ∈ X F，(A ∩P)(x)弱FC-子空間；

(4)存 在 x0∈ X 使 得 X ((A-1()∩ P-1())∪(F∩B-1()))是緊的；

(5)對每一x ∈ X ，x?( A∩P )(x)。則Γ在X中有平衡點(diǎn)。

證明 定義集值映射 T : X → 2X如下

則由條件(1)和(2)，對每一xX∈，()Tx弱FC-子空間。由條件(3)，T滿足引理1.3 (a)-(e) 條件中的一個。注意到對每一yX∈，

由條件(4) ，存在 x0∈ X 使得 Y T-1(x0)是緊的。由定理 2.3，存在使得)。但根據(jù)條件(5)。從而即，則(A ∩)=?。因此是抽象經(jīng)濟(jì)Γ在X中的平衡點(diǎn)。

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