郝紅轉(zhuǎn)，張維強

(深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 深圳 518060)

0 引言

圖像邊緣是圖像最基本的特征，包含著有價值的目標(biāo)邊界信息，是圖像的像素值發(fā)生突變的地方，邊緣檢測對圖像識別、特征提取、圖像分割和圖像增強等有著重要的意義。在工程應(yīng)用中，對目標(biāo)特征提取和特征分析要求既能對目標(biāo)精確定位又能夠很好地抗噪，因此很多研究者熱衷于對邊緣檢測算法的研究，以此來滿足工程中的需求［1］。

文獻［2］中詳細介紹了傳統(tǒng)的邊緣檢測算子有:Roberts 算子、Sobel 算子、Prewitt 算子、Laplace 算子和Canny 算子等，但傳統(tǒng)的邊緣檢測算子對圖像邊緣的檢測效果并不理想，處理圖像時一般采用的步驟是平滑去噪和邊緣檢測，在平滑去噪時增加了邊緣定位的不確定性，在邊緣檢測時又因提高了檢測算子對邊緣的敏感性，其抗噪性減弱，因此傳統(tǒng)的邊緣檢測算子對抑制噪聲和邊緣的精確定位無法同時滿足。

小波變換［3-5］具有多尺度分析的特點，通過選取合適的濾波器，能夠減小或去除所提取的不同特征之間的相關(guān)性，從而有效地從圖像中提取目標(biāo)信息，可以較好地抑制噪聲，但是在抑制噪聲的同時也丟失了部分的細節(jié)信息，使邊緣出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象。因此本文采用小波變換提取圖像邊緣Edge，然后對得到的邊緣圖像作雙閾值處理，其中文獻［6-8］等對雙閾值中高閾值的選取一般都只是采用人為設(shè)定的方法，而本文根據(jù)圖像大小和像素點像素給出具體公式來確定高閾值，從而閾值處理得到2 個圖像G1 和G2，再在G1 的基礎(chǔ)上，以G2 作為補充圖像來連接圖像的邊緣，進而得到濾除噪聲后又能精確定位的邊緣圖像。

1 改進的小波變換梯度算法

小波變換的多尺度特性使得圖像的邊緣信息在每個尺度中都存在，尺度越低，邊緣信息越多，但對噪聲越敏感;尺度越大，邊緣信息越穩(wěn)定，抗噪性越好，但定位精確度不高。為保證閾值處理前的邊緣圖像含有較多的邊緣信息，只對原始圖像進行一次二維小波變換。

二維平滑函數(shù)θ(x，y)，令:

二維信號f(x，y)的平滑是通過在不同尺度n 上與θn(x，y)作卷積來實現(xiàn)［9-12］，表示為:

定義二維小波函數(shù)ψ1(x，y)和ψ2(x，y):

設(shè)f(x，y)∈L2(R2)，則一次二維小波變換包含2個方向的分量:

容易證得:

二維信號f(x，y)經(jīng)過一次二維小波變換的梯度模值為Mf(x，y):

本文定義:

在工程應(yīng)用中，為了快速簡單計算，可取同位置梯度分量的最大值作為該點的模值即上式(6)，因為本文所采用局部模極大值邊緣檢測和閾值結(jié)合算法屬于雙層去噪和去偽，為防止過多的細節(jié)信息丟失，可適當(dāng)?shù)剡x取較小的模值，又根據(jù)向量的2-范數(shù)大于等于∞-范數(shù)的性質(zhì)，此處用∞-范數(shù)代替2-范數(shù)。

記小波變換相角為Af(x，y):

若像素點(x，y)的模值Mf(x，y)大于等于沿梯度方向Af(x，y)兩個相鄰像素點的模值，則判定該點為可能的邊緣點。此時梯度方向可取8 個方向［13］，實際計算中可用4 個方向:0°(180°)方向、90°(270°)方向、45°(225°)方向、135°(315°)方向。

2 改進的閾值方法檢測和連接邊緣

本文采用的閾值方法是首先對小波變換得到的模局部極大值邊緣圖像Edge 進行閾值T 處理得到圖像G1，其中Edge 經(jīng)過歸一化，Edge 中像素點值屬于［0，1］。

令:

其中，α 選取0.0001 ±β(0 ≤β ＜0.00005)，使得T∈(0，1)，X×Y 表示圖像的大小。

對于α 的取值，以分別添加椒鹽噪聲和高斯白噪聲的Rice 圖像為例，比較本文算法中α 取0.000 2、0.000 15、0.000 1、0.000 05 時的圖像效果，實驗圖如圖1 和圖2 所示。

圖1 加椒鹽噪聲時，α 不同取值對結(jié)果的影響

圖2 加高斯白噪聲時，α 不同取值對結(jié)果的影響

根據(jù)圖1 和圖2 可見，α 取大于0.000 1 的0.000 2和0.000 15 時，高閾值取值過大，噪聲雖完全去除，但同時保留的圖像邊緣信息不完整，提取出的圖像邊緣不連續(xù);α 取小于0.000 1 的0.000 05 時，高閾值過小，使得噪聲不能完全去除而產(chǎn)生部分偽邊緣;至于α 取小于0.000 05 時，噪聲影響更大，此處不予說明。綜上，無論是添加椒鹽噪聲還是添加高斯白噪聲，本算法α 取0.000 1 ±β 時效果最優(yōu)，其中β∈［0，0.000 5)。

取:

同時對邊緣圖像Edge 取閾值T'，其中T' ＜T，根據(jù)反復(fù)實驗，取時效果較好，取:

一般來說，圖像Edge 中如果像素點(x，y)的灰度值Edge(x，y)∈［0，1］，因為閾值T'較低，所以保留較多細節(jié)信息，但是噪聲也較多;因為閾值T 較高，所以噪聲較少，但也損失了部分邊緣信息;如果像素點的梯度值T'≤Edge ≤T，則此像素點可記為準(zhǔn)像素點，因此以G1 為基礎(chǔ)，以G2 為補充，來連接圖像的邊緣。

連接邊緣圖像［14］時，先掃描G1，假定灰度像素點E 為一個非零值，則跟蹤以點E 為開始點的輪廓線直到該輪廓線的終點F，在G2 中，考察與G1 中E點位置對應(yīng)的點E'的24 個鄰域，如果在點E'的24個鄰域中有非零像素F'存在，則將其包括到G1 中，作為點H，從H 開始繼續(xù)尋找G2 中相對位置鄰域的非零像素點，由此下去直到無法繼續(xù)為止。當(dāng)包含點E 的輪廓線的連接結(jié)束時，將其標(biāo)記，回到開始，尋找下一條輪廓線，重復(fù)進行直到G1 中再也找不到新的輪廓線為止。

3 算法步驟

通過以上的分析，給出結(jié)合小波變換和閾值方法的具體步驟:

1)添加椒鹽噪聲(也可以添加其它類型噪聲)到原始圖像，得到加噪圖像f(x，y);

2)對加噪圖像f(x，y)進行一次二維小波變換，根據(jù)式(6)和式(7)生成Mf(x，y)和Af(x，y);

3)通過檢測沿相角4 個方向的小波變換模的局部極大值點得到可能的邊緣圖像Edge;

4)對邊緣圖像Edge 取閾值T 和T'，得到2 個邊緣圖像G1(T)和G2(T');

5)以G1 為基礎(chǔ)，以G2 為補充來連接圖像邊緣。

算法流程見圖3。

圖3 算法流程圖

4 實驗結(jié)果及分析

分別以256 ×256 的Rice、Cameraman 圖像添加方差為0.05 的椒鹽噪聲和方差為0.2 的高斯白噪聲為例進行實驗，對本文所提出的算法進行驗證，取α=0.0001，，其他傳統(tǒng)算法都是先均值濾波預(yù)處理，之后利用算子處理得到的圖像邊緣，這里選取3 ×3 和4 ×4 的窗口模板，以便比較。邊緣檢測結(jié)果如圖4～圖7 所示。

4.1 對原圖像加方差為0.05 的椒鹽噪聲

圖4 Rice 圖像(加0.05 椒鹽噪聲)

圖5 4 ×4 均值濾波的Rice 圖像

圖6 Cameraman 圖像(加0.05 椒鹽噪聲)

圖7 4 ×4 均值濾波的Cameraman 圖像

圖4～圖7 都是對Rice、Cameraman 原圖像加方差為0.05 的椒鹽噪聲，根據(jù)圖4 和圖6 可知，對于Rice 圖像來說，傳統(tǒng)算法中首先利用3 ×3 窗口均值濾波處理的Canny 算法較好，但Canny 算法處理Cameraman 含噪圖像時效果卻較差，見表2。文獻［14］算法結(jié)果線條較粗，不能清晰地提取出圖像邊緣，表1 及表2 中亦顯示其MSE 較大，PSNR 較小。

均值濾波器是對椒鹽噪聲處理效果比較突出的一種常見濾波方法，因此，此處另選擇4 ×4 窗口濾波以作比較，根據(jù)圖5 和圖7 可知，濾波窗口越大，信息越少，邊緣連續(xù)性越弱，另5 ×5 窗口濾波效果更不如4 ×4 窗口濾波，不再作圖說明。

表1 和表2 分別是對加椒鹽噪聲的Rice 圖像和Cameraman 圖像定量分析去噪效果，以傳統(tǒng)Canny 算子提取原圖像邊緣為標(biāo)準(zhǔn)。

表1 加椒鹽噪聲的Rice 圖像去噪效果比較

表2 加椒鹽噪聲的Cameraman 圖像去噪效果比較

4.2 對原圖像加方差為0.2 的高斯白噪聲

圖8 Rice 圖像(加0.2 高斯白噪聲)

表3 加高斯白噪聲的Rice 圖像去噪效果比較

表4 加高斯白噪聲的Cameraman 圖像去噪效果比較

圖9 Cameraman 圖像(加0.2 高斯白噪聲)

圖8 和圖9 是分別對Rice 圖像和Cameraman 圖像添加方差為0.2 的高斯白噪聲，傳統(tǒng)算法中依然是先利用3 ×3 窗口均值濾波去噪再處理圖像，根據(jù)圖像可知，對于含高斯白噪聲的圖像，傳統(tǒng)算法的去噪效果不穩(wěn)定，如圖8(g)3 ×3 窗口均值濾波后利用Canny 算子處理效果良好，得到的圖像邊緣亦為單像素寬，表3 中亦顯示MSE 較小，PSNR 較大。但圖9(g)中對于Cameraman 圖像，去噪效果較弱，圖9(e)算法對于去除高斯白噪聲效果良好，圖像邊緣較連續(xù)，但對于同樣算法的圖8(e)，提取的邊緣信息卻較少，使得圖像邊緣不連續(xù)，因此傳統(tǒng)算法的通用性一般。文獻［14］中結(jié)合Canny 算子和形態(tài)學(xué)提出的算法能夠很好地去除噪聲的影響，邊緣較連續(xù)，但因為雙閾值的人為設(shè)定導(dǎo)致邊緣信息不足，不能得到完整的邊緣圖像。本文算法去噪效果良好，邊緣定位亦為單像素寬，能夠較好地提取出圖像邊緣信息，優(yōu)于傳統(tǒng)的檢測算法。

5 結(jié)束語

本文針對含噪圖像邊緣檢測中噪聲去除和邊緣細節(jié)保留的問題，提出了一種基于小波變換的含噪圖像邊緣檢測算法，采用小波變換能夠分離連續(xù)的邊緣信息和不連續(xù)的噪聲信息的性質(zhì)，對圖像進行小波變換，從而求出圖像邊緣，然后利用新的閾值方法對邊緣圖像作用，最后連接圖像。實驗結(jié)果表明本算法能很好地抑制噪聲，而且較好地保留了邊緣細節(jié)，去除了偽邊緣，檢測效果良好。

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