程 國(guó)，丁正生

（1.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000；2.西安科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054）

一類二階變系數(shù)微分方程的通解

程 國(guó)1，丁正生2

（1.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000；2.西安科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054）

求解二階變系數(shù)微分方程一般比較困難，沒(méi)有通用的方法。根據(jù)一類二階變系數(shù)非線性微分方程的特點(diǎn)，通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為可降階的微分方程，再應(yīng)用一階微分方程的解法給出其通解公式，并在此基礎(chǔ)上給出了一個(gè)推論。

變系數(shù)；微分方程；通解

研究二階線性微分方程

在理論上和應(yīng)用上都有著非常重要的意義。由于二階線性微分方程與黎卡提（Riccati）方程的求解具有等價(jià)關(guān)系，而Liouville于1841年就證明了Riccati方程一般無(wú)初等解，因此式（1）的通解沒(méi)有普遍的解法。關(guān)于式（1）的通解結(jié)構(gòu)文獻(xiàn)［1］中給出了完整的結(jié)論。文獻(xiàn)［2-9］分別討論了一些特殊的二階變系數(shù)微分方程的求解方法，已取得了一些成果。本文研究了一類二階變系數(shù)非線性微分方程

的通解求法，其中P（x），Q（x），f（x）都是x的連續(xù)函數(shù)。并在n=0時(shí)得到了一系列二階變系數(shù)非齊次線性微分方程及其通解公式。

1 預(yù)備知識(shí)

本文中使用的術(shù)語(yǔ)、記號(hào)參考文獻(xiàn)［1］，不定積分表示被積函數(shù)的一個(gè)確定原函數(shù)，不含積分常數(shù)。

引理1［10］一階線性微分方程的通解是

引理2［10］可分離變量微分方程）的通解是

2 主要結(jié)果及其證明

3 應(yīng)用舉例

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007：325-328.

［2］劉瓊.一類二階變系數(shù)微分方程的解［J］.廣西右江民族師專學(xué)報(bào)，2002，15（6）：18-20.

［3］裴東林.關(guān)于一類微分方程初等解法的討論［J］.甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，17（3）：7-9.

［4］曹根牛.二階變系數(shù)齊次線性微分方程與黎卡提方程［J］.西安科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，24（2）：247-249.

［5］胡勁松，李先富，鄭克龍.一種二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，22（3）：220-222.

［6］梁洪亮，徐華偉.一類二階變系數(shù)常微分方程的可積條件［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（23）：157-160.

［7］張新麗.一類二階變系數(shù)線性微分方程的新解法［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9（14）：4102-4103.

［8］范小勤，畢朝暉.幾類二階變系數(shù)微分方程的求解［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（3）：200-203.

［9］張玉蘭.一類二階變系數(shù)線性微分方程的通解［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（4）：638-640.

［10］化存才，趙奎奇，楊慧，等.常微分方程解法與建模應(yīng)用選講［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：5-15.

（責(zé)任編輯：李堆淑）

General Solution to One Class Second Order Differential Equations with Variable Coefficients

CHENG Guo1，DING Zheng-sheng2

（1.College of Mathematics and Computer Application，Shangluo University，Shangluo 726000，Shaanxi；
2.College of Science，Xi'an University of Science and Technology，Xi'an 710054，Shaanxi）

The solution of second order differential equation with variable coefficients is generally difficult，and there is no universal method.Based on the characteristics of a class one second order nonlinear differential equation with variable coefficients，by variable substitution into reduced order differential equation，the general solution is given to the application of solution of first order differential equations，and on this basis，a corollary is proposed.

variable coefficient；differential equation；general solution

O175.1

A

1674-0033（2015）04-0005-02

10.13440/j.slxy.1674-0033.2015.04.002

2015-02-19

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（2013JK0597）

程國(guó)，男，甘肅張掖人，碩士，講師