常錦才，齊雅靜，祝弘揚(yáng)

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

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高階Hermite插值的金字塔算法

常錦才，齊雅靜，祝弘揚(yáng)

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

Hermite插值；Neville-Aitken算法；基函數(shù)

用Neville-Aitken方法構(gòu)造算法金字塔，推導(dǎo)在x0,x1上帶有二階導(dǎo)數(shù)信息的Hermite 插值公式，進(jìn)一步獲得一般的高階Hermite插值公式，并將該算法應(yīng)用于數(shù)值算例中。算例給出了3個(gè)點(diǎn)上的信息，分兩段計(jì)算、畫圖，并將兩端拼接起來，圖形表明在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處仍保持一定光滑性。

0引言

Hermite插值是函數(shù)逼近理論中的一個(gè)重要研究方向，用它來處理以節(jié)點(diǎn)函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值為插值條件的多項(xiàng)式構(gòu)造問題。Hermite插值作為顯式算法，簡(jiǎn)單且收斂性、穩(wěn)定性好，分段處理時(shí)具有局部性，即如果要修改某個(gè)數(shù)據(jù)，插值曲線僅僅在某個(gè)局部范圍內(nèi)受到影響，而代數(shù)多項(xiàng)式插值卻會(huì)影響到整個(gè)插值區(qū)間，因此對(duì)Hermite插值多項(xiàng)式的研究就顯得猶有意義。

雖然對(duì)于一般的Hermite插值基函數(shù)很難找到一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式[1]，但是對(duì)于一些特殊情形的插值多項(xiàng)式已有不少好的算法設(shè)計(jì)。比如，在所有節(jié)點(diǎn)上具有一階導(dǎo)數(shù)信息，且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對(duì)應(yīng)的同階導(dǎo)數(shù)相等的Hermite插值問題研究已經(jīng)有了良好的算法[2,3]，也有學(xué)者研究不是所有的節(jié)點(diǎn)上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)值相等的問題[4]。

金字塔算法被國內(nèi)外學(xué)者越來越廣泛的應(yīng)用，比如它被應(yīng)用于多項(xiàng)式插值、逼近和基變換過程，甚至可以運(yùn)用在對(duì)偶化中[1]。因此本文考慮用Neville-Aitken金字塔算法推導(dǎo)在節(jié)點(diǎn)x0,x1上具有二階導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值公式，進(jìn)一步獲得在兩點(diǎn)處的高階Hermite插值公式。該問題表述為：

1多項(xiàng)式插值的Neville-Aitken公式

首先，利用Lagrange插值多項(xiàng)式得到加權(quán)形式的插值公式：

(1)

易知，2個(gè)組合系數(shù)滿足：

第2步：在相同節(jié)點(diǎn)部分利用Taylor展開構(gòu)造一些小金字塔，即在γi個(gè)fi上鋪上γi-1個(gè)f在xi的一階Taylor展開式，一直逐層鋪到f在xi的γi-1階Taylor展開式；

第3步：在不同節(jié)點(diǎn)部分利用公式(1)，即對(duì)鄰接數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均來逐層堆砌金字塔其余部分；

2具有二階導(dǎo)數(shù)信息的插值公式

f0f0f0f1f1f1

f0001=l0f000+l1f001f0011=l0f001+l1f011f0111=l0f011+l1f111

f00011=l0f0001+l1f0011f00111=l0f0011+l1f0111f000111=l0f00011+l1f00111

這里，f000111就是要求的插值多項(xiàng)式。比較系數(shù)得到

其中整理得到

不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ0=γ1時(shí)，有H0j+H1j≡1(j=0,1,2)。

3兩點(diǎn)處的高階Hermite插值公式

和

利用Neville-Aitken方法構(gòu)造算法金字塔容易推導(dǎo)出該插值多項(xiàng)式。

為了方便起見，記

因此有一般的兩點(diǎn)Hermite插值基函數(shù)的表達(dá)式為

其中

4數(shù)值算例

給定數(shù)據(jù)：

按照上述Neville-Aitken公式構(gòu)造算法金字塔，塔尖即為所求的插值多項(xiàng)式，分別為：

H0(x)=x5-2x2+4x+1；

H1(x)=-48x5+367x4-1 084x3+1 538x2-1 047x+278。

用MATLAB畫出區(qū)間上的函數(shù)圖像如圖1所示：

圖1　2條Hermite插值曲線的拼接

不難發(fā)現(xiàn)利用金字塔算法使得遞推過程變得更加清晰，算法結(jié)構(gòu)有利于看出各層之間的聯(lián)系，用MATLAB畫出圖形，在節(jié)點(diǎn)x=1處仍保持光滑性。

5結(jié)論

金字塔算法是一種基于金字塔式遞推的動(dòng)態(tài)編程方法，可以理解、分析和計(jì)算最普遍的多項(xiàng)式等問題，它形象地描繪人們對(duì)于知識(shí)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的過程，便于公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，在顯示算法的整體結(jié)構(gòu)上有明顯的優(yōu)勢(shì)。本文從金字塔算法的動(dòng)態(tài)編程路徑圖中導(dǎo)出關(guān)于兩點(diǎn)的高階Hermite插值公式，給出了基函數(shù)及組合系數(shù)，并整理出高階插值的一般形式，為計(jì)算幾何及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中高階光滑曲線構(gòu)造提供了理論參考。

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Pyramid Algorithm of Higher-order Hermite Interpolation

CHANG Jin-cai, QI Ya-jing, ZHU Hong-Yang

(College of Science,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063009,China)

Hermite interpolation polynomial;Neville-Aitken algorithm;basic function

Hermite interpolation formula with second order derivative information was deduced by Neville-Aitken pyramid algorithm. Furthermore, the general higher-order Hermite interpolation formula was obtained, and the algorithm was used in a numerical example. The numerical example shows the information on three points, we divided it into two sections and calculate respectively and draw it. The two sections will be pieced together at both ends. The picture shows that the two sections still maintain certain smoothness on the common node.

2095-2716(2015)04-0040-05

O241.5

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