向量與三角將數(shù)和形緊密的結合在一起.近幾年高考中，向量經常與三角函數(shù)進行綜合，常以解答題的形式出現(xiàn)，題目新穎，考查向量與三角函數(shù)的綜合應用，值得同學們注意.以向量為背景，化歸為三角函數(shù)題這類題目出現(xiàn)的頻率較高，題目難度中等，經?？疾榈闹R點有向量的平行與垂直、向量的數(shù)量積、線性運算結合三角形中的邊角關系進行求解.本文用實例說明如何解決向量與三角的綜合應用問題，以期對同學們有所幫助.

一、向量與三角函數(shù)求值綜合

例1 已知向量m=（3sinx4，1），n=（cosx4，cos2x4）.m·n=1，求cos（2π3-x）的值.

分析：由向量數(shù)量積的運算轉化成三角函數(shù)式，化簡求值.

解：（1）m·n=3sinx4cosx4+cos2x4

=32sinx2+1+cosx22=sin（x2+π6）+12，

∵m·n=1，∴sin（x2+π6）=12.

cos（x+π3）=1-2sin2（x2+π6）=12，

cos（2π3-x）=-cos（x+π3）=-12.

變式訓練：已知角A，B，C是△ABC三邊a，b，c所對的角，m=（-cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），a=23，且m·n=12.

（1）若△ABC的面積S=3，求b+c的值；

（2）求b+c的取值范圍.

解法一：（1）由m=（-cosA2，sinA2），

n=（cosA2，sinA2），且m·n=12，

得-cos2A2+sin2A2=12，∴cosA2=12.

又∵A∈（0，π），∴A=2π3.

因為S△ABC=12bcsinA=3，所以bc=4.

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos2π3=b2+c2+bc.

所以16=（b+c）2，即b+c=4.

（2）由正弦定理得

bsinB=csinC=asinA=23sin2π3=4.

且B+C=π3，

所以b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（π3-B）=4sin（B+π3）.

因為0

所以32

故b+c的取值范圍是（23，4].

解法二：由解法一

a2=b2+c2+bc=（b+c）2-bc，

∴（b+c）2-12=bc≤（b+c2）2，

∴b+c≤4，

又∵b+c>23，

∴23

二、向量與三角函數(shù)的最值（范圍）綜合

例2 設向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.

（1）若a與b-2c垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|b+c|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求證：a∥b.

解題思路：（1）利用向量的垂直關系，將向量間的關系轉化成三角函數(shù)式，化簡求值；（2）根據向量模的定義，將求模問題轉化為求三角函數(shù)的最值問題；（3）轉化成證明與向量平行等價的三角函數(shù)式.

解：（1）由a與b-2c垂直，得a·（b-2c）=0，

即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，

∴tan（α+β）=2.

（2）|b+c|2=（b+c）2=b2+c2+2b·c

=sin2β+16cos2β+cos2β+16sin2β+2（sinβcosβ-16sinβcosβ）

=17-30sinβcosβ

=17-15sin2β，最大值為32.

所以|b+c|的最大值為42.

（3）證明：由tanαtanβ=16，

得sinαsinβ=16cosαcosβ.

即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，故a∥b.

例3 已知向量α=（3sinωx，cosωx），β=（cosωx，cosωx），記函數(shù)f（x）=α·β，已知f（x）的周期為π.

（1）求正數(shù)ω的值；

（2）當x表示△ABC的內角B的度數(shù)，且△ABC三內角A、B、C滿sin2B=sinA·sinC，試求f（x）的值域.

解：（1）f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx

=32sin2ωx+1+cos2ωx2

=sin（2ωx+π6）+12，

因T=π=2π2ω得ω=1.

（2）由（1）得f（x）=sin（2x+π6）+12，

由sin2B=sinA·sinC，得b2=ac，

又b2=a2+c2-2accosB，∴cosB=a2+c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，

∴0

三、向量與解三角形綜合

例4 設點O是△ABC的三邊中垂線的交點，且AC2-2AC+AB2=0，則BC·AO的范圍是.

分析：本題考查向量的運算，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

取BC的中點D，

則BC·AO=BC·（AD+DO）=BC·AD=（AC-AB）·12（AB+AC）=12（b2-c2），

又由已知知：b2-2b+c2=0，得c2=-b2+2b，且0

∴BC·AO=b2-b=（b-12）2-14∈[-14，2），即BC·AO的范圍是[-14，2）.

變式訓練：已知三角形ABC中，AB=6，AC=4，O是三角形的外心，求AO·BC的值.

解：取BC的中點M，連接AM，則

AO·BC=（AM+MO）·BC=AM·BC=12（AB+AC）·（AC-AB）=12（AC2-AB2）=-10.

例5 已知a、b是兩個不共線的向量，且a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）.

（1）求證：a+b與a-b垂直；

（2）若α∈（-π4，π4），β=π4，且|a+b|=165，求sinα.

解：（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），

∴|a|=|b|=1，

又∵（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0，

∴（a+b）⊥（a-b）.

（2）|a+b|2=（a+b）2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2a·b=165，∴a·b=35，

又a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=35，

∴cos（α-β）=35，

∵α∈（-π4，π4），∴-π2<α-β<0，

∴sin（α-β）=-45，

sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）·cosβ+cos（α-β）·sinβ

=-45×22+35×22=-210.

四、向量與三角函數(shù)的圖象與性質綜合

例6 設a=（3sinx，cosx），b=（cosx，cosx），記f（x）=a·b.

（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）試用“五點法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期內的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

（3）若x∈[-π6，π3]時，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）的最大值并指出x取何值時，函數(shù)g（x）取得最大值.

解：（1）∵f（x）=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+1+cos2x2=sin（2x+π6）+12，

∴函數(shù)f（x）的周期T=2π2=π.

（2）列表

x-π12π6512π23π1112π

2x+π60π2π32π2π

y123212-1212

描點連線得函數(shù)f（x）在一個周期內的簡圖為

將函數(shù)y=sinx的圖象依次進行下列變換：

①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移π6，得到函數(shù)y=sin（x+π6）的圖象；

②把函數(shù)y=sin（x+π6）的圖象上各點橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=sin（2x+π6）的圖象；

③把函數(shù)y=sin（2x+π6）的圖象圖象向上平移12個單位，得到函數(shù)y=sin（2x+π6）+12的圖象.

注：平移方法不止一種

（3）∵-π6≤x≤π3，∴-π6≤2x+π6≤5π6，

∴-12≤sin（2x+π6）≤1.當且僅當x=-π6時，sin（2x+π2）=-12，

此時，函數(shù)f（x）=sin（2x+π6）+12取得最小值0，g（x）=f（x）+m取最小值2.

即-12+12+m=2，解得m=2，

所以，函數(shù)g（x）=sin（2x+π6）+52，當x=π6時，取得最大值72，

即g（x）max=72.

通過以上實例我們可以看到解向量與三角的綜合應用常用方法是：（1）將向量間的關系轉化成三角關系式；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）求三角函數(shù)式的值或分析三角函數(shù)式的性質；（4）明確結論；（5）反思回顧，查看關鍵點、易錯點和規(guī)范解答.要防范的錯誤是：（1）化簡向量的相關運算時一定要看清楚向量的起點和終點，弄清向量夾角與三角形的哪個內角有聯(lián)系；（2）要根據合適的三角恒等變換選擇恰當?shù)那竽７绞?，不要避簡就繁；?）將向量的關系轉化成三角形中的邊角關系時要注意方向.

（作者：陳紅梅，如皋市薛窯中學）