楊昌祥，王立堅(jiān)，何 川，盧紅星，楊建國

（1.貴陽險(xiǎn)峰機(jī)床有限責(zé)任公司，貴州黔南布依苗族自治州 550601；2.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240）

基于熱模態(tài)分析的主軸熱誤差魯棒性建模*

楊昌祥1，王立堅(jiān)1，何 川1，盧紅星2，楊建國2

（1.貴陽險(xiǎn)峰機(jī)床有限責(zé)任公司，貴州黔南布依苗族自治州 550601；2.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240）

為提高數(shù)控機(jī)床的加工精度，針對(duì)主軸熱誤差提出一種基于熱模態(tài)分析的魯棒性建模方法。類比動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析，利用有限元分析方法對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行熱模態(tài)分析，獲得主軸熱模態(tài)時(shí)間常數(shù)和溫度場(chǎng)，并以此為依據(jù)確定溫度傳感器在主軸上的安裝位置，利用回歸分析方法建立熱誤差數(shù)學(xué)模型。頻率敏感性仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，誤差模型在不同熱流輸入頻率下均具有非常好的擬合效果。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出建模方法的魯棒性和準(zhǔn)確性。

數(shù)控機(jī)床；熱誤差；誤差建模；熱模態(tài)；魯棒性

0　引言

隨著各行業(yè)對(duì)高端精密零件、設(shè)備需求的不斷增長(zhǎng)，制造業(yè)及相關(guān)研究領(lǐng)域認(rèn)識(shí)到了提高機(jī)床精度的重要性。機(jī)床精度直接決定所加工零件的尺寸和表面精度，而熱誤差［1-2］是影響機(jī)床精度的一個(gè)重要因素，占機(jī)床總誤差的50%左右。主軸熱誤差是機(jī)床熱誤差的重要組成部分，由于主軸內(nèi)、外熱源影響導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)發(fā)生熱變形，進(jìn)而造成所加工零件尺寸誤差超出允許范圍。

過去幾十年，國內(nèi)外研究人員對(duì)主軸熱誤差進(jìn)行了大量的研究。楊建國等［3］通過對(duì)簡(jiǎn)化的一維主軸模型分析得出一種溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置策略，使主軸熱伸長(zhǎng)與溫度讀數(shù)值之間呈近似線性關(guān)系，減少了溫度傳感器的使用，提高了測(cè)量效率。Kim.B［4］針對(duì)主軸熱漂移誤差提出一種狀態(tài)空間模型，并在一臺(tái)高精密車床上進(jìn)行了補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，取得了良好的效果。此外，楊漪［5］、蔄靖宇［6］、閆嘉鈺［7］、吳雄彪［8］等也在機(jī)床熱誤差方面做了相關(guān)理論分析和實(shí)驗(yàn)探索。

然而，誤差模型的精度和魯棒性［9］仍是熱誤差補(bǔ)償技術(shù)廣泛推廣的最大障礙。本文基于熱模態(tài)分析，從熱變形的本質(zhì)出發(fā)，類比動(dòng)力學(xué)振動(dòng)模態(tài)分析，利用有限元方法對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行熱模態(tài)分析，在分析結(jié)果的基礎(chǔ)上提出一種經(jīng)濟(jì)有效的溫度傳感器布置策略和高魯棒性的誤差模型，通過多元線性回歸方法建立熱誤差模型。頻率敏感性有限元仿真結(jié)果表明該誤差模型具有良好的魯棒性。將該模型應(yīng)用于一臺(tái)臥式車床進(jìn)行主軸熱誤差魯棒性預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果證明該建模方法對(duì)不同熱流輸入具有良好魯棒性和預(yù)測(cè)精度。

1　熱模態(tài)分析方法

利用有限元方法對(duì)機(jī)床進(jìn)行動(dòng)力學(xué)振動(dòng)模態(tài)分析，早已成為機(jī)床設(shè)計(jì)制造過程中獲得機(jī)床動(dòng)力學(xué)特性的重要手段。有限元分析也被很多研究人員用于機(jī)床熱誤差的研究［10］，以便加強(qiáng)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)建模方法。然而，對(duì)機(jī)床進(jìn)行熱模態(tài)分析［11］以掌握機(jī)床熱時(shí)間常數(shù)和模態(tài)形狀也是十分重要的，目前，利用有限元方法進(jìn)行機(jī)床主軸熱變形的本質(zhì)分析方面的研究還很少。

為了進(jìn)行熱模態(tài)分析，需要得到主軸溫度場(chǎng)分布，首先求解熱傳遞微分方程：

式中：［CT］是熱容量矩陣，｛T（t）｝ 是節(jié)點(diǎn)溫度向量，［KT］是熱導(dǎo)量矩陣，｛Q（t）｝ 是節(jié)點(diǎn)熱負(fù)載向量。

式（1）的特征方程為：

在模態(tài)分析中，特征向量矩陣 ［ΦT］可以作為解耦式的一個(gè)傳遞矩陣，把物理溫度矩陣T（t）轉(zhuǎn)換為模態(tài)溫度矩陣｛θ（t）｝：

根據(jù)微分方程的性質(zhì)，由式（1）、（2）和（3）可得到：

令，［ΦT］T｛Q（t）｝=｛ξ（t）｝ ，其中｛ξ（t）｝代表模態(tài)熱負(fù)載向量。如果施加一個(gè)階躍熱流輸入到機(jī)床主軸上，可得式（4）的解為：

式中：θi（t）為第i個(gè)熱模態(tài)的溫度場(chǎng)分布。

由于主軸的熱負(fù)載變化也大致可以看作一系列階躍輸入的組合。這樣，主軸總體的溫度響應(yīng)就可以看作這些熱模態(tài)的疊加。這種熱模態(tài)分析的優(yōu)點(diǎn)是整個(gè)熱變形過程可以利用幾個(gè)主要熱模態(tài)來表示。每個(gè)熱模態(tài)的權(quán)重定義為：

式中：ξi和τi分別為每種模式的熱負(fù)載和時(shí)間常數(shù)。權(quán)重的大小決定了每種模態(tài)的比重。通常，其中幾個(gè)模態(tài)占據(jù)總權(quán)重的一大部分，其余的熱模態(tài)影響可以忽略不計(jì)。

1.1主軸熱變形的有限元仿真

為進(jìn)行主軸熱模態(tài)分析，通常先建立主軸簡(jiǎn)化模型，然后進(jìn)行有限元分析［12］。為方便描述，對(duì)主軸熱誤差進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，如圖1所示，典型的主軸熱變形包括三個(gè)誤差量，分別為膨脹量ε，傾斜量δ，以及傾角θ。

圖1　簡(jiǎn)化主軸熱漂移模式

在仿真中，假設(shè)熱量輸入Q（t）位于固定端，熱誤差產(chǎn)生的一端自由。熱傳遞主要發(fā)生在機(jī)床部件接觸表面以及與環(huán)境之間。假設(shè)上表面的熱傳遞系數(shù)20W/m2K，下表面的熱傳遞系數(shù)為100W/m2K，其它材料參數(shù)如表1所示。

表1　主軸特性參數(shù)

1.2基于熱模態(tài)分析的溫度傳感器布置

通過有限元分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，前四個(gè)熱模態(tài)的權(quán)重系數(shù)大小逐次遞減，四個(gè)權(quán)重之和占總比重的90%以上，說明前四個(gè)熱模態(tài)在熱變形的過程中起到了主導(dǎo)作用。前四個(gè)熱模態(tài)的時(shí)間常數(shù)和溫度場(chǎng)如圖2所示。

圖2　前四個(gè)熱模態(tài)的溫度場(chǎng)

類似于振動(dòng)模態(tài)分析，溫度傳感器位置的安放要遵循下面兩條準(zhǔn)則：

（1）接近主要溫度場(chǎng)的最值處；

（2）接近主要熱源。

根據(jù)這一策略，通過對(duì)前四個(gè)熱模態(tài)權(quán)重分布以及溫度場(chǎng)分布情況分析，可以確定溫度傳感器的安裝位置。在仿真過程中，選擇放置3個(gè)傳感器進(jìn)行溫度測(cè)量，分別位于位置1，5，10處，如圖3所示。

圖3　溫度傳感器的布置

2　熱誤差魯棒性建模

多元線性回歸模型利用最小二乘法來擬合數(shù)值，相比于其它建模方法，比如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，逼近精度高，外推性好等特點(diǎn)，所以被廣泛用來描述熱誤差的變化規(guī)律。但是多元線性回歸模型受多重共線性問題的影響，選擇建模時(shí)的溫度變量合理與否，一直是影響熱誤差模型魯棒性的重要因素。

以主軸熱伸長(zhǎng)ε為例，其形式如下：

式中：T1，T2，T3代表測(cè)點(diǎn)溫度變量，β0，β1，β2，β3為回歸系數(shù)，e為隨機(jī)誤差。基于最小二乘法原理利用數(shù)學(xué)軟件可以方便計(jì)算出回歸系數(shù)。

該建模方法的魯棒性可通過頻率敏感性仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。頻率敏感性的重要性主要在于機(jī)床操作和環(huán)境條件的周期，這兩個(gè)量會(huì)導(dǎo)致熱負(fù)載按照特定的周期而改變。

由于生產(chǎn)安排和環(huán)境條件等，機(jī)床主軸的熱源變化規(guī)律，通常服從一定的周期性。據(jù)此特點(diǎn)，在仿真實(shí)驗(yàn)中，在不同的頻率熱流輸入下檢測(cè)了頻率的敏感性。一次熱流的周期為20min，如圖4a，該熱流被用來訓(xùn)練模型。然后用兩個(gè)傳統(tǒng)的熱流輸入來驗(yàn)證模型，周期分別為40min和10min，如圖4b和4c所示。設(shè)初始狀態(tài)簡(jiǎn)化的主軸有限元模型的初始溫度為20℃，分別施加圖4所示的熱流輸入，進(jìn)行有限元仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖5中可以很明顯看出，得到的熱誤差模型對(duì)頻率變化具有很強(qiáng)的魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)證明基于熱模態(tài)分析所確定的溫度傳感器位置能夠獲取整個(gè)熱變形的本質(zhì)。顯然，通過熱模態(tài)分析可以有效地控制溫度傳感器的使用數(shù)量，從而降低誤差建模的復(fù)雜程度，同時(shí)提高溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)的效率。

圖4　頻率敏感性實(shí)驗(yàn)的熱流輸入

圖5　頻率敏感性實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

所提出的熱誤差建模方法通過在一個(gè)臥式機(jī)床的主軸上進(jìn)行驗(yàn)證。圖6顯示實(shí)驗(yàn)裝置，其中主軸通過一個(gè)交流電機(jī)控制。通過一個(gè)電容傳感器測(cè)量主軸的熱膨脹?；诤?jiǎn)單機(jī)床結(jié)構(gòu)件熱伸長(zhǎng)理論，將3個(gè)溫度傳感器安裝在主軸上來收集溫度數(shù)據(jù)。

圖6　主軸熱伸長(zhǎng)測(cè)試的實(shí)驗(yàn)裝置

首先，進(jìn)行訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)1來得到主軸的熱誤差模型。按照?qǐng)D7a所示的主軸速度將機(jī)床運(yùn)行70min，按一定的采樣頻率讀取三個(gè)溫度傳感器的讀數(shù)，溫度記錄結(jié)果如圖7b所示。五個(gè)電容傳感器實(shí)時(shí)記錄機(jī)床主軸的熱變形。利用多元線性回歸分析方法建立變形量與溫度變量之間的數(shù)學(xué)模型。為方便描述，以主軸熱伸長(zhǎng)為例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，可以看出多元回歸建模方法能夠很好地?cái)M合測(cè)量數(shù)據(jù)，殘差在±1μm以內(nèi)。

圖7　實(shí)驗(yàn)1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖8　實(shí)驗(yàn)1的測(cè)量和建模結(jié)果

為了驗(yàn)證所得熱誤差模型的魯棒性，設(shè)計(jì)兩組驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，分別為實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3。如圖9所示，改變主軸速度變化模式，實(shí)驗(yàn)2中使熱機(jī)時(shí)間縮短50%，實(shí)驗(yàn)總時(shí)間縮短為50min，實(shí)驗(yàn)3中使熱機(jī)時(shí)間增加50%，實(shí)驗(yàn)總時(shí)間增加到90min。通過改變主軸實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間，使主軸受熱情況發(fā)生變化。兩次實(shí)驗(yàn)均實(shí)時(shí)采集測(cè)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)和主軸熱伸長(zhǎng)量。根據(jù)所測(cè)溫度和實(shí)驗(yàn)1中得到的主軸熱伸長(zhǎng)誤差模型，分別對(duì)實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3進(jìn)行誤差預(yù)測(cè)。測(cè)量值和預(yù)測(cè)得到的誤差如圖9所示。

圖9　主軸速度對(duì)于魯棒性驗(yàn)證測(cè)量和預(yù)測(cè)誤差

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，絕大部分的熱誤差都可以通過得到的熱誤差模型來預(yù)測(cè)，兩次實(shí)驗(yàn)的殘差都在±2μm，證明所提出的建模方法具有很強(qiáng)的魯棒性。從圖中可以看出，在冷卻階段測(cè)量值和預(yù)測(cè)值的偏差相對(duì)于熱機(jī)階段較大。一方面，這一現(xiàn)象是由于主軸熱源不僅僅來自于交流電機(jī)，還來自于主軸軸承的摩擦。另一方面，由于仿真階段主軸的有限元模型過于簡(jiǎn)化，沒有考慮主軸的內(nèi)部結(jié)構(gòu)造成的。所以，使用更詳細(xì)的有限元模型進(jìn)行熱模態(tài)分析，同時(shí)增加溫度傳感器數(shù)量來獲得更多的溫度信息，是提高數(shù)控機(jī)床主軸熱誤差模型魯棒性的一種有效途徑。

4　結(jié)論

基于熱模態(tài)分析，提出一種熱誤差魯棒性建模方法，利用有限元分析來獲取主軸主要熱模態(tài)時(shí)間常數(shù)，權(quán)重系數(shù)及其溫度場(chǎng)，類比振動(dòng)模態(tài)分析，提出一種溫度傳感器的布置策略，既能較準(zhǔn)確反映主軸熱變形的本質(zhì)，又能有效地控制溫度傳感器的使用數(shù)量，降低誤差建模的復(fù)雜程度。通過多元線性回歸分析的方法建立主軸熱誤差模型，結(jié)合溫度傳感器布置位置，進(jìn)行頻率敏感性有限元仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果證明該誤差模型具有良好的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了建模方法的有效性和魯棒性。本文基于熱模態(tài)分析從熱變形的本質(zhì)出發(fā)，提出了一種經(jīng)濟(jì)有效的溫度傳感器布置策略和高魯棒性誤差模型，不僅可以節(jié)省大量的時(shí)間和精力在熱誤差模型的訓(xùn)練過程，而且保證了熱誤差模型的精度和魯棒性，為后續(xù)誤差補(bǔ)償提供了良好的基礎(chǔ)。

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（編輯 趙蓉）

Robust Thermal Error Modeling for CNC Machine Tools Spindle Based the Thermal Mode Analysis

YANG Chang-xiang1，WANG Li-jian1，HE Chuan1，LU Hong-xing2，YANG Jian-guo2
（1.Guiyang Xian Feng Machine Tool Co.，Ltd.，Qiannan Buyei and Miao Autonomous Prefecture Guizhou 550601，China；2.School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai200240，China）

In order to improve the machining accuracy of NC machine tools，a robust thermal error modeling strategy based on the thermal mode analysis is presented.Finite element analysis is utilized to determine the time constant，weight and temperature field of each thermal mode.On this foundation，temperature sensors are placed to capture the dominant thermal modes of thermal deformation process.Multiple linear regression models are employed to describe thermal errors of spindle.Numerical simulation is conducted to verify the robustness of the thermal error models in terms of frequency sensitivity.At last，practical experiments are carried out and the results proved that the proposed modeling method is robust and effective.

CNC machine tool；thermal error；error modeling；thermal mode analysis；robustness

TH161；TG506

A

1001-2265（2015）02-0090-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.02.025

2014-06-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51275305）；國家科技重大專項(xiàng)課題（2011ZX04015-031）

楊昌祥（1969—），男，苗族，貴州惠水縣人，貴陽險(xiǎn)峰機(jī)床有限責(zé)任公司高級(jí)工程師，從事機(jī)床設(shè)計(jì)與制造，（E-mail）ycxxfmtw@126. com；通訊作者：盧紅星（1990—），男，河南周口人，上海交通大學(xué)博士研究生，研究方向?yàn)榫芗庸づc測(cè)試，（E-mail）lu_hx1990@126. com。