鞠錦勇，李 威，王禹橋，劉玉飛，徐 晗

（中國礦業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，徐州 221008）

0 引言

并聯(lián)定位平臺是指具有兩個或者多個自由度，通過兩個或兩個以上的分支運動鏈連接定平臺與動平臺，并以并聯(lián)方式驅(qū)動的一類閉環(huán)結(jié)構(gòu)[1]。并聯(lián)定位平臺是一種典型的并聯(lián)機構(gòu)，與傳統(tǒng)的串聯(lián)機構(gòu)相比，并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊作業(yè)面小、剛度大、動態(tài)特性好、承載能力高等優(yōu)點，另外并聯(lián)定位平臺的末端誤差不是所有運動關(guān)節(jié)的累積誤差[2]，因此定位精度也得到了很大的提高。目前，并聯(lián)定位平臺在精密機床、制造業(yè)、運動模擬等相關(guān)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

隨著并聯(lián)定位平臺的發(fā)展，尤其是向著高精度、高速方向的拓展，對并聯(lián)定位平臺的機構(gòu)也提出了新的要求，高精度必然要求結(jié)構(gòu)更加精密、高速必然要求材質(zhì)更加輕型。而并聯(lián)平臺材質(zhì)的輕型化會加大機構(gòu)部件的柔性、降低系統(tǒng)的固有頻率，在高速運動下，容易產(chǎn)生彈性振動，影響平臺的定位精度。并聯(lián)定位平臺的剛性運動與自身變形之間相互耦合而產(chǎn)生的動力學(xué)問題得到了越來越多的關(guān)注。邱志成[3]針對一種通過柔性關(guān)節(jié)連接的航天器剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，討論了柔性部件對系統(tǒng)穩(wěn)定性和指向精度的影響；劉善增等人[4]通過建立空間有限元梁單元新模型，對空間剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機構(gòu)的固有頻率進行了研究。總體而言，對剛?cè)狁詈喜⒙?lián)平臺的研究目前仍處于起步階段，這方面的研究對并聯(lián)平臺的高速、高精度發(fā)展具有重要意義。

并聯(lián)定位平臺可分為平面定位、球面定位以及空間定位平臺，其中平面定位平臺結(jié)構(gòu)相對簡單，在實際中應(yīng)用最多。本文設(shè)計了一種3-RRR剛?cè)崞矫娌⒙?lián)定位平臺，并對柔性連桿進行優(yōu)化設(shè)計，加工出實物平臺并進行控制系統(tǒng)實驗。

1 3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺設(shè)計及運動分析

本文設(shè)計的3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺如圖1所示。平臺具有三個自由度：動平臺在x、y方向的移動以及繞z軸的轉(zhuǎn)動。電機軸與主動柔性連桿采用固定副連接，動平臺與從動柔性連桿采用轉(zhuǎn)動副連接。通過協(xié)調(diào)三個電機運動，控制動平臺的運動軌跡。

圖1 3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺示意圖

機構(gòu)的運動分析，即求解機構(gòu)關(guān)節(jié)輸入與末端執(zhí)行器輸出之間的關(guān)系，是分析機構(gòu)速度、加速度以及動力學(xué)特性的基礎(chǔ)[5,6]。在實際應(yīng)用中，往往是已知末端執(zhí)行器期望軌跡，需要對機構(gòu)輸入件的運動狀態(tài)進行設(shè)計，因此反解法比正解法更具有實際意義[7]。另一方面，對于并聯(lián)機構(gòu)，正解法十分復(fù)雜，所以本文采用反解法對并聯(lián)平臺進行運動學(xué)分析。

圖1中，靜平臺A1A2A3是邊長為L的等邊三角形，動平臺C1C2C3是半徑為r的圓。動平臺的位置用其中心點0的坐標（x，y）和矢量OCi(i=1，2，3)與x軸正方向之間的夾角θi表示。設(shè)矢量A1B1、A2B2、A3B3向徑均為a；矢量B1C1、B2C2、B3C3向徑均為b；矢量A1O向徑為，幅角為1ψ；矢量A2O向徑2R，幅角為2ψ；矢量A3O向徑為3R，幅角為3ψ。由三個封閉矢量圖A1B1C1OA1、A2B2C2OA2、A3B3C3OA3可知：將式(1)～式(3)分別在x軸、y軸上投影可得3個電機轉(zhuǎn)角分別為：

2 3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺結(jié)構(gòu)優(yōu)化

對并聯(lián)定位平臺結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計主要從平臺承載能力、抗變形能力以及避免共振等方面考慮[8]，具體包括：柔性桿鉸接頭形式、柔性桿件的尺寸。

2.1 鉸接頭形式設(shè)計

柔性桿件的鉸接頭形式一方面影響動平臺的承載能力，另一方面鉸接頭的抗變形能力影響平臺的精度，因此合理選擇鉸接頭形式是設(shè)計并聯(lián)定位平臺的關(guān)鍵步驟。本文設(shè)計了三種鉸接頭形式，如圖2所示。根據(jù)三種鉸接頭形式，建立并聯(lián)定位平臺模型，給模型施加重力場，在動平臺上施加垂直于地面大小為10N的力，通過有限元分析鉸接頭、動平臺的垂直位移以及鉸接頭所受的應(yīng)力，結(jié)果如表1所示。

圖2 鉸接頭形式

表1 三種鉸接頭方式有限元分析結(jié)果

通過分析表1可看出，方式1與方式2本質(zhì)上是相同的，三種方式下鉸接頭與動平臺的最大垂直位移基本相同，但是方式3鉸接頭所受的最大應(yīng)力，明顯小于前兩者，因此在其他條件相同的情況下，本文采用方式3鉸接頭。

2.2 柔性桿尺寸設(shè)計

柔性桿件尺寸的設(shè)計主要考慮電機運行頻率與并聯(lián)定位平臺固有頻率的關(guān)系，避免發(fā)生共振現(xiàn)象。平臺所用驅(qū)動電機為57系列步進電機，步距角為1.8°。其共振區(qū)一般為180pps～250pps(pulses per second)，即在未細分驅(qū)動的情況下，共振轉(zhuǎn)速區(qū)域為0.9r/s～1.25r/s；在8細分驅(qū)動下為0.1125r/s～0.15625r/s；在16細分驅(qū)動下為0.05625r/s～0.078125r/s；在32細分驅(qū)動下為0.028125 r/s～0.0390625r/s；另外，步進電機在低頻工作時，存在低頻共振現(xiàn)象，所以，應(yīng)避免電機在低頻狀態(tài)下工作。

定位平臺主動桿驅(qū)動速度設(shè)計為5°/s，此時步進電機轉(zhuǎn)速為0.0139r/s，與上述共振區(qū)很接近，且屬于低頻工作，所以應(yīng)避免電機在這個轉(zhuǎn)速下工作。通過在電機與主動桿之間增加減速器，選擇減速器減速比為198，則電機轉(zhuǎn)速為2.75r/s，考慮定位精度問題，采用32細分驅(qū)動，則電機轉(zhuǎn)速為88r/s，此時，電機運行頻率和共振區(qū)較遠，不會引起共振。

將并聯(lián)定位平臺做適當?shù)暮喕糜邢拊椒╗9]，分析在不同連桿參數(shù)下平臺的各階模態(tài)和共振頻率，找出具有較優(yōu)頻率特性的結(jié)構(gòu)。同時考慮設(shè)計運行速度下、不同細分數(shù)下電機的運行頻率，避免該頻率與平臺各階模態(tài)頻率相近，從而達到避免共振的目的。為方便起見，主動桿和從動桿設(shè)計為等長等厚等寬，選取10組桿件尺寸，如表2所示，分析不同桿長、桿寬、桿高對平臺模態(tài)的影響。

表2 桿件尺寸列表

取并聯(lián)定位平臺前六階模態(tài)進行分析，由圖3可知，平臺各階頻率和桿長基本呈線性關(guān)系，且變化不大。各階頻率距離電機運行頻率都較遠，因此桿長因素對平臺的振動影響較小。

圖3 桿長對并聯(lián)平臺前六階固有頻率的影響

圖4 桿寬對并聯(lián)平臺前六階固有頻率的影響

由圖4可看出，桿寬設(shè)定為3mm時，平臺3、4階頻率和16細分驅(qū)動下電機運行頻率較接近，其1、2階也基本與8細分驅(qū)動下電機運行頻率相同。桿寬為4mm時，平臺各階頻率都能較好地避開電機運行頻率。同時為了以后研究動平臺振動的方便，桿的剛度不宜過大，否則在實驗中觀察測量平臺的振動比較困難，因此設(shè)計桿寬為4mm。

圖5 桿高對并聯(lián)平臺前六階固有頻率的影響

在圖5中，桿高為18mm和22mm時，平臺的4階頻率和32細分驅(qū)動下電機運行頻率較接近。桿高為16mm時，1、2階頻率又和16細分驅(qū)動下電機頻率較接近，故優(yōu)選20mm桿高。綜上分析，本實驗平臺選擇160mm×4mm×20mm的桿，在這個參數(shù)下平臺的各階固有頻率和電機運行頻率保持了較大的差距，避免了平臺運行時共振現(xiàn)象的發(fā)生。

3 3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺控制實驗

根據(jù)定位平臺優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，加工3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺，如圖6所示。選用步進電機型號為57GP198B12，驅(qū)動器型號為KD-2MD530，控制單元采用樂創(chuàng)自動化的MPC08SP運動控制卡，利用3個拉線式位移傳感器（型號：PID-20-P），測量精度為0.01mm，對動平臺位置進行檢測。

圖6 3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺實物圖

為了驗證運動分析結(jié)果，基于LabVIEW設(shè)計平臺控制系統(tǒng)并進行控制實驗[10]，控制系統(tǒng)原理圖如圖7所示。

圖7 控制系統(tǒng)原理圖

設(shè)定期望軌跡為半徑為15mm的圓弧曲線，根據(jù)1中推導(dǎo)的定位平臺反解公式，控制步進電機，實驗結(jié)果如圖8所示。

圖8 定位平臺實驗曲線

由圖8可知，動平臺實際運動曲線與仿真曲線基本重合，驗證了運動學(xué)分析的結(jié)果。同時，動平臺在運動過程中振動很小，進一步說明了平臺結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的合理性。實際運動曲線與仿真曲線存在一定的偏差，主要是由于平臺加工精度、傳感器延時、減速器齒輪間隙等原因造成的，有關(guān)齒輪間隙補償將在以后進一步分析。

4 結(jié)論

本文設(shè)計了一種3-RRR剛?cè)岵⒙?lián)定位平臺，通過對平臺進行反運動學(xué)分析，推導(dǎo)出了各電機輸出轉(zhuǎn)角與動平臺軌跡的關(guān)系。通過有限元分析，對柔性連桿鉸接頭進行了優(yōu)化設(shè)計，確定了鉸接頭形式。比較不同桿長、桿寬、桿高對平臺固有頻率的影響，以避開電機運行頻率、避免共振為優(yōu)化目標，得到了最優(yōu)的桿件尺寸：160mm×4mm×20mm。實驗結(jié)果表明，動平臺實際運動曲線與仿真曲線基本重合，平臺運行過程中振動很小，驗證了運動學(xué)分析結(jié)果以及平臺結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的有效性。

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