孟　宗　王曉燕　馬　釗

1.河北省測試計量技術及儀器重點實驗室(燕山大學),秦皇島,066004 2.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心,秦皇島,066004

融合小波分解與時頻分析的單通道振動信號盲分離方法

孟宗1,2王曉燕1馬釗1

1.河北省測試計量技術及儀器重點實驗室(燕山大學),秦皇島,066004 2.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心,秦皇島,066004

針對單通道振動信號盲源分離是一個病態(tài)問題，且傳統(tǒng)的振動信號盲源分離方法往往忽略信號的非平穩(wěn)性的問題,提出了一種融合小波分解與時頻分析的單通道振動信號盲源分離方法。首先利用小波分解與重構將單通道信號轉化為多通道信號，解決了盲源分離的欠定問題;然后利用基于時頻分析的盲源分離算法分析非平穩(wěn)信號，得到源信號的估計信號,實現(xiàn)了非平穩(wěn)信號盲源分離。仿真和實驗結果表明，該方法可以有效地解決單通道非平穩(wěn)振動信號的盲源分離問題。

盲源分離；小波分解；時頻分析；故障診斷

0　引言

盲源分離(blind source separation,BSS)[1]對源信號的先驗知識要求很少，但是盲源分離要滿足一些基本條件，如源信號數(shù)不多于觀測信號數(shù)，源信號是非高斯、平穩(wěn)且相互統(tǒng)計獨立的。在實際中,通常希望用較少的傳感器獲得更多的設備狀態(tài)信息，因此，欠定的盲源分離甚至單通道混合信號的盲源分離普遍存在于機械故障診斷中。申永軍等[2]通過Gabor變換與逆變換,實現(xiàn)了混合信號升維,進而實現(xiàn)正定盲源分離;毋文峰等[3]針對單通道問題，提出了基于經(jīng)驗模式分解的盲源分離方法;李志農(nóng)等[4]結合局域均值分解和盲源分離的特點,提出了一種基于局域均值分解的欠定盲源分離方法;李曉暉等[5]針對一維觀測矩陣的極度欠定盲源分離模型，利用總體經(jīng)驗模式分解的優(yōu)勢解決了欠定的盲源分離問題。

實際機械設備中，振動信號往往表現(xiàn)為非平穩(wěn)的，有必要借助時頻分析(time-frequency analysis,TFA)的優(yōu)點,將盲源分離拓展到時頻域[6-9]。針對這種機械振動信號具有欠定性,且不能忽略信號的非平穩(wěn)性的盲源分離情況,本文提出了融合小波分解與時頻分析的單通道盲源分離方法。該方法利用小波分解與重構實現(xiàn)信號的升維，重構觀測信號;對重構后的觀測信號進行基于時頻分析的盲源分離,得到了源信號的估計信號。

1　基于時頻分析的盲源分離

考慮到機械故障信號的非平穩(wěn)性，其頻譜特性是隨時間而變化的，而時頻分析是分析非平穩(wěn)信號的重要工具[10]。本文充分利用時頻分析和盲源分離的優(yōu)點[11],對機械振動信號進行分離處理?；跁r頻分析的盲源分離主要包括以下兩部分。

(1)對觀測信號進行白化處理?？紤]無噪聲干擾的瞬時混合的盲源分離問題，m維觀測向量x(t)為

x(t)=As(t)

(1)

x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T

s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T

其中,s(t)是n維未知的相互獨立源信號,且m≥n；A是一個未知的混合矩陣。

定義觀測信號x(t)的自相關矩陣為

Rx=E[x(t)x(t)*]

其中,上標*表示復共軛,對Rx進行特征值分解得到其特征值和相應的特征向量，n個最大的特征值和相應的特征向量分別用λ1,λ2,…,λn和h1,h2,…,hn表示。假設受到的干擾為白噪聲，則噪聲方差σ2的估計是Rx的m-n個最小特征值的平均值。白化信號z(t)=(z1(t),z2(t),…,zn(t))T可由下式得到：

i=1,2,…,n

白化矩陣W為

W=[(λ1-σ2)-1/2h1(λ2-σ2)-1/2h2…

(λn-σ2)-1/2hn]H

其中，上標H表示復共軛轉置。對式(1)左乘一個白化矩陣W，得到白化后的觀測信號：

z(t)=Wx(t)=WAs(t)=Us(t)

(2)

由式(2)可以看出,白化信號是源信號的一個“酉矩陣混合”。

(2)矩陣聯(lián)合對角化。同時對式(1)左右兩端進行時頻變換,得到源信號與觀測信號的時頻分布矩陣的關系：

Dxx(t,f)=ADss(t,f)AH

其中,Dss(t,f)為源信號的時頻分布;Dxx(t,f)為觀測信號的時頻分布。將Dxx(t,f)左右分別乘以W,得到白化的時頻分布矩陣：

Dzz(t,f)=WADss(t,f)AHWH=UDss(t,f)UH

得到白化矩陣W和酉矩陣U后,則源信號的估計信號為

(3)

其中,時頻分析采用平滑偽Wigner-Ville分布。

2　融合小波分解與時頻分析的單通道盲源分離

對單通道振動觀測信號進行小波分解與重構，使得盲源分離的觀測信號數(shù)目大于或等于源信號數(shù)目，滿足盲源分離的基本假設條件。結合小波分解與基于時頻分析的盲源分離方法，不僅可以處理欠定的振動信號，而且可以有效地分析非平穩(wěn)信號。單通道信號盲源分離的分離過程如圖1所示。

圖1　單通道盲源分離過程

具體分解步驟如下：

(1)x(t)是從傳感器獲得的單通道觀測信號,對x(t)進行小波分解,得到小波分解的低頻系數(shù)cA1與高頻系數(shù)cD1。

(2)利用小波系數(shù)進行信號的重構，得到新的多維觀測信號x,xi,0,xi,1,xi-1,1,…,xi-n+1,1。

(3)對新的多維觀測信號進行奇異值分解，利用貝葉斯準則進行源數(shù)估計，得到源信號的數(shù)目。

(4)從新的觀測信號中選取與源信號數(shù)目相同的維數(shù)的觀測信號,構成新的觀測信號。

(5)對觀測信號進行白化處理，得到白化矩陣W以及白化后的觀測信號。

(6)計算白化后數(shù)據(jù)的時頻分布,采用平滑偽Wigner-Ville分布。

(7)聯(lián)合對角化時頻分布,得到酉矩陣U。

(8)根據(jù)式(3)估計出源信號。

3　仿真

旋轉機械有兩個至關重要的組成部分，即軸承和齒輪。當軸承發(fā)生故障時，因為受力不均勻會引發(fā)振動信號的幅值調制；齒輪是用來傳遞力的，當齒輪發(fā)生故障時，由于承載的不對稱性，將會出現(xiàn)嚙合頻率調制現(xiàn)象。軸承和齒輪的振動信號可分別對應信號的調幅、調頻現(xiàn)象。融合小波分解與時頻分析的盲源分離方法將欠定盲源分離轉化為正定盲源分離，再利用時頻分析的優(yōu)勢，充分描述了非平穩(wěn)信號。對于非平穩(wěn)信號的欠定盲源分離問題,該方法可以很好地分離出估計源信號。據(jù)此仿真3個振動源信號s1、s2、s3：

其中,f1=100 Hz,f2=150 Hz,f3=180 Hz,f4=500 Hz,f5=1000 Hz,仿真獲得相應的3個源信號的波形,如圖2所示。

(a)源信號1波形

(b)源信號2波形

(c)源信號3波形圖2　源信號時域波形

取隨機混合矩陣

根據(jù)式(1),采用線性混合的方法，將這3個源信號混合后得到兩個混合信號。為了驗證本文方法可以有效地解決單通道盲源分離問題，假設在盲源分離應用中，由于監(jiān)測條件的限制，僅僅監(jiān)測到了一路觀測信號，所以從兩個混合信號中選取一個，其波形圖見圖3，將選取的圖3所示的信號作為實驗的單通道觀測信號,對其進行分析、驗證。

圖3　單通道混合信號時域波形

利用小波分解方法對該單通道混合信號進行分解，得到一系列不同頻率的子帶信號，從中選擇2個信號與原混合信號構成新的觀測信號，如圖4所示，使得觀測信號的數(shù)目與源信號的數(shù)目相同(均為3個),從而使得盲源分離的問題由欠定轉換為正定。

(a)新觀測信號1波形

(b)新觀測信號2波形

(c)新觀測信號3波形圖4　新觀測信號時域波形

采用傳統(tǒng)的盲源分離方法對新的觀測信號進行分離，如JADE算法，得到的分離結果如圖5所示。對比圖5與圖2可以看出，JADE分離的3個估計信號與源信號的排列順序發(fā)生了變化，每個源信號相對應的估計信號的波形不平滑，有毛刺并且有明顯的變形，顯然，傳統(tǒng)JADE算法分離得到的估計信號效果很不理想。

(a)估計信號1波形

(b)估計信號2波形

(c)估計信號3波形圖5　JADE分離估計信號

對于非平穩(wěn)信號，其頻譜特性是隨著時間變化而變化的，而時頻分析為分析非平穩(wěn)信號提供了有力的工具，將時頻分析與盲源分離相結合，利用各自的優(yōu)點進行分離。對新的觀測信號進行平滑偽Wigner-Ville變換，得到相應的時頻分布，如圖6所示。

(a)新觀測信號1時頻分布

(b)新觀測信號2時頻分布

(c)新觀測信號3時頻分布圖6　觀測信號的時頻分布

(a)新觀測信號1分離結果

(b)新觀測信號2分離結果

(c)新觀測信號3分離結果圖7　TFA-BSS方法分離結果

從圖6可以清楚地看到每個觀測信號中相應的歸一化頻率。對于非平穩(wěn)振動信號,采用傳統(tǒng)的盲源分離方法得不到很好的分離效果。所以,采用基于時頻分析的盲源分離(TFA-BSS)方法對上述新的觀測信號進行分離，分離結果如圖7所示。對比圖2和圖7可知，源信號得到了很好的恢復，波形也得到了很好的保持。

對比不同的分離方法得到的結果，利用相似系數(shù)作為評價分離指標,結果見表1。表1中,si表示源信號,yi表示估計源信號,i=1,2,3。相似系數(shù)越接近1,則分離效果越好,從表1可發(fā)現(xiàn),小波分解滿足盲源分離的正定條件后,采用基于時頻分析的盲源分離算法比直接使用JADE算法得到的分離結果效果更好。

表1　分離結果評價指標

4　實驗

實驗以美國西儲大學的滾動軸承點蝕故障數(shù)據(jù)為研究對象。在軸承故障實驗中，使用電火花加工技術在軸承內圈、外圈上均布置了單點故障。電機轉速為1797 r/min,故障直徑為0.1778 mm,滾珠個數(shù)是9,振動信號的采樣頻率為12 kHz。

軸承出現(xiàn)內圈故障或外圈故障時，滾動體每次通過故障點都會產(chǎn)生一個周期性的沖擊信號，內圈故障頻率為

外圈故障頻率為

式中,r為電機轉速;m為滾珠個數(shù)；d為滾動體直徑,d=7.9 mm；D為軸承節(jié)徑,D=39 mm;α為接觸角,α=0。

經(jīng)計算可得,軸承的內圈故障頻率理論值為162.1 Hz,軸承的外圈故障頻率理論值為107.5 Hz。為了驗證本文方法的有效性和可行性,將實驗中的內圈故障信號和外圈故障信號通過一個2×2矩陣混合,得到兩路混合觀測信號，選擇其中一路信號作為單通道觀測信號,信號時域波形如圖8所示。

圖8　單通道觀測信號

采用本文方法,首先對單通道信號進行進行小波分解，使觀測信號升維，重構得到新的觀測信號，滿足了盲源分離的正定條件;然后利用TFA-BSS方法對重構后的觀測信號進行盲源分離,得到了盲源分離的估計信號的時域波形，如圖9所示。

(a)分離信號1時域圖

(b)分離信號2時域圖圖9　分離信號時域圖

僅從時域圖中并不能確定軸承的故障類型。進一步對估計的源信號進行頻域分析，其包絡譜如圖10所示。

(a)分離信號1包絡譜圖

(b)分離信號2包絡譜圖圖10　分離信號包絡譜圖

由圖10可以看出,其中第一個包絡譜圖在105.5 Hz和210.9 Hz處分別出現(xiàn)了峰值,而軸承外圈故障頻率的理論值為107.5 Hz,105.5 Hz與理論值107.5 Hz非常接近，210.9 Hz明顯是對應二倍頻處，有細微的波動，可能是因為實際環(huán)境中客觀因素的影響，但是仍然可以斷定105.5 Hz對應著軸承的外圈故障特征頻率。圖10中第二個包絡譜圖在164.1 Hz出現(xiàn)了峰值，而軸承內圈故障頻率的理論值為162.1 Hz,164.1 Hz與理論值162.1 Hz非常接近,可能是因為電機轉速無法恒定在1797 r/min，而是在1797 r/min附近波動,可以斷定164.1 Hz對應著軸承的內圈故障特征頻率。因此,可以初步判定,觀測信號中混合有軸承內圈故障信號和外圈故障信號。

5　結語

針對實際機械故障診斷中，由于條件限制，源信號的數(shù)目往往大于傳感器的數(shù)目，傳統(tǒng)的盲源分離方法無法實現(xiàn)有效分離的難題，本文將小波分解與基于時頻分析的盲源分離方法相結合，通過小波分解與重構，實現(xiàn)觀測信號的升維，使觀測信號數(shù)大于或等于源信號數(shù)，從而實現(xiàn)信號盲源分離，進一步將該方法應用于單通道的振動信號的盲源分離中，通過仿真和實驗研究結果驗證了該方法的有效性和可行性。實際機械故障中源信號的幅值和頻率都是隨時間變化的，是非平穩(wěn)的，如果忽略非平穩(wěn)性，則盲源分離效果極差，本文結合時頻分析與盲源分離的優(yōu)點，實現(xiàn)了非平穩(wěn)信號的有效盲源分離。

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(編輯陳勇)

Single-channel Vibration Signal Separation by Combining Wavelet Decomposition with Time-frequency Analysis

Meng Zong1,2Wang Xiaoyan1Ma Zhao1

1.Key Laboratory of Measurement Technology and Instrumentation of Hebei Province(Yanshan University),Qinhuangdao,Hebei,066004 2.National Engineering Research Center for Equipment and Technology of Cold Rolling Strip,Qinhuangdao,Hebei,066004

Single-channel mechanical vibration signal-separation is an ill-conditioned problem,and in traditional methods, the blind source separation of vibration signals often ignores the nonstationarity.For this reason,a method on single-channel vibration signal separation was proposed based on wavelet decomposition and TFA.The method firstly used wavelet decomposition and reconstruction to make the single-channel signals into multi-channel signals,solving the problem of underdetermined blind source separation;Secondly,based on time-frequency analysis BSS was used to effectively analyze the non-stationary signals,then the estimation source signals were obtained,achieving blind source separation of non-stationary signals.Simulation and experimental results vertify the effectiveness of this method, and show the method can solve the problem of BSS of nonstationary single-channel vibration signals.

blind source separation(BSS);wavelet decomposition;time-frequency analysis(TFA);fault diagnosis

2014-09-28

國家自然科學基金資助項目(51575472,51105323);河北省自然科學基金資助項目(E2015203356);河北省高等學?？茖W研究計劃重點資助項目(ZD2015049)

TN911.7DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.010

孟宗,男，1977年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士。主要研究方向為機械設備監(jiān)測與故障診斷、動力學建模、信號檢測與處理等。王曉燕，女，1988年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。馬釗，男，1989年出生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。