殷菊+葉軍

教學(xué)“二次函數(shù)的圖象”這一節(jié)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)有很多資料使用了以下習(xí)題：y=ax2的圖象與y=2x2的圖象形狀相同，則a=_______。

命題者提供的答案是：a=2或-2，其命題意圖無(wú)非是：二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值大小決定了二次函數(shù)的形狀，因此|a|=2，所以a=2或-2。網(wǎng)上一些數(shù)學(xué)論壇里，支持此結(jié)論者不在少數(shù)，但這卻是一個(gè)“病題”。

得出這一“結(jié)論”大約是混淆了拋物線的“開口大小”與“形狀”這兩個(gè)內(nèi)涵不同的名詞。一般意義上所說(shuō)的“開口大小”，是指在同一坐標(biāo)系中，用垂直于對(duì)稱軸的直線去截拋物線，所得的弦長(zhǎng)的大小關(guān)系。大小只是相對(duì)而言，拋物線不是一個(gè)封閉圖形，因此不能簡(jiǎn)單地說(shuō)某條拋物線開口很大或很小。在高中數(shù)學(xué)中，引入“通徑”這一概念，就可以避免一些紛爭(zhēng)。

例：在同一坐標(biāo)系中，畫出y=2x2和y=0.5x2的圖象。

從圖象可以看出，在同一坐標(biāo)系中，y=2x2的圖象比y=0.5x2的圖象開口小。事實(shí)上，當(dāng)|a|越大時(shí)，y=|a|x2變化越快，體現(xiàn)在圖象上就是上升（或下降）越快，因此開口越小，函數(shù)圖象越“陡”。

但是，我們能否說(shuō)二者的圖象“形狀不同”呢？

在中學(xué)階段，我們對(duì)相似形的定義是：形狀相同的圖形叫作相似形。也就是說(shuō)，“形狀相同”等于同“相似”。而圖形的相似，既可以是直線形（三角形、多邊形等）的相似，也可以是曲線圖形（圓、拋物線、雙曲線等）的相似。研究三角形與多邊形的相似，我們有現(xiàn)成的判定定理，但是對(duì)于曲線形則沒有。更主要的區(qū)別是，多邊形都是有限的封閉圖形，而拋物線這樣的圖形卻可以無(wú)限延伸。那么，我們能簡(jiǎn)單地憑借一眼的直觀而判斷拋物線“形狀不同”，因此不相似嗎？

我們借助于《幾何畫板》工具來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。畫好拋物線y=2x2，然后拖動(dòng)x軸上的單位刻度1，以此改變坐標(biāo)系中單位長(zhǎng)度1所代表的實(shí)際長(zhǎng)度，則拋物線的開口大小隨之發(fā)生變化。上圖是同一個(gè)二次函數(shù)在不同坐標(biāo)系中的圖象形狀。很顯然，它們的“形狀不同”，但是它們卻是同一條拋物線！

其實(shí)，右圖可以看作左圖的局部放大。我們?cè)谧髨D中取出[-0.3，0.3]上的一段圖象，然后用放大鏡觀察，就會(huì)得到右圖的效果。而同樣的操作，放在三角形或多邊形上，卻不會(huì)出現(xiàn)如此效果。究其原因，是角度在“放大”過(guò)程中保持不變，由此反觀拋物線，哪一處有“角度”呢？

由此發(fā)現(xiàn)，研究曲線形的相似，不像多邊形這種“有棱有角”的圖形那樣通過(guò)測(cè)量角度作為判斷的條件之一，確實(shí)是一件比較麻煩的事情。因此，我們也不能簡(jiǎn)單地憑借觀察就斷言曲線是否“形狀不同”——雖然我們表達(dá)的只是“開口大小不同”這一側(cè)面。

若兩個(gè)圖形相似，則一定可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等合同變換，使之成為位似圖形。而一般意義上的位似基于以下定義：圖形F與F的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，且有以下關(guān)系：

（1）連接每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都通過(guò)同一點(diǎn)S；

（2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)或都在S的同側(cè)，或都在S的異側(cè)；

（3）如果點(diǎn)A與B是F上的任意兩點(diǎn)，它們?cè)贔′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′、B′，且SA′∶SA=SB′∶SB=k（常數(shù)）。

則稱F與F′是位似圖形，其中S是位似中心，k是相似系數(shù)。

也可以證明，兩條離心率相等的圓錐曲線都相似，拋物線的離心率都等于1，因此所有的拋物線都相似。

（作者單位：1.江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(xué) 2.南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）