姜忻良 溫 新

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土-結(jié)構(gòu)體系的混合約束模態(tài)法在ANSYS中實(shí)施研究1

姜忻良 溫 新

（天津大學(xué)建筑工程學(xué)院/濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)），天津 300072）

為了使提出的線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法能在商業(yè)軟件中得到應(yīng)用，本文對(duì)該方法在ANSYS軟件中的運(yùn)用進(jìn)行了研究。對(duì)ANSYS中的超單元進(jìn)行了深入分析，將線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法線性部分的處理作為超單元生成的過程，并根據(jù)基于勢(shì)能判據(jù)的截?cái)嗄B(tài)準(zhǔn)則，運(yùn)用Matlab自編了程序，求得子結(jié)構(gòu)的截取主模態(tài)數(shù)，對(duì)存在局部非線性的土-高層框架結(jié)構(gòu)相互作用進(jìn)行了地震反應(yīng)分析；進(jìn)而對(duì)采用粘彈性人工邊界與自由邊界狀況進(jìn)行了比較，討論分析了兩種土體邊界對(duì)線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法自由度縮減的影響。

土-結(jié)構(gòu)相互作用 混合約束模態(tài)法 線性-非線性 超單元

引言

我國(guó)處于地震多發(fā)區(qū)，自2008年汶川地震以來(lái)，結(jié)構(gòu)的抗震問題越來(lái)越受到工程界的高度關(guān)注。在抗震研究的初期，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到建筑物的震害與地基條件密切相關(guān)（呂西林，2007），因此在高層建筑的抗震分析和設(shè)計(jì)過程中十分有必要考慮土-結(jié)構(gòu)的相互作用問題（林皋，1993）。在現(xiàn)有計(jì)算方法中，動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法具有降低體系自由度、提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間的優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用到土-結(jié)構(gòu)相互作用的分析實(shí)踐中。由于動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法是在振型疊加的基礎(chǔ)上建立的（白建方等，2008），故其在非線性結(jié)構(gòu)的應(yīng)用中受到了一定的限制。然而在土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的分析中，人們往往會(huì)截取大范圍的土體來(lái)模擬土體的半空間無(wú)限性，研究表明，地震作用下僅僅在結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)周圍的土體發(fā)生塑性變形，進(jìn)入非線性階段，而離結(jié)構(gòu)較遠(yuǎn)的土體一直處于線性階段，對(duì)于此類存在局部非線性體系的研究，采用常規(guī)有限元方法進(jìn)行整體非線性分析時(shí)存在計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，計(jì)算成本較高的問題。

針對(duì)此問題，姜忻良等（2010）提出了線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法理論。該方法在考慮土體的非線性特性的同時(shí)，能夠極大程度的縮減整體體系的自由度，降低計(jì)算成本，為土-結(jié)構(gòu)相互作用的研究提供了新的思路。為了使這一理論與方法得到廣泛應(yīng)用，本文以土-高層框架相互作用體系為研究對(duì)象，將線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法理論運(yùn)用到ANSYS大型通用軟件的實(shí)踐中，并在此基礎(chǔ)上研究了粘彈性土體邊界對(duì)線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的影響。

1 線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法

在許多實(shí)際工程中，整體結(jié)構(gòu)在荷載作用下，并非全部構(gòu)件都進(jìn)入非線性階段，而是僅僅在某些位置才出現(xiàn)非線性特征，這說(shuō)明結(jié)構(gòu)存在局部塑性區(qū)域的特點(diǎn)。而土與結(jié)構(gòu)相互作用問題就是一個(gè)典型的例子，在地震響應(yīng)分析中，僅僅與上部結(jié)構(gòu)鄰近的地基土區(qū)域會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變，出現(xiàn)非線性特征，而遠(yuǎn)離上部結(jié)構(gòu)的地基土區(qū)域在整個(gè)加載過程中卻始終處于線性階段。線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法就是根據(jù)結(jié)構(gòu)體系的這一特點(diǎn)，將體系劃分為若干線性子結(jié)構(gòu)和非線性子結(jié)構(gòu)，然后運(yùn)用約束模態(tài)綜合法對(duì)線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由度縮減，而對(duì)非線性子結(jié)構(gòu)不作縮減，通過邊界節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件和力協(xié)調(diào)條件與線性子結(jié)構(gòu)組成整體非線性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。下面以土-結(jié)構(gòu)相互作用體系為例進(jìn)行分析。

對(duì)于圖1（a）所示的土-結(jié)構(gòu)體系，將在整個(gè)加載過程中一直保持線性特性部分的土體分別劃分為線性子結(jié)構(gòu)α、β、γ、δ，將結(jié)構(gòu)周圍進(jìn)入非線性狀態(tài)的部分土體、地下室和框架結(jié)構(gòu)獨(dú)立劃分為非線性子結(jié)構(gòu)ω。

對(duì)于線性子結(jié)構(gòu)，以子結(jié)構(gòu)為例，來(lái)說(shuō)明子結(jié)構(gòu)自由度的縮減過程。根據(jù)約束模態(tài)綜合法（Craig等，1968），線性子結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由約束模態(tài)位移和固定對(duì)接主模態(tài)位移兩部分組成。同時(shí)將線性子結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊，如圖2所示，未編號(hào)節(jié)點(diǎn)為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，編號(hào)1—16的節(jié)點(diǎn)為邊界節(jié)點(diǎn)，則子結(jié)構(gòu)的位移向量根據(jù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（用下標(biāo)表示）和邊界節(jié)點(diǎn)（用下標(biāo)表示）可分塊表示為：

其中，q為Ritz基，是結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)系，為結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)變換矩陣，其表達(dá)式為：

（2）

其中，是子結(jié)構(gòu)截取前階主模態(tài)獲得的，是子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)矩陣。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，、分別為子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度、荷載矩陣。

將式（3）按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊處理可寫為：

將式（1）代入式（4），且方程兩側(cè)均左乘T（的轉(zhuǎn)置），可得到線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程為：

（5）

同理，可得到線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程，表達(dá)式與式（5）相同，只需改變上角標(biāo)。

對(duì)于非線性子結(jié)構(gòu)，不做自由度的縮減，將其運(yùn)動(dòng)方程按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的形式分塊表示為：

如圖1（a）所示，非線性子結(jié)構(gòu)的邊界同時(shí)與線性子結(jié)構(gòu)耦合，其位移與力的協(xié)調(diào)條件極為復(fù)雜，應(yīng)采用如下協(xié)調(diào)條件：

（7）

其中，上角標(biāo)表示該向量所屬的子結(jié)構(gòu)名稱，帶括號(hào)的下標(biāo)表示與該子結(jié)構(gòu)邊界耦合的子結(jié)構(gòu)名稱。結(jié)合式（5）—（7），根據(jù)力協(xié)調(diào)與位移協(xié)調(diào)條件，形成整體體系的運(yùn)動(dòng)方程：

（8）

采用合適的非線性方程求解方法對(duì)式（8）進(jìn)行求解，可得到線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的位移解和非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的位移解，最后通過一次坐標(biāo)變換，即可得到線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的位移解。

2 高層框架結(jié)構(gòu)與地基相互作用的地震分析

由上述理論可知，線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法是約束模態(tài)綜合法的推廣，故其應(yīng)用也是以約束模態(tài)綜合法的應(yīng)用為基礎(chǔ)的。下面以圖1所示的土-結(jié)構(gòu)體系為例，給出線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法在ANSYS軟件中的應(yīng)用。

在圖1（a）中，土體區(qū)域的邊界沿結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)邊界兩側(cè)各取120m（5倍的基礎(chǔ)寬度），則總寬度為264m，深度取72m。研究表明，塑性土體區(qū)域一般僅在基礎(chǔ)附近區(qū)域，為保險(xiǎn)起見，其高度取20.6m，寬度取120m，各土層厚度1—5以及地質(zhì)參數(shù)見表1。地基最下層土體為理論基巖，視為固定端。本文選用了足夠大范圍的土體，故土體側(cè)向邊界采用自由邊界。由圖1（b）可知，框架結(jié)構(gòu)每跨跨度為4.8m，層高為3m，箱型基礎(chǔ)的空間做成地下室，地下室層高為3.3m，樓板厚度為0.5m。柱子的截面尺寸為800mm×800mm，梁的截面尺寸為250mm×600mm，框架結(jié)構(gòu)和地下室均為鋼筋混凝土材料。將體系按照?qǐng)D1（a）所示劃分為5部分，除了結(jié)構(gòu)為非線性子結(jié)構(gòu)外，結(jié)構(gòu)均為線性子結(jié)構(gòu)。

表1 地基地質(zhì)參數(shù)

2.1 線性子結(jié)構(gòu)模型的建立

子結(jié)構(gòu)法在ANSYS軟件中的應(yīng)用是將線性子結(jié)構(gòu)凝聚為一個(gè)單元的過程（王新敏，2007），此單元在ANSYS中稱為超單元。故線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法對(duì)線性部分的處理也是超單元生成的過程。下面以線性子結(jié)構(gòu)為例說(shuō)明超單元的生成過程。

按照常規(guī)方法建立子結(jié)構(gòu)的有限元模型，將超單元與其它單元連接的邊界節(jié)點(diǎn)定義為主自由度。為了使縮減后的子結(jié)構(gòu)能保證其精度，確定截取子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)數(shù)的取值，本文根據(jù)基于勢(shì)能判據(jù)的截?cái)嗄B(tài)準(zhǔn)則（姜忻良等，2011）的原理，運(yùn)用Matlab計(jì)算軟件自編了程序，求得如圖3所示的勢(shì)能隨著截取主模態(tài)數(shù)的變化曲線，根據(jù)變化曲線進(jìn)而確定為79。最后求解生成超單元，提取動(dòng)力特性矩陣。用同樣的方法，還可得到子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性矩陣。

2.2 建立整體體系

按照常規(guī)方法建立非線性子結(jié)構(gòu)ω的有限元模型，并導(dǎo)入各個(gè)線性子結(jié)構(gòu)生成的超單元，耦合主自由度，連接各個(gè)超單元以及超單元與非超單元，形成整體體系。

2.3 施加荷載并求解

根據(jù)地質(zhì)情況和《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50011-2010）》（中華人民共和國(guó)建設(shè)部，2010）選取適合該類場(chǎng)地土的天津波、EI-Centro波（南北向）以及Traft波，調(diào)整其地震波加速度峰值為3.10m/s2。如圖4所示。在地面（即箱型基礎(chǔ)頂部）輸入地震波進(jìn)行地震時(shí)程響應(yīng)分析，并用Newmark-法進(jìn)行求解，最終得到線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的解和非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的解。

將所得到的各個(gè)線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的位移解通過超單元的擴(kuò)展過程即可得到其在物理坐標(biāo)下的位移解，從而得到整個(gè)體系的位移解。

2.4 結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法所得結(jié)果的可靠度，同時(shí)采用了整體有限元法（網(wǎng)格劃分相同）進(jìn)行了計(jì)算，以下給出兩種計(jì)算方法所得部分結(jié)果（見圖5）。

表2、表3中max、max、max分別為結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)A點(diǎn)的位移、速度、加速度的最大值，max、max分別為柱子B處剪力、彎矩的最大值。

表2 頂點(diǎn)A的Umax、Vmax、Amax

表3 柱子B的Fmax、Mmax

由圖5可知在天津波作用下兩種計(jì)算方法所得框架A點(diǎn)的位移、速度、加速度時(shí)程曲線吻合良好。由表2、表3的數(shù)據(jù)可知，兩種不同計(jì)算方法所得結(jié)果中，A點(diǎn)地震響應(yīng)和B柱內(nèi)力最大值的相差均在5%以內(nèi)，表明在ANSYS分析軟件中運(yùn)用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法和整體有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震分析吻合良好。采用本文方法建模的自由度數(shù)為2173，與采用整體有限元方法建模的自由度數(shù)5294相比減少了59%，由此可見線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法，在進(jìn)行土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中能大幅度縮減體系自由度，節(jié)約計(jì)算時(shí)間，降低計(jì)算成本，并且可以在ANSYS分析軟件中實(shí)現(xiàn)。

3 粘彈性土體邊界對(duì)混合約束模態(tài)綜合法的影響

在以上分析中，由于土體區(qū)域取得相當(dāng)大，故土體邊界選為自由邊界，為考察土體邊界條件取法對(duì)線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的適用性以及對(duì)自由度縮減的影響，本文將土體邊界考慮為粘彈性人工邊界，即在土體邊界施加一組彈簧-阻尼器。由于粘彈性邊界能很好地模擬土體在地震反應(yīng)中對(duì)地震波能量的吸收和土體的恢復(fù)性能，能夠通過較小范圍的土體模擬半空間無(wú)限土體（劉晶波等，2007），故本例題中結(jié)構(gòu)邊界到土體邊界的長(zhǎng)度為96m（4倍的基礎(chǔ)寬度）。

采用粘彈性人工邊界后，涉及到邊界的子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程會(huì)有所改變，現(xiàn)以線性子結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行推導(dǎo)。

在子結(jié)構(gòu)左邊設(shè)置粘彈性邊界后，子結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)由圖2的兩部分變?yōu)閳D6所示的三部分：編號(hào)1—4為粘彈性邊界節(jié)點(diǎn)；編號(hào)5—19為連接節(jié)點(diǎn)；未編號(hào)的節(jié)點(diǎn)為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。則子結(jié)構(gòu)的位移按內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（用下標(biāo)表示）、連接節(jié)點(diǎn)（用下標(biāo)表示）和粘彈性人工邊界節(jié)點(diǎn)（用下標(biāo)表示）分塊表示為：

（9）

其中轉(zhuǎn)換矩陣也由三部分組成：

子結(jié)構(gòu)α的運(yùn)動(dòng)方程式（3）也分塊表示為：

（11）

將式(12)代入式(11)，整理得：

（13）

將式(10)代入式(13)，并且在等式左右兩端均左乘T，得到子結(jié)構(gòu)經(jīng)過坐標(biāo)變換的動(dòng)力方程為：

同理，可得到其他與粘彈性人工邊界相連的子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的動(dòng)力方程，根據(jù)各個(gè)子結(jié)構(gòu)之間邊界節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)和力協(xié)調(diào)條件裝配成整體體系的動(dòng)力方程，然后進(jìn)行求解。

現(xiàn)僅給出天津波作用下的結(jié)果，并與采用自由邊界體系的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

表4 兩種邊界條件的計(jì)算結(jié)果的比較

表5 兩種邊界條件下子結(jié)構(gòu)截取的主模態(tài)數(shù)

由圖7和表4可以看出，兩種邊界條件下的計(jì)算結(jié)果幾乎相等，表明運(yùn)用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合對(duì)體系進(jìn)行地震分析時(shí)，采用自由邊界和粘彈性人工邊界計(jì)算時(shí)具有相同的精度。由表5可以看出，兩種邊界條件下線性子結(jié)構(gòu)所截取的主模態(tài)數(shù)相差不大，且采用粘彈性人工邊界體系的總自由度數(shù)比采用自由邊界體系的僅少了0.6%，這是因?yàn)樽咏Y(jié)構(gòu)的邊界節(jié)點(diǎn)不能縮減，采用粘彈性人工邊界的體系中邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多，在一定程度上增加了整體體系的自由度數(shù)。眾所周知，有限元整體法中人工邊界的設(shè)置是減小有限元模型規(guī)模的有效方法，而在線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法中，其效果卻不明顯，應(yīng)綜合考慮子結(jié)構(gòu)邊界節(jié)點(diǎn)的增加與截取的主模態(tài)數(shù)兩者的關(guān)系。

4 結(jié)論

本文對(duì)線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法在ANSYS軟件中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，對(duì)存在局部非線性的土-高層框架結(jié)構(gòu)相互作用進(jìn)行了地震反應(yīng)分析，得到如下結(jié)論：

（1）線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法能解決體系中局部非線性問題，尤其適合解決土-結(jié)構(gòu)相互作用土體中出現(xiàn)的局部非線性問題。

（2）將線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法線性部分的處理作為ANSYS中超單元生成的過程，并根據(jù)基于勢(shì)能判據(jù)的截?cái)嗄B(tài)準(zhǔn)則，應(yīng)用Matlab計(jì)算軟件自編了程序，求得子結(jié)構(gòu)的截取主模態(tài)數(shù)，得到的結(jié)果滿足精度要求。

（3）采用線性-非線性混合約束模態(tài)綜合法與整體有限元方法相比能有效縮減體系的自由度，而采用不同人工邊界對(duì)混合約束模態(tài)綜合法效果則不明顯，應(yīng)綜合考慮子結(jié)構(gòu)邊界節(jié)點(diǎn)的增加與截取的主模態(tài)數(shù)兩者的關(guān)系。

白建方，樓夢(mèng)麟，2008．基于動(dòng)力子結(jié)構(gòu)方法的場(chǎng)地地震反應(yīng)分析方法．震災(zāi)防御技術(shù)，3（2）：145—154．

姜忻良，王菲，2010．線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法及實(shí)踐. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，43（5）：385—391．

姜忻良，王菲，2011．基于勢(shì)能判據(jù)的約束模態(tài)綜合法截?cái)鄿?zhǔn)則. 振動(dòng)與沖擊，30（2）：32—38．

呂西林，2007．復(fù)雜高層建筑結(jié)構(gòu)抗震理論與應(yīng)用．北京：科學(xué)出版社.

林皋，1993．土-結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)高層建筑非線性地震反應(yīng)的影響．土木程學(xué)報(bào)，26（4）：1—13．

劉晶波，杜義欣，閆秋實(shí)，2007．粘彈性人工邊界及地震動(dòng)輸入在通用有限元軟件中的實(shí)現(xiàn)．防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào)，27（增刊）：37—42．

王新敏，2007．ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析．北京：人民交通出版社．

中華人民共和國(guó)建設(shè)部，2010．建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50011-2010）．北京：中國(guó)計(jì)劃出版社．

Craig R.R.Jr，Bampton M．C．C，1968．Coupling of Structures for Dynamic Analyses．AAIA Journal，6（7）：1313—1319.

Application Research of the Mixed Constrained Mode Synthesis Method of Soil - Structure System in ANSYS

Jiang Xinliang and Wen Xin

(School of Civil Engineering, Tianjin University／Key Laboratory of Coastal Civil Engineering Structure and Safety (Tianjin University), Ministry of Education, Tianjin 300072, China)

In order to research the applicability of the mixed linear-nonlinear constrained mode synthesis method in commercial software, this contribution presents this method in ANYSYS software. The super element in ANSYS is analyzed, and the linear part of the mixed linear-nonlinear constrained mode synthesis method is processed as generation process of super element. In order to capture the cut main modal number in the substructure, the program of Matlab is compiled according to the mode cut-off criterion based on potential energy criterion. And seismic analysis of soil-high-rise frame structure interaction that exist local nonlinear is carried. The comparison of structure with the viscoelastic artificial boundary and structure with free boundary condition is conducted. The discussion on the influence of the two kinds of soil boundary to the reduced freedom degrees of the mixed linear-nonlinear constrained mode synthesis method is proposed.

Soil-structure interaction; The mixed constrained mode method; Linear-nonlinear; Super element

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178308)，國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278335)

2015-02-03

姜忻良，男，生于1951年。博士，教授。從事結(jié)構(gòu)－地基相互作用地震反應(yīng)分析。E-mail：jiangxinliang@126.com