趙登步，白瑞林，沈程慧，李 新

(1.江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122;2.無錫信捷電氣股份有限公司，江蘇 無錫 214072)

1 概述

隨著機器人在各個領域對作業(yè)精度和工作效率需求的不斷提高，要求機器人能夠快速準確地完成作業(yè)，即機器人在作業(yè)時既要保證運動軌跡平滑、精準，又要保證運動時間最短，需采用合理的方法對機器人的運動軌跡進行規(guī)劃。對于軌跡為點對點(Point-to-Point，PTP)運動形式的機器人運動軌跡，只需要規(guī)劃機器人關節(jié)空間軌跡。這種機器人運動軌跡主要用在電子行業(yè)(如電子類的IC 點焊、元器件貼片、分揀裝箱等操作)，用于兩點之間的抓放動作。

若機器人運動軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導致機器人運動過程中出現(xiàn)振動現(xiàn)象［1］，這將嚴重影響執(zhí)行器的使用壽命，增大機器人軌跡跟蹤誤差，降低跟蹤精度［2］。為此一些研究學者提出采用多項式［3-5］或B 樣條曲線［6-8］插值關節(jié)空間軌跡以獲得連續(xù)、平滑的軌跡。軌跡時間最優(yōu)對提高生產(chǎn)效率具有重大的意義。對此很多方法是在滿足機器人運動學、動力學約束條件下，通過優(yōu)化算法(遺傳算法［4］、二次規(guī)劃方法［6］、信賴域方法［8］、動態(tài)規(guī)劃算法［9］、特里亞金最小值原理［10］)尋優(yōu)時間節(jié)點，使總的運行時間最少，以獲得時間最優(yōu)軌跡。然而這些方法復雜度大，計算時間長，尤其當曲線的階次越高時，計算量越大，這將嚴重影響機器人的實時性。因此，需要研究算法復雜度小、計算簡單的軌跡算法來規(guī)劃PTP 軌跡。

由于SCARA 機器人執(zhí)行器采用伺服驅動器驅動伺服電機，伺服驅動器一般采用速度控制模式，直接輸入速度曲線，因此可以從速度曲線角度規(guī)劃出最優(yōu)時間軌跡。根據(jù)速度越大時間越短這一特點，通常選擇梯形速度曲線［11］作為時間最優(yōu)軌跡，梯形速度曲線具有公式簡單、計算量小的優(yōu)點［12］，但這種曲線會導致加速度突變和力矩不連續(xù)［13］，使機器人運行時出現(xiàn)震動現(xiàn)象。為解決加速度突變不連續(xù)問題采用S 形速度曲線［14-16］，然而S 形速度曲線算法的表達式是分段形式，方程的形式難以確定;且可能產(chǎn)生無理方程或高次方程，難以在微處理器中求解，并且S 形速度曲線具有加加速度曲線不連續(xù)的缺點［17-18］。

針對以上研究內容的不足，本文提出一種基于時間延時的指數(shù)函數(shù)速度軌跡規(guī)劃方法，此方法規(guī)劃出的速度曲線具有和S 形曲線相同的速度輪廓，不僅擁有連續(xù)的速度、加速度和加加速度曲線，可以產(chǎn)生平滑的軌跡，而且公式簡單、計算量小;軌跡規(guī)劃時只需要確定2 個參數(shù):時間增益α 和延遲時間Td，即可確定規(guī)劃的軌跡。

2 指數(shù)函數(shù)原理

定義指數(shù)函數(shù)的表達式為:

其中，u=αt;νmax表示軌跡的最大速度;α 表示時間增益參數(shù);t 表示時間。其曲線圖形如圖1 所示。

圖1 指數(shù)函數(shù)曲線

其表達式分別如下所示:

一階導數(shù)和二階導數(shù)曲線圖形分別如圖2 和圖3所示。

圖2 指數(shù)函數(shù)一階導數(shù)曲線

圖3 指數(shù)函數(shù)二階導數(shù)曲線

從圖1 中可以看出α 取值越大，指數(shù)函數(shù)曲線越抖，這說明曲線加速度越大。圖2 和圖3 顯示出曲線的一階導數(shù)和二階導數(shù)均連續(xù)，即加速度曲線和加加速度曲線將均會連續(xù)和平滑。這為選擇指數(shù)函數(shù)作為速度規(guī)劃曲線奠定基礎，因為其可以產(chǎn)生連續(xù)平滑的加速度和加加速度曲線。

3 指數(shù)函數(shù)時間增益

為了保證軌跡規(guī)劃的曲線最大值不超過執(zhí)行器的最大約束范圍。需要研究指數(shù)函數(shù)的最大值。令指數(shù)函數(shù)曲線f(t)的二階導數(shù)和三階導數(shù)都等于0，可知其一階導數(shù)和二階導數(shù)取最大值時的時刻為:

因此，當給定執(zhí)行器的最大限制條件為Vmax，Amax，Jmax時，為了達到在滿足約束條件情況下運動最快的目的，時間增益α 取值為:

4 指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法

針對PTP 運動軌跡，梯形速度曲線產(chǎn)生的軌跡是時間最優(yōu)的，因其采用最大加速度和速度來產(chǎn)生最快的運動。圖4 顯示出其運動位移(m)、速度(m/s)和加速度(m2/s)曲線。圖中運行位移為1 m，梯形曲線最大速度為1 m/s，最大加速度為2 m/s2。由圖4 可以看出梯形速度曲線的加速度曲線是不連續(xù)的，在0.5 s 時刻產(chǎn)生了從0 到最大值的突變現(xiàn)象。這在現(xiàn)實中是不允許的，因為會使執(zhí)行器出現(xiàn)振動現(xiàn)象，降低軌跡跟蹤精度和執(zhí)行器的使用壽命。

圖4 梯形速度規(guī)劃曲線

如果采用S 形速度曲線規(guī)劃相同的位移將產(chǎn)生梯形加速度曲線，這將解決加速度突變的問題。然而，S 形速度曲線需要一定的時間來達到最大加速度的值，整個運動過程相比梯形速度曲線會稍微慢一點。圖5 顯示出S 形速度曲線的位移、速度和加速度曲線。從圖中可以看出，S 形速度曲線產(chǎn)生的速度軌跡近似于梯形速度曲線的速度軌跡，可以認為其產(chǎn)生的軌跡是近似時間最優(yōu)的。圖中沒有顯示出S 形速度曲線加加速度曲線，其加加速度曲線是階躍形不連續(xù)的，在執(zhí)行器高速運動時將影響其性能。

圖5 S 形速度規(guī)劃曲線

為了解決加加速度不連續(xù)的問題，產(chǎn)生更好的時間最優(yōu)曲線，本文結合指數(shù)函數(shù)的特點，定義速度曲線公式為:

其速度曲線如圖6 所示。

圖6 指數(shù)函數(shù)速度曲線

圖中t=0～Td為第1 段指數(shù)曲線，Td到Ts為第2 段指數(shù)曲線，第1 段減去第2 段構成整條速度曲線。由圖6 可以看出，此速度曲線輪廓和S 形速度曲線輪廓類似，可以認為產(chǎn)生的軌跡也是近似時間最優(yōu)的。

已知速度求位移可以通過積分的方式獲得，積分時間為0～Td，但此處指數(shù)函數(shù)的積分并不容易，加上速度曲線是由2 段指數(shù)函數(shù)構成的，這增加了積分的難度。從圖中看出，整段速度曲線包括的面積由A1，A2和A3組成，整個位移值可以表示成A1+A2+A3，而A1+A2+A3的值為Vmax·Td的值，所以位移為:

定義穩(wěn)定時間為達到最大速度值的99.9%。則:

所以總的運行時間為:

整個軌跡規(guī)劃流程如圖7 所示。

圖7 指數(shù)函數(shù)規(guī)劃流程

5 實驗仿真

本文實驗仿真對象是SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)機器人，如圖8 所示。

圖8 SCARA 機器人

SCARA 機器人連桿參數(shù)分別為L1為350 mm，L2為250 mm，d3=100 mm。初始空間位置為(600 mm，0 mm，-100 mm，0°)，目標空間位置(-60 mm，388 mm，-350 mm，240°)?，F(xiàn)要從初始位置運動到目標位置，經(jīng)逆解可得SCARA 機器人各關節(jié)需要運動位移如表1 所示。

表1 SCARA 機器人各關節(jié)運動位移

機器人4 個關節(jié)機械物理限制條件如表2所示。

表2 SCARA 機器人物理約束條件

由推導公式可知時間增益為:

為方便計算，這里取時間增益為整數(shù)，即αmax=4。

由式(9)得Td1=0.5 s，Td2=0.625 s，Td3=0.39 s，Td4=0.8 s。

因此，4 個關節(jié)指數(shù)函數(shù)速度曲線分別為:

為方便說明本文所設計的軌跡規(guī)劃方法的有效性，采用S 形速度曲線規(guī)劃方法作對比分析。S 形速度曲線的詳細設計過程請參考文獻［16］。

4 個關節(jié)運動時間對比分析如表3 所示。仿真結果如圖9～圖12 所示。

表3 4 個關節(jié)運動總時間 s

圖9 第1 關節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖10 第2 關節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖11 第3 關節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖12 第4 關節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

通過以上4 個關節(jié)的時間對比可以看出，在各關節(jié)不同約束條件下，S 形速度曲線規(guī)劃比指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃用時短，兩者時間相差近似為固定值0.15 s，可以認為指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法和S形速度曲線規(guī)劃方法運行時間接近，這種規(guī)劃方法也是近似時間最優(yōu)的。圖13 給出指數(shù)函數(shù)曲線最后末端位移運動曲線，由此可知末端可以運動到給定目標點并且誤差很小。從4 個關節(jié)圖中的加速度曲線和加加速度曲線對比可以得出，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃出的曲線明顯要比S 形速度曲線平滑;S 形速度曲線規(guī)劃方法其加加速度曲線會出現(xiàn)突變，而指數(shù)函數(shù)速度規(guī)劃方法的加加速度曲線是連續(xù)平滑的。除此之外，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃方法計算量小、公式簡單，只需要控制2 個參數(shù):增益α 和延時Td，即可確定規(guī)劃的軌跡;而S形速度曲線的表達式是分段函數(shù)形式的，需要先計算各分段時間點和根據(jù)總的運動位移判斷曲線由幾段組成，計算量大，公式相對復雜［16］。因此，綜合兩者的性能比較可以確定，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法比S 形速度曲線規(guī)劃方法更有優(yōu)勢。

圖13 末端位移曲線

6 結束語

在高速輕載機器人運動過程中，如果機器人運動軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導致機器人運動過程中出現(xiàn)振動現(xiàn)象，這將嚴重影響機器人的使用壽命和對位精度。本文為此提出基于指數(shù)函數(shù)的速度軌跡規(guī)劃方法，曲線輪廓和S 形速度曲線相似，但是加加速度卻是連續(xù)、平滑的，而且本文方法和S 形曲線規(guī)劃方法相比，具有公式簡單、計算量小的優(yōu)點，只需要控制2 個參數(shù):時間增益α 和延時Td，即可確定規(guī)劃軌跡。為了提高軌跡規(guī)劃運算速度，可以離線計算3 次指數(shù)函數(shù)的運算，制作成一張表格供在線規(guī)劃時查表。本文方法是針對SCARA 機器人的PTP 運動軌跡，不適用于需要規(guī)劃連續(xù)運動軌跡的笛卡爾空間，因此，下一步的研究是將此方法擴展到笛卡爾空間連續(xù)運動軌跡中。

［1］Rivera G，Troncoso J R.Extending Tool-life Through Jerklimited Motion Dynamics in Machining Processes:An Experimental Study［J］.Journal of Scientific ＆ Industrial Research，2010，69:919-925.

［2］Piazzi A，Visioli A.Global Minimum-jerk Trajectory Planning of Robot Manipulators［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2000，47(1):140-149.

［3］Rubio F J，Valero F J.Simultaneous Algorithm to Solve the Trajectory Planning Problem［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44(10):1910-1922.

［4］李東結，邱江艷，尤 波.一種機器人軌跡規(guī)劃的優(yōu)化算法［J］.電機與控制學報，2009，13(1):123-127.

［5］Gasparetto A，Zanotto V.A New Method for Smooth Trajectory Planning of Robot Manipulators ［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42(4):455-471.

［6］朱世強，劉松國.機械手時間最優(yōu)脈動連續(xù)軌跡規(guī)劃算法［J］.機械工程學報，2010，46(3):47-52.

［7］劉松國.具有運動時間約束的機械手最優(yōu)平滑軌跡規(guī)劃［J］.電機與控制學報，2009，13(6):897-902.

［8］肖文皓，白瑞林.基于信賴域算法的機械臂時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2013，32(6):77-80.

［9］Janssens P，Pipeleers G，Swevers J.Energy-optimal Time Allocation of a Series of Point-to-Point Motions［C］//Proceedings of the 13th International Workshop on Research and Education in Mechatronics.Washington D.C.，USA:IEEE Press，2012:27-31.

［10］Kong Minxiu.Optimal Point-to-Point Motion Planning of Heavy-Duty IndustryRobot with Indirect Method［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.Washington D.C.，USA:IEEE Press，2013:768-773.

［11］Ding Han，Wu Jianhua.Point-to-Point Motion Control for a High-acceleration Positioning Table via Cascaded Learning Schemes［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2007，54(5):2735-2744.

［12］朱 明，游有鵬，何 均.S 形加減速算法前瞻處理研究［J］.小型微型計算機系統(tǒng)，2011，32(10):2140-2144.

［13］Haschke R.On-line Planning of Time Optimal，Jerklimited Trajectories［C］//Proceedings of International Conference on Intelligent Robots and Systems.Washington D.C.，USA:IEEE Press，2008:3248-3253.

［14］Mu Haihua，Zhou Yunfei，Yan Sijie，et al.Third-order Trajectory Planning for High Accuracy Point-to-Point Motion［J］.Frontiers of Electrical and Electronic Engineering in China，2009，4(1):83-87.

［15］Zou Fengshan，Qu Daokui，Xu Fang.Asymmetric S-curve Trajectory Planning for Robot Point-to-point Motion［C］//Proceedings of IEEE International Con-ference on Robotics and Biomimetics.Washington D.C.，USA:IEEE Press，2009:2172-2176.

［16］何 均，游有鵬，陳 浩.S 形加減速的嵌套式前瞻快速算法［J］.航空學報，2010，31(4):842-851.

［17］Ye Peiqing，Shi Chuan，Yang Kaiming，et al.Interpolation of Continuous Micro Line Segment Trajectories Based on Look-ahead Algorithm in High-speed Machining［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，37(9/10):881-897.

［18］Janssens P，van Loock W，Pipeleers G，et al.An Efficient Algorithm for Solving Time-optimal Point-to-Point Motion Control Problems ［C］//Proceedings of Inter-national Conference on Mechatronics.Washington D.C.，USA:IEEE Press，2013:682-687.