李萬(wàn)軍，牛 敏

（1.淄博職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，山東淄博 255314；2.山東工業(yè)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程系，山東淄博256414）

多島嶼曲面的刀具軌跡規(guī)劃算法研究*

李萬(wàn)軍1，牛 敏2

（1.淄博職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，山東淄博 255314；2.山東工業(yè)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程系，山東淄博256414）

提出了一種多島嶼復(fù)雜曲面的刀具路徑規(guī)劃算法。利用空間填充曲線分形級(jí)數(shù)的增加能夠填充整個(gè)曲面的特點(diǎn)，對(duì)Hilbert分形曲線進(jìn)行改進(jìn)并結(jié)合多島嶼曲面特征進(jìn)行刀具軌跡規(guī)劃。生成的刀具軌跡能夠較好的避開(kāi)島嶼且無(wú)需抬刀，能夠生成一條連續(xù)的且能滿足加工精度要的刀具軌跡，能夠極大縮短刀具路徑整體長(zhǎng)度。在加工過(guò)程中，刀具無(wú)多次切入切出現(xiàn)象，切削穩(wěn)定，能夠提高其表面質(zhì)量，加工質(zhì)量相對(duì)較高。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了算法的可行性及有效性。

刀具軌跡規(guī)劃；多島嶼曲面；Hilbert曲線

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，復(fù)雜曲面在生活的方方面面使用越來(lái)越普遍。加工過(guò)程中針對(duì)多島嶼曲面一般采用多軸機(jī)床進(jìn)行加工，走刀過(guò)程不易采用單樣式的走刀路徑。目前曲面加工過(guò)程中使用的刀具軌跡算法主要有；參數(shù)線法［1-3］、多面體法［4-7］、截面法［8-11］、等殘留高度法［12-13］、空間填充曲線法［14-16］等。以上算法在加工多島嶼曲面時(shí)生成的刀具軌跡存在多次抬刀現(xiàn)象。

多島嶼曲面在軌跡規(guī)劃過(guò)程中，如果軌跡之間銜接處理不當(dāng)，會(huì)出現(xiàn)切削過(guò)程中的多次抬刀，切入切出過(guò)程易產(chǎn)生接刀痕，影響表面質(zhì)量。根據(jù)存在的問(wèn)題提出一種多島嶼曲面的刀具軌跡規(guī)劃算法。利用改進(jìn)空間填充曲線能夠填充整個(gè)曲面的特點(diǎn)，對(duì)Hilbert曲線進(jìn)行改進(jìn)，適用于多島嶼型復(fù)雜曲面的刀具軌跡規(guī)劃。該算法能夠較好的避讓?shí)u嶼，且能夠較好的實(shí)現(xiàn)軌跡轉(zhuǎn)接，無(wú)抬刀現(xiàn)象。

1 多島嶼曲面軌跡規(guī)劃算法

1.1 多島嶼網(wǎng)格曲面表達(dá)

設(shè)多島嶼曲面為一個(gè)k×l次NURBS表達(dá)的曲面，有理分式（1）表示為；

其中，di，j（i=0，1，…，m；j=0，…，n）為控制頂點(diǎn)，ωi，j是權(quán)因子，Ni，k（u）（i=0，1，…，m）和Nj，l（u）（j=0，1，…，n）分別為u向k次和v向l次的規(guī)范B樣條基函數(shù)。

通過(guò)公式（1）得到曲面有兩參數(shù)確定，分別將兩個(gè)參數(shù)方向滿足加工精度的參數(shù)線進(jìn)行疊加，求取相疊加曲線之間的交點(diǎn)作為曲面網(wǎng)格點(diǎn)。

假設(shè)NURBS曲面上的刀具軌跡P（u（t），v（t）），取一個(gè)刀觸點(diǎn)為P0，將會(huì)存在P0′是復(fù)雜曲面上過(guò)P0的短程線上距離等于行距L的點(diǎn)。滿足等殘留高度值的計(jì)算相鄰刀具軌跡的計(jì)算公式如下；

曲面上滿足短程線的兩個(gè)條件；

將式（2）通過(guò)泰勒公式推導(dǎo)，分解省略極小值，得式（3），

將式（3）代入式（2），簡(jiǎn)化得式（4），

對(duì)式（4）求解，可以獲得加工精度值即殘留高度的相鄰刀具軌跡參數(shù)變量的增量值，Δu、Δv表達(dá)式（5）如下；

其中E、F、G為微分幾何中的第一基本量，L、M、N為第二基本量。

由式（5）獲得參數(shù)增量值代入式（6）可得到相鄰刀具軌跡P1。

1.2 改進(jìn)Hilbert曲線填充曲面

Hilbert曲線的特點(diǎn)是隨著分形階數(shù)增大生成的曲線能夠遍歷曲面上的所有點(diǎn)，線的密度也相應(yīng)增加，此類特點(diǎn)符合刀具軌跡特征。Stanislav［14］、賓鴻贊教授［15］、國(guó)立臺(tái)灣科技大學(xué)的Chen［16］等人利用空間填充曲線法作為刀具軌跡進(jìn)行了一些相關(guān)研究，并生成了各自有效的刀具軌跡。

本文對(duì)填充曲線進(jìn)行改進(jìn)，將多島嶼曲面進(jìn)行滿足加工精度要求的參數(shù)分割，將兩方向的刀具軌跡交點(diǎn)作為最初Hilbert曲線最初回路的頂點(diǎn)。

1.2.1 初始回路劃分

復(fù)雜多島嶼曲面可以通過(guò)兩參數(shù)方向進(jìn)行分割，將獨(dú)立未劃分的相鄰的四個(gè)交點(diǎn)作為初始回路，如圖1所示，回路的四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行首尾連接。如果分割過(guò)程中所得到的交點(diǎn)為奇數(shù)行或列，則將最后剩余的行或列中的所有的點(diǎn)進(jìn)行首尾連接形成一個(gè)特殊回路。

圖1 初始回路劃分

1.2.2 軌跡走向設(shè)定

小回路的合并過(guò)程決定刀具軌跡的走向，所以確定合并過(guò)程的函數(shù)設(shè)定至關(guān)重要。引入合并函數(shù)Total，由若干因素決定其值，由公式（7）計(jì)算獲得。Total函數(shù)決定因素有；走刀過(guò)程中的刀具姿態(tài)、當(dāng)前的加工條件、待加工曲面特性、相鄰軌跡的刀觸點(diǎn)間距等，根據(jù)加工需要可以人為設(shè)置若干因素。軌跡的合并過(guò)程如圖2所示，如果將回路A作為軌跡的起始回路進(jìn)行合并，要對(duì)相鄰回路B、C、D、E進(jìn)行分析判斷，計(jì)算Total函數(shù)值。

圖2 回路合并

其中P代表姿態(tài)，C為加工條件，D代表刀位點(diǎn)間距，M為機(jī)床加工能力等，其中wi代表影響每一個(gè)因素的影響權(quán)因子，i∈［1，2，3，…］，決定因素根據(jù)加工要求可以人為設(shè)定，隨意性大。

由式（8）取最小值，假定A和B值最小，如圖3a到圖3b作為一個(gè)合并過(guò)程，得到一個(gè)大回路A1，合并過(guò)程可由公式（9）表示為；

其中a、b表示為三維空間兩個(gè)頂點(diǎn)連接的實(shí)邊，刪除a、b；c、d表示為三維空間中兩個(gè)相鄰點(diǎn)的虛邊轉(zhuǎn)化為實(shí)邊。

隨著回路合并的逐漸變大，軌跡走向選擇的余地越來(lái)越大，計(jì)算決策函數(shù)Total值急劇增加，如果每次都要單獨(dú)計(jì)算將會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量急劇遞增。為了避免此類現(xiàn)象，完全可以只計(jì)算一次Total函數(shù)值，將函數(shù)按小到大進(jìn)行排序，再逐一合并。

1.2.3 帶多島嶼的曲面軌跡生成

多島嶼復(fù)雜曲面進(jìn)行刀具軌跡規(guī)劃時(shí)，將島嶼內(nèi)形成的回路的Total值設(shè)定一個(gè)無(wú)效值，取消回路合并。如圖3所示，假設(shè)圖中虛線圓中的四個(gè)小回路為島嶼區(qū)域，不參與合并，計(jì)算剩余回路Total值，進(jìn)行排序合并，將軌跡遍歷所有的復(fù)雜曲面上的回路，最終生成刀具軌跡，如圖3a～圖3n所示，為復(fù)雜多島嶼曲面的軌跡生成過(guò)程。

圖3 復(fù)雜曲面多島嶼刀具軌跡生成過(guò)程

1.2.4 刀具軌跡優(yōu)化

將以上算法應(yīng)用于手機(jī)凸模進(jìn)行軌跡規(guī)劃，由圖4所示，黑實(shí)線表示的橢圓線圈中的島嶼周圍生成的路徑參差不齊。導(dǎo)致在加工過(guò)程中，島嶼周圍加工質(zhì)量較差，需避免此類現(xiàn)象出現(xiàn)。

分析得出此類現(xiàn)象主要是多島嶼曲面初始回路劃分過(guò)程中，回路大小及分布不均引起。圖5a所示，虛線矩形框所示區(qū)域?yàn)閸u嶼，與A、C、D回路都有相交，C、D回路的中心點(diǎn)在島嶼內(nèi)，不參與軌跡合并。而回路A雖然與島嶼相交，但中心位于島嶼之外，參與了軌跡合并，導(dǎo)致圖5b現(xiàn)象?；芈稟和回路G進(jìn)行合并，會(huì)產(chǎn)生誤差為h4；回路B與回路H合并，導(dǎo)致生成的軌跡偏離島嶼的安全距離為h3；通過(guò)圖5可以看出其他回路合并過(guò)程中的偏差值。為了避免此類偏差，一種方法是縮小回路間距，會(huì)增大生成軌跡的計(jì)算量；另一種方式就是對(duì)軌跡在島嶼位置進(jìn)行優(yōu)化處理。

圖4 手機(jī)凸模軌跡生成

圖5 多島嶼軌跡優(yōu)化

為了避免偏差的出現(xiàn)，對(duì)島嶼區(qū)域內(nèi)的軌跡進(jìn)行優(yōu)化，如圖5c所示。將回路與虛線島嶼區(qū)域相交的回路求取交點(diǎn)，設(shè)定新的回路頂點(diǎn)。軌跡在生成中，假設(shè)回路A與回路G合并，將回路A的四個(gè)頂點(diǎn)設(shè)定為紅色表示的回路進(jìn)行合并，以此類推，最終的合并過(guò)程由圖5d所示。

2 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的有效性，對(duì)兩個(gè)帶多島嶼的復(fù)雜自由曲面模型進(jìn)行軌跡規(guī)劃，相同參數(shù)條件下，與UG軟件中的行切法軌跡生成算法作為對(duì)比。

圖6 帶有島嶼型的復(fù)雜曲面軌跡生成

圖7 手機(jī)模型的軌跡生成

如圖6和7所示，UG中生成的刀具軌跡在島嶼周圍出現(xiàn)了多次舉刀軌跡退出切削現(xiàn)象，而本文提出的算法很好的避讓了島嶼，未出現(xiàn)舉刀且刀具軌跡連續(xù)。并對(duì)兩種算法進(jìn)行了比較，由表1看出，刀具軌跡在計(jì)算時(shí)間上由于有優(yōu)化處理，本文提出的算法相對(duì)UG中的刀具軌跡算法使用的時(shí)間較長(zhǎng)；但是本文提出的算法無(wú)抬刀現(xiàn)象，而UG中生成的刀具軌跡分別有42次和120次抬刀；本文提出的算法生成的軌跡全部為加工軌跡，輔助軌跡為零，UG中生成的軌跡中輔助軌跡較多；本文提出的算法生成的刀具軌跡總體長(zhǎng)度較短，加工過(guò)程中刀具一直處于加工狀態(tài)，較UG生成的軌跡穩(wěn)定，整體加工效率提高。

表1 兩種運(yùn)算方法對(duì)比

3 結(jié)論

利用改進(jìn)的Hilbert曲線對(duì)帶有多島嶼復(fù)雜曲面進(jìn)行軌跡規(guī)劃，在滿足精度要求的情況下，生成了能夠遍歷整個(gè)曲面并且連續(xù)的無(wú)抬刀現(xiàn)象的刀具軌跡。與UG里面的軌跡算法進(jìn)行了比較，生成的刀具軌跡長(zhǎng)度較短，加工過(guò)程中無(wú)切入切出現(xiàn)象，加工較穩(wěn)定。并對(duì)刀具軌跡進(jìn)行了優(yōu)化處理，在復(fù)雜曲面的多島嶼區(qū)域能夠生成較為工整的軌跡。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了本文算法的可行性。

［1］Stanislav SM.Optimization and correction of the tool path of the five-axis milling machine［J］.Mathemathics and Computers in Simulation，2007，75（5）；210-230.

［2］Lin Y J，Lee T S.An adaptive tool path generation algorithm for precision surface machining［J］.Computer-Aided Design，1999，31；237-247.

［3］吳福忠，柯映林.組合曲面參數(shù)線五坐標(biāo)加工刀具軌跡的計(jì)算［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2003，15（10）；1247-1252.

［4］劉懷蘭，周艷紅，周濟(jì).自由曲面NC無(wú)干涉刀具軌跡生成［J］.中國(guó)機(jī)械工程，1996，7（3）；47-49.

［5］朱翔，孫家廣.Loop細(xì)分曲面數(shù)控加工刀具軌跡的生成［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，43（4）；521-524.

［6］徐后強(qiáng)，羅宏志.一種三軸曲面NC加工干涉檢查的新方法［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，29（3）；70-72.

［7］吳光琳，倪其民，李從心，等.曲面實(shí)時(shí)插補(bǔ)無(wú)干涉刀軌的生成方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001，37（5）；93-96.

［8］倪炎榕，馬登哲.圓環(huán)面刀具五坐標(biāo)加工復(fù)雜曲面優(yōu)化刀位算法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001，37（2）；87-91.

［9］單巖，金濤，譚建榮.基于MODM模型的自由曲面NC加工刀位計(jì)算［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2002，13（17）；1445-1449.

［10］Sarma SE.The crossing function and its application to zigzag tool paths［J］.Computer-Aided Design，2000，31（4）；881-890.

［11］Chiou C J，Lee Y S.A machining potential field approach to tool path generation for multi-axis sculptured surface machining［J］.Computer-Aided Design，2002，34（5）；357-371.

［12］王太勇，張志強(qiáng)，王濤，等.復(fù)雜參數(shù)曲面高精度刀具軌跡規(guī)劃算法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（12）；109-114.

［13］吳福忠.基于包絡(luò)面構(gòu)建的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2009，40（1）；217-221.

［14］Stanislav SM，WeerachaiA.Advanced Numerical Methods to Optimize Cutting Operations［M］.Berlin，Heidelberg，New York；LE-TEX Jelonek，Schmidt&V?ckler GbR，Leipzig，2007.

［15］Yang J，Bin H，Zhang X.Fractal scanning path generation and control system for selective laser sintering（SLS）［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2003，43；293-300.

［16］Chen C Z，Juang Y S，Lin W Z.Generation of fractal toolpaths for irregular shapes of surface fnishing areas［J］.Journal of Materials Processing Technology，2002，127（2）；146-150.

（編輯 李秀敏）（編輯 李秀敏）

Research on Tool Path Planning Algorithm of Multi-island Surface

LIWan-jun1，NIU Min2
（1.College of Mechanical and Electrical Engineering，Zibo Vocational Institute，Zibo Shandong 255314，China；2.Mechanical and Engineering Department，Shandong Vocational College of Industry，Zibo Shandong 256414，China）

；The tool path planning algorithm of Surfaces with multi-island was presented.Combined with multi Island surface feature，the tool path planning using the improved Hilbert fractal curve.The tool path generation can avoid the islands on the machining surface，and do not appear this kind of phenomenon that lifting tool.It is continuous tool path that can shorten the length of the overall trajectory and meet the machining accuracy。In the process，the tool has no multiple exit cutting and once again into the cutting phenomenon，which can prove the quality and efficiency of machining process.The example demonstrate the proposed method is avoid and feasible.

；tool path planning；multi-island surface；Hilbert curve

TH164；TG65

A

1001-2265（2015）05-0123-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.05.035

2014-08-11

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金（51105026）

李萬(wàn)軍（1981—），男，山東淄博人，淄博職業(yè)學(xué)院講師，博士，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)，（E-mail）baishikele2004@163.com。