劉家良

能否依照一條“主線”對問題進行合理分類是衡量學生思維條理性及嚴謹性的試金石.在初中階段，具有哪些因素的問題能誘發(fā)學生的分類討論呢？對此，筆者歸納了誘發(fā)學生分類討論的七種因素，旨在引導學生思考與分類有關的問題時能找出問題中的一條“主線”作為標準進行分類，合理取舍，力求使各種可能的結果做到不重不漏，以此逐步養(yǎng)成學生的分類討論意識，培養(yǎng)學生思維的條理性和嚴謹性.

一、邊（角）指代不明誘發(fā)的分類

某些圖形中的邊（或角）的大小雖已知，但具體是哪條邊（或哪個角）指代并不明確.對此先將邊（或角）歸類，再依據(jù)定義或定理求解.

例1 等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為13，則它的周長為（ ）.

（A）25 （B）25或32 （C）32 （D）19

分析：長為6和13的兩邊，沒有明確“誰”是等腰三角形的底邊和腰，所以先需將“6”歸類（分別為底邊和腰）再求三角形的周長.但注意當6為腰時，則其他兩邊為6， 13，因為 6+6<13，所以6，6，13不能構成三角形，應舍去.故應選C.

例2 一個直角三角形的兩邊長分別為6和8，則該三角形中較小銳角的正弦值為 .

分析：長為8的邊雖在已知邊中較長，但沒有明確出它是直角邊還是斜邊，對此先需對“8”歸類（分別為直角邊和斜邊）.結果為：或.

中等生和學困生在解答邊（或角）指代不明的問題中，常常會丟掉其中的一種可能情況.對此，教師需將具有種屬和并列關系的概念“串”在一起，通過比對，尋找異同點，澄清模糊點，做到準確理解概念內涵，把握概念外延.在批改作業(yè)中，在“隱藏”分類的關鍵字眼處用“字符邊框”的方式圈注進行提示，如例2中可將 “兩邊長”圈注，提醒學生應分類思考.

二、圖形間相對位置關系不明朗誘發(fā)的分類

圖形之間的相對位置關系若在已知條件中不明朗，則需先列出所有可能的位置關系，再分情況逐一求解.

例3 已知△ABC的外心為點O，若∠BOC=100°，則∠A的度數(shù)為 .

分析：△ABC與其外心O的位置關系存在三種情況：當△ABC為銳角三角形時，其外心O在形內；當△ABC為鈍角三角形時，其外心O在形外；當△ABC為直角三角形時，其外心O在斜邊上.而這三種情況都有可能，如圖1，圖2.結果為：50°或130°.

【注】多數(shù)學生只想到外心在三角形內部而忽視了外心在三角形外和一邊上的情形.對此，教師在作業(yè)講評時，要讓學生逐一按銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形畫出三角形的外心，明確三種情況，在理解外心定義中，融入了分類意識.

三、對應關系不明確誘發(fā)的分類

三角形的全等或相似的判定和性質都體現(xiàn)了“對應”思想.所以在已知圖形全等或相似的前提下解邊（或角）的問題時，需要突出邊（或角）的對應關系.

例4 兩個三角形相似，一個三角形的三邊長分別為，，2，另一個三角形的兩邊長分別為1，，則它的第三邊長為 .

分析：已知三角形的三邊按從小到大的順序排序為，，2，.設所求三角形的第三邊長為x，因為兩個相似三角形中邊的對應關系不明確，所以需將x的取值需分三種情況：x<1，1.至此，按相似三角形對應邊的比相等即可得到x值.結果為x=.

【注】雖然有部分學生也得到了問題的答案，但是沒有分類的一種“巧合”.對此類問題要樹立對應思想，形成思維問題的有序性.

四、“動”——誘發(fā)圖形量變或形變的分類

這里，“動” 指圖形大小（或形狀）變化的同時其相應圖象也隨之發(fā)生變化.解這類問題時，要學會“閱讀”圖象，既要分“段”破譯，又要將“段”與“段”綜合在一起通盤思考.對此要挖掘每段圖象所蘊含的信息量和“段”與“段”之間“折點”的信息，將形與數(shù)的結合與轉換思想融入其中.

例5 如圖3，點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P，點Q同時從點B出發(fā)，點P沿BE→ED→DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1cm/s.設P，Q出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為y（cm2），已知y與t的函數(shù)關系的圖象如圖4（曲線OM為拋物線的一部分）.則下列結論：

①AD=BE=5cm；②當0

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

分析：從圖4中看出△QBP的面積變化呈現(xiàn)出三個特征：綜合圖象前2段的信息（5s時△QBP的面積最大且持續(xù)2s面積都不變），對照圖3，知P，Q出發(fā)5秒時，點P到達點E，同時點Q到達了點C，從而得到BC，BE的長度；在第2段圖象中，對照圖3，點P從點E到點D中，用時2s，可得ED，AE的長度.在第3段圖象中，對照圖3，點P從點D到點C中，△QBP的面積逐步減小，直至為0.

解：根據(jù)圖4中前2段的信息，結合圖3，知當點P到達點E的同時點Q到達了點C.因為點P，Q的運動的速度都是1cm/s，所以BC=BE=5，AD=5.當0

【注】根據(jù)圖4判斷出點P到達點E時，點Q到達點C是解題的關鍵，是本題的切入點.

五、式、方程、函數(shù)內涵不具體時誘發(fā)最高項系數(shù)為0和非0的分類

當一個式、方程或函數(shù)中的最高項系數(shù)是含有字母的式子且式、方程或函數(shù)的“名稱”不明確時，需對含字母的式子是0和非0進行分類.

例6 已知函數(shù)y=mx2-6x+1（m是常數(shù)）.若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求m的值.

分析：最高項的系數(shù)為m，而函數(shù)沒有明確一定是二次函數(shù)，所以需對m為0和非0的情況進行分類.①當m=0時，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個交點（，0）；②當m≠0時，y=mx2-6x+1為二次函數(shù).因為函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，所以二次方程mx2-6x+1=0有兩個相等的實數(shù)根.所求m的值為0或9.

解這類問題時需要學生先仔細讀題、審題后再下筆.教師在“究因”中，要將易混的相關概念通過學生比較尋找出異同點，同時結合解題摳字眼的過程進一步明晰概念的內涵.

六、雙曲線“分支”描述誘發(fā)的分類

反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象為雙曲線.對同一個k值，其增減性應分“象限”考察，就是說，同一個k值，同一個象限內兩點的縱坐標的大小可以按“增減性”去判斷，但在兩個分支上的點就不能按“增減性”去判斷了.

例7 一次函數(shù)y1=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2=（m≠0），在同一直角坐標系中的圖象如圖6所示，若y1>y2，則x的取值范圍是（ ）.

（A）-2

（B）x<-2或0

（C）x<1

（D）-2

分析：由圖6知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點（-2，-2），（1，4）.當-2y2；當x>1時（第一象限），y1>y2.故此，選A.

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象性質及學生讀圖能力，旨在讓學生注意到反比例函數(shù)的“增減性”是“分支”（分象限）考察的.

七、“規(guī)則”呈現(xiàn)動態(tài)誘發(fā)的分類

某些應用題的“規(guī)則”呈現(xiàn)出“動態(tài)”性，則相應的計算法則也隨之發(fā)生了變化.

例8 某樓盤一樓是車庫（暫不出售），二樓至二十三樓均為商品房（對外銷售）.商品房售價方案如下：第八層售價為3000元/米2，從第八層起每上升一層，每平方米的售價增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價減少20元.已知商品房每套面積均為120平方米.開發(fā)商為購買者制定了兩種購房方案：

方案一：購買者先交納首付金額（商品房總價的30%），再辦理分期付款（即貸款）.

方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8%的優(yōu)惠，并免收五年物業(yè)管理費（已知每月物業(yè)管理費為a元）.

（1）請寫出每平方米售價y（元/米2）與樓層x（2≤x≤23，x是正整數(shù)）之間的函數(shù)解析式.

（2）小張已籌到120000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？

（3）有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認為此方案還不如不免收物業(yè)管理費而直接享受9%的優(yōu)惠劃算.你認為老王的說法一定正確嗎？請用具體數(shù)據(jù)闡明你的看法.

分析：（1）購買者購買的樓層x有可能高于第八層，也有可能低于第八層，而兩者的購房方案不同.故此需將x分大于8和小于8兩種情況討論.

（2）因為小張購房采用方案一，故只需求出小張按這種方案付款的算式，需按照高于第8層和低于第8層兩種情況來進行（承接第一問）；無論購置哪一個樓層，小張付款金額都不會大于120000元，由此產生了不等關系.

（3）判斷老王自想的法則和方案二哪一個購房更劃算，需先求出各自對應的付款算式.因為方案二中的算式中含有字母a，無法直接比較二者大小，故應采用逆向思維的方法分類來解.

解：（1）當2≤x≤8且x是正整數(shù)時，y=3000-（8-x）×20=20x+2840；當9≤x≤23且x是正整數(shù)時，y=3000+（x-8）×40=40x+2680.

（2）由（1），知①當2≤x≤8時，因為最貴的是第8層，首付款為：3000×120×30%=108000元，小于120000元，所以小張可從2～8層中任選一層；②當9≤x≤23時，由（40x+2680）×120×30%≤120000，得x≤16.因為x為正整數(shù)且9≤x≤23，所以小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層.

（3）若老王按方案二購買第十六層，則要實交房款為w1=（40×16+2680）×120×92%-60a（元）.若按老王自想的法則要交房款為w2=（40×16+2680）×120×91%（元）.w1-w2=3984-60a.當w1>w2時，得0

【注】（1）分類求函數(shù)式是一個從特殊歸納出一般規(guī)律的探究過程.（2）“120000元”購置樓房，不論購買哪一層，有可能出現(xiàn)剩余，也有可能用盡.（3）逆向性分類（由結論找條件），展現(xiàn)了思維的靈動性.

以上列舉了誘發(fā)學生分類討論的七種因素，只不過是拋出了一塊“磚”（分類的形式、內容）而已，從中如何引出一塊玉（分類的意識和思想）是筆者撰文的歸宿點.在教學中讓學生體驗具有種屬關系概念的分類原則（如有理數(shù)、實數(shù)的分類），從解有關“分類”的習題（如動點、圓、相似三角形）中主動尋找分類的“主線”.久之，分類的意識、思想就會逐步生成.