人非圣賢，孰能無過？曬曬錯解，防患于未然.讓我們從平面向量與復數(shù)中的錯解中汲取教訓，走向成功.

一、曬曬平面向量應用中的錯解

1.忽略共線向量致誤

例1 已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的長度.

錯解：易知a、b、c皆為非零向量，設a、b、c所成的角均為θ，則3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，故|a+b+c|=3.

剖析：本例誤以為a、b、c皆為非共線向量，而當向量a、b、c共線且同向時，所成的角也相等均為0°，符合題意.

正解：（1）當向量a、b、c共線且同向時，所成的角均為0°，所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；

（2）當向量a、b、c不共線時，同錯解.

綜上所述，向量a+b+c的長度為6或3.

2.忽視兩向量夾角的意義致誤

例2 正△ABC的邊長為1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.

錯解：由于正△ABC的邊長為1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，

所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6.

剖析：本題誤以為a與b的夾角為∠BCA.事實上，兩向量的夾角應為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段之間的夾角，范圍是[0°，180°]，因此，a與b的夾角應為180°-∠BCA.

正解1：作CD=BC，a與b的夾角即BC與CA的夾角為180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0.

正解2：∵a+b+c=BC+CA+AB=0，

∴|a+b+c|=0.

3.忽視等價條件致誤

例3 已知a=（1，3），b=（2，λ），設a與b的夾角為θ，要使θ為銳角，求λ的取值范圍.

錯解：因為θ為銳角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只需a·b>0，即1·2+3·λ>0，即λ>-23.

剖析：本題誤以為兩非零向量a與b的夾角為銳角的等價條件是a·b>0，事實上，兩向量的夾角θ∈[0，π]，當θ=0時，有cosθ=1>0，對于非零向量a與b仍有a·b>0，因此，a·b>0與兩非零向量a與b的夾角為銳角不等價.即有如下結論：兩非零向量a與b的夾角為銳角的充要條件是a·b>0且a不平行于b.

正解：由θ為銳角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2+3·λ>0，即λ>-23；若a平行b則1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b則或θ=π，與θ為銳角相矛盾，所以λ≠6.

綜上，λ>-23且λ≠6.

4.忽視向量的特性致誤

例4 已知a、b都是非零向量，且向量a+3b與7a-5b垂直，向量a-4b與7a-2b垂直，求向量a與b的夾角.

錯解：由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0（a-4b）·（7a-2b）=0，

即7a2+16a·b-15b2=07a2-30a·b+8b2=0，兩式相減得46a·b-23b2=0，即b（2a-b）=0，所以，b=0（不合題意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a與b同向，故向量a與b的夾角為0°.

剖析：本題誤用實數(shù)的性質(zhì)，即實數(shù)a、b若滿足ab=0則必有a=0或b=0，但對于向量a、b，若滿足a·b=0則不一定有a=0或b=0，因為由a·b=|a|·|b|cosθ知與θ有關，當θ=90°時，a·b=0恒成立，此時a、b均可以不為0.

正解：由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a2|=12.

二、曬曬復數(shù)中的錯解

1.將“實數(shù)的相關公式”遷移到復數(shù)中而致誤

例5 在復數(shù)范圍內(nèi)，方程x2-5|x|+6=0的解的個數(shù)為.

錯解：由x2-5|x|+6=0，得（|x|-2）（|x|-3）=0，

那么，|x|=2或|x|=3，從而x=±2或x=±3，故答案為4.

剖析：在實數(shù)中我們經(jīng)常用到x2=|x|2，有時因為這種代換而產(chǎn)生巧解，但在復數(shù)中它是不成立的.

正解：設x=a+bi（a，b∈R），那么原方程即為（a+bi）2-5a2+b2+6=0，

得a2-b2-5a2+b2+6=0，2ab=0，故a=±2，b=0或a=±3，b=0或a=0，b=±1.

所以正確答案為6.

例6 （1-i1+i）5的化簡結果是.

錯解：由（1-i1+i）5=[（1-i1+i）4]54=[（1-i）4（1+i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1，故答案為1.

剖析：在實數(shù)集中，對任意x∈R（m，n∈R），有xmn=（xm）n；而在復數(shù)集中，僅對m，n∈N*有xmn=（xm）n.此錯解盲目的將實數(shù)集中的指數(shù)運算的法則直接推廣到了復數(shù)集.

正解：（1-i1+i）5=（1-i1+i）4·1-i1+i

=（1-i）4（1+i）4·（1-i）（1+i）（1+i）（1+i）=（-2i）2（2i）2·22i

=-i2i=-i，

故正確答案為-i.

2.忽視復數(shù)相等的條件致誤

例7 解關于x的方程x2-5x+6+（x-2）i=0.

錯解：由復數(shù)相等的定義得：

x2-5x+6=0x-2=0x=2或x=3x=2x=2.

分析：a+bi=c+dia=c，b=d，上式必須是在a、b、c、d∈R為前提的，本題并未告訴x是否為實數(shù).

正解：原方程變形為

x2-（5-i）x+6-2i=0，

則Δ=（5-i）2-4（6-2i）=（1-i）2.

由一元二次方程求根公式得：

x1=（5-i）+（1-i）2=3-i，

x2=（5-i）-（1-i）2=2，

∴原方程的解為x=3-i或x=2.

3.忽視使用判別式的條件致誤

例8 關于x的方程x2+（2a-i）x-ai+1=0有實根，求實數(shù)a的范圍.

錯解：∵方程有實根，

∴Δ=（2a-i）2-4（1-ai）=4a2-5≥0，

得a≥52或a≤-52即為所求.

剖析：判別式Δ只能用來判定實系數(shù)一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的虛實，而該方程式中2a-i與1-ai并非實數(shù).

正解：設x0是其實根，代入原方程變形為

x20+2ax0+1-（a+x0）i=0，

由復數(shù)相等的定義有

x20+2ax0+1=0x0+a=0a=±1.

4.忽視虛根共軛成對出現(xiàn)的條件致誤

例9 已知x2+kx-i=0有一個根是i，求另一個根及k的值.

錯解：根據(jù)一元n次方程虛根成對原理，i是其一根，則i的共軛虛數(shù)-i必是其另一根，由韋達定理有i+（-i）=k，∴k=0.

剖析：雖然韋達定理對復系數(shù)一元n次方程仍成立，但只有實系數(shù)一元n次方程的虛根才成對共軛出現(xiàn)，本題系數(shù)并非實數(shù).

正解：因i是其根，代入原方程i2+ki-i=0，由此得k=1-i，設x0是另一根，則由韋達定理得x0i=-i，從而得x0=-1.

（作者：張新艷，太倉市明德高級中學）