韓 霄，李 虹，李瑞琴

（中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，太原 030051）

基于BP法的3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解研究*

韓 霄，李 虹，李瑞琴

（中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，太原 030051）

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解是并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)應(yīng)用的基礎(chǔ)也是研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)中的難點(diǎn)之一。常用的解法有解析法和數(shù)值法兩種，但是這兩種解法在針對一些復(fù)雜機(jī)構(gòu)時求解難度比較大，而且求出的解不唯一。文章研究了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解中的應(yīng)用，通過位置逆解結(jié)果和訓(xùn)練學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動工作空間到機(jī)構(gòu)動平臺變量空間的非線性映射，求解出3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解。最后給出一組仿真實(shí)例，通過仿真出得的計(jì)算結(jié)果可以看出該方法的有效性與可行性。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；位置正解；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0　引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)較傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比有精度大，承載能力強(qiáng)，剛度大等一系列的優(yōu)點(diǎn)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)與六自由度并聯(lián)機(jī)器人相比，可以滿足大多數(shù)工業(yè)操作要求，且結(jié)構(gòu)簡單，是并聯(lián)機(jī)器人領(lǐng)域的一個重要分支［1］。由于近年來少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在微制造業(yè)和醫(yī)療航天領(lǐng)域的發(fā)展，使得少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)越來越受到業(yè)內(nèi)學(xué)者的關(guān)注。劉平安［2］主要以柔性關(guān)節(jié)和3-DOF平面并聯(lián)機(jī)器人為對象，研究其在微動機(jī)器人中的設(shè)計(jì)和分析，對開發(fā)新型微操作并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)具有重要的意義。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析包括了機(jī)構(gòu)的位置分析，工作空間分析，速度、加速度分析，這些分析都必須建立在正確算出機(jī)構(gòu)位置正、逆解的基礎(chǔ)上。然而并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解、逆解相對串聯(lián)機(jī)構(gòu)來說相對比較困難，尤其是正解的計(jì)算更是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的一個難點(diǎn)。常用的解法有兩種：解析法和數(shù)值法，這兩種方法在針對不同機(jī)構(gòu)的時候各有優(yōu)缺點(diǎn)，但是都存在運(yùn)算量大，求解不易等特點(diǎn)。解析法是先建立約束方程，然后對約束方程進(jìn)行化簡消元，消除方程中多余未知數(shù)，求解出方程的解。但是解析法的推導(dǎo)過程非常復(fù)雜，需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)技巧。同樣數(shù)值法相對解析法簡單一些，但計(jì)算量大，計(jì)算速度慢且不能完整求出機(jī)構(gòu)的位置解。

劉延斌［3］提出了關(guān)于機(jī)構(gòu)位置正解的一種新的數(shù)值解法，并且運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件matlab對該機(jī)構(gòu)位置正解進(jìn)行仿真，驗(yàn)證所研究方法的正確性。周結(jié)華等［4］的基于改進(jìn)型迭代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的分析中運(yùn)用改進(jìn)，高效的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對所研究的4SPS-1S結(jié)構(gòu)進(jìn)行位置正解的求解，最后再利用計(jì)算機(jī)軟件仿真驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性?，F(xiàn)在越來越多的學(xué)者［5-10］開始采用智能算法對一些復(fù)雜機(jī)構(gòu)進(jìn)行求解。

本文根據(jù)所研究的3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為了避免傳統(tǒng)算法中的一些不足，提出了運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其位置正解求解的方法。通過建立適合該機(jī)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解出機(jī)構(gòu)的位置正解。

1　BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前應(yīng)用較多的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。它可以任意精度逼近任意非線性函數(shù)，其實(shí)質(zhì)就是將一組訓(xùn)練樣本的輸入輸出問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€非線形優(yōu)化問題，具有良好的優(yōu)化性能，并且結(jié)構(gòu)簡單，是一種性能優(yōu)良的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的一種網(wǎng)絡(luò)。BP網(wǎng)一般采用多層結(jié)構(gòu)，包括輸入層、多個隱含層、輸出層，隱節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)采用的是Sigmoid型可微函數(shù)。BP網(wǎng)的算法過程首先是由輸入層的各節(jié)點(diǎn)指向隱含層中各節(jié)點(diǎn)再由隱含層中的各節(jié)點(diǎn)指向輸出層，這實(shí)現(xiàn)了信號的前向傳播過程，然后是結(jié)果的優(yōu)化是從輸出端開始逐層向輸入端計(jì)算的，因此叫做誤差的反向傳播過程。由于它能完成對任意非線性映射關(guān)系的一種逼進(jìn)，所以此算法適用范圍比較廣，精度比較高，能夠適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置求解。具體運(yùn)算過程如下：設(shè)有一個m層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸出層為M，并在輸入層加有樣本X；設(shè)第k層的i神經(jīng)元的輸入總和表示為，輸出；從第k-1層的第j個神經(jīng)元到第k層的第i個神經(jīng)元的權(quán)系數(shù)為wij各個神經(jīng)元的激發(fā)函數(shù)為f，則各變量的關(guān)系可用下面有關(guān)數(shù)學(xué)式表示：

為了求解出來的權(quán)系數(shù)能使代價(jià)函數(shù)最小，采用最速解法一階梯度法。這種方法尋優(yōu)的重點(diǎn)是得出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的最小值。即

的最小值。對M層有：

式中

M-1層有：

由上可以推出

綜上得出BP網(wǎng)的算法如下：

依據(jù)上面求出權(quán)矩陣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造就完成了。

2　3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解描述

3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)兩個方向上的平移運(yùn)動和一個方向上的轉(zhuǎn)動。機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺和三個運(yùn)動支鏈組成，三條支鏈完全相同都是由兩個轉(zhuǎn)動副和一個移動副組成，三個移動副與動平臺相連。同時三條支鏈成對稱分布，以三個轉(zhuǎn)動副作為機(jī)構(gòu)的輸入。

圖1中XOY是機(jī)構(gòu)的定坐標(biāo)系，是機(jī)構(gòu)處于初始位置時動平臺的坐標(biāo)。xoy是固定在動平臺上的動坐標(biāo)，原點(diǎn)位于動平臺的幾何中心。各驅(qū)動桿ab的長度相等均為L，α1、α2、α3分別是三驅(qū)動連桿的輸入角，連接桿bc的長度為H，滑動倒桿cd長度為C。所謂機(jī)構(gòu)的位置正解就是在已知三個驅(qū)動角的角度后，通過帶入機(jī)構(gòu)正解方程計(jì)算出動平臺中心o的位置坐標(biāo)（x0，y0，θ0）。

圖1　3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡圖

3　實(shí)例計(jì)算及仿真結(jié)果

3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)在已知動平臺位置量后便可以求出三個驅(qū)動的輸入角度，求解過程相對位置正解來說比較簡單。所以可以通過反解方程得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動的輸入角度，然后利用該角度進(jìn)行仿真，最后將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真出來的結(jié)果與理論值進(jìn)行比較判斷該方法是否有效。

取L=150mm，H=120mm，C=100mm。利用位置反解求出的解，從中取出十組進(jìn)行仿真。從仿真結(jié)果可以看出經(jīng)過4275次迭代后達(dá)到了所設(shè)置的誤差精度1e-3，結(jié)果如圖2所示。

圖2　誤差曲線圖

圖中最上面的實(shí)線是訓(xùn)練曲線，下面的實(shí)線是目標(biāo)曲線，可以看出隨著迭代次數(shù)的增加，誤差值也在隨之減小，計(jì)算的精度隨之提高。在經(jīng)過4725此迭代后，訓(xùn)練誤差成功降低為所設(shè)定的誤差值1e-3這個范圍內(nèi)。理論值和實(shí)際值達(dá)到了擬合。同時也驗(yàn)證所建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正確性。仿真結(jié)構(gòu)如表1所示。

表1　仿真結(jié)果

續(xù)表

4　結(jié)論

通過建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)從各連桿的工作空間到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺工作空間的復(fù)雜非線性映射關(guān)系，大大簡便了求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的難度。同時運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真后得到的位置正解的精度也能滿足設(shè)定的精度要求。所以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種簡便復(fù)雜算法得到滿足精度要求解的一種非常有效的算法工具。

［1］黃真.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［2］劉平安.柔性關(guān)節(jié)及3-DOF微動平面并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)與分析［D］.北京：北京交通大學(xué)，2008.

［3］劉延斌，韓秀英.一種6-TPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的快速解法［J］.機(jī)床與液壓，2008，36（2）：27-29.

［4］周結(jié)華，彭俠夫，仲訓(xùn)昱.基于改進(jìn)型迭代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的分析［J］.機(jī)床與液壓，2012，4（11）：32-35.

［5］陳學(xué)生，陳在禮，孔民秀，等.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的6-SPS并聯(lián)機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)精確求解［J］.機(jī)器人，2004，26（4）：314-319.

［6］YEE C S，LIM K B.Forward kinematics solution of stewart platform using neural networks［J］.Neurocomputing，1997，16（3）：333-349.

［7］Pratik J.Parikh，Sarah S.Lam.Solving the Forward Kinematics Probiem in Parallel Manipulators Using an Iterative Artificial Neural Network Strategy［J］.Int J Adv Manuf technol.2009，40（5-6）：595-606.

［8］楊斌，李瑞琴.基于BP法的3-RSR并聯(lián)機(jī)器人的位置正解研究［J］.組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2013（12）：8-10.

［9］張世輝，孔令富，原福永，等.基于自構(gòu)形快速BP網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)機(jī)器人位置正解方法研究［J］.機(jī)器人，2004，26（4）：314-319.

［10］何晉，王立權(quán)，李芃.一種快速BP算法的并聯(lián)機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)求解［J］.制造業(yè)自動化，2003，25（10）：34-36.

（編輯 趙蓉）

A Solution for Forward Kinematics of 3-RSR Parallel Robot Based on BP Algorithm

HAN Xiao，LI Hong，LI Rui-qin
（School of Mechanical Engineering and Automation，North University of China，Taiyuan 030051，China）

The solution for forward kinematics of the parallel mechanism is the basis of the parallel robot mechanism application and is one of the difficulties in research institutions kinematics.The commonly used method has two kinds of analytical method and numerical method，but these two solutions for some complex institution to solve the difficulty is more difficult，and the solution is not the only.BP neural network in the position of parallel mechanism is studied in the solution for forward kinematics，through the study of position inverse solution results and training，implementing handlers from joint variables space to work space of nonlinear mapping，and solving the3-RRP of kinematics solution of parallel mechanism.A set of simulation instance is given，it can be seen that the result calculated by the simulation of the effectiveness of the method and feasibility.

parallel robot；forward kinematics；BP neural network

TH132；TG659

A

1001-2265（2015）02-0094-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.02.026

2014-06-09；

2014-07-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51275486）

韓霄（1988—），女，河南南陽人，中北大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)理論與機(jī)器人設(shè)計(jì)，（E-mail）675453312@qq.com。