張嘉望，郭軍獻(xiàn)，李福松

（機(jī)電動態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710065）

基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測

張嘉望，郭軍獻(xiàn)，李福松

（機(jī)電動態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710065）

針對基于傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法轉(zhuǎn)速預(yù)測精度較低的問題，提出了基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測方法。該方法根據(jù)已知的轉(zhuǎn)速序列曲線，對平滑系數(shù)在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索尋優(yōu)，以預(yù)測轉(zhuǎn)速的均方誤差作為尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)已知轉(zhuǎn)速曲線的不同變化趨勢，分段尋優(yōu)并擬合得到目標(biāo)函數(shù)與平滑系數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得到各段局部最優(yōu)平滑系數(shù)，對局部最優(yōu)平滑系數(shù)求和取平均值作為全段轉(zhuǎn)速曲線的最優(yōu)平滑系數(shù)，將最優(yōu)平滑系數(shù)應(yīng)用于工程，得到基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果。驗(yàn)證結(jié)果表明，基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測均方誤差σ=0.048 6，且算法可以實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)，能夠滿足工程要求。

轉(zhuǎn)速預(yù)測；三次指數(shù)平滑法；計(jì)算最優(yōu)平滑系數(shù)

0 引言

在美國研制、裝配的精確制導(dǎo)組件（PGK）［1］中，PGK執(zhí)行裝置［2］的控制電機(jī)定轉(zhuǎn)子機(jī)械角度一般是利用磁編碼器［3］進(jìn)行測量，磁編碼器的測量精度取決于其所用霍爾開關(guān)的數(shù)量。在PGK執(zhí)行裝置的有限空間中，磁編碼器最多只能采用六個(gè)霍爾開關(guān)，導(dǎo)致磁編碼器對控制電機(jī)定轉(zhuǎn)子機(jī)械角度的測量不能滿足工程要求，根據(jù)局部線性化處理原理［4］，電機(jī)定轉(zhuǎn)子機(jī)械角度與電機(jī)轉(zhuǎn)速之間存在線性函數(shù)關(guān)系，因此可以通過轉(zhuǎn)速預(yù)測來進(jìn)一步測量控制電機(jī)定轉(zhuǎn)子機(jī)械角度。

目前，美國的布朗提出的傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法是用的最多的轉(zhuǎn)速預(yù)測方法，但該方法的平滑系數(shù)沒有一個(gè)明確的求解方法，一般是由經(jīng)驗(yàn)值估計(jì)［5］得出，需要較強(qiáng)的工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，很難一次得到最優(yōu)平滑系數(shù)，且難以給出全局最優(yōu)值，導(dǎo)致轉(zhuǎn)速預(yù)測精度較低。本文針對此問題，提出了基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測方法。

1 傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法

三次指數(shù)平滑法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中利用已有數(shù)據(jù)序列進(jìn)行三次平滑處理，得出序列未來發(fā)展趨勢的預(yù)測方法。三次指數(shù)平滑法是布朗提出的，布朗認(rèn)為時(shí)間序列可以被合理地順勢推延，最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會持續(xù)到最近的未來。

三次指數(shù)平滑法是通過計(jì)算指數(shù)平滑值，配合一定的時(shí)間序列預(yù)測模型對現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實(shí)際觀測值與前一期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。三次指數(shù)平滑法建立步驟如下：

第一步：建立原始時(shí)間序列X0如下：

第二步：平滑系數(shù)的獲取。

在三次指數(shù)平滑法的計(jì)算中，平滑系數(shù)是用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷［5］取值，當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)穩(wěn)定的水平趨勢時(shí)，應(yīng)選取較小的系數(shù)值，常在0.05～0.20之間取值；當(dāng)時(shí)間序列有波動且長期趨勢變化不大時(shí)，可以選稍大的系數(shù)值，常在0.1～0.4之間取值；當(dāng)時(shí)間序列波動很大使長期趨勢變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯的上升或下降趨勢時(shí)，可選擇較大的系數(shù)值，如0.6～0.8間選值。

第三步：初始數(shù)據(jù)處理

選取合適的平滑系數(shù)α，α?（0，1），以及初始值S1（1），對原始時(shí)間序列進(jìn)行一次指數(shù)平滑處理，得到

式（2）中，S1（t）為一次指數(shù)平滑值，α為平滑系數(shù)，X0（t）為原始時(shí)間序列。

為保證數(shù)據(jù)的平整性，提高精度，在一次指數(shù)平滑值的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步進(jìn)行二次與三次的指數(shù)平滑，從而得到：

式（3）、（4）中，S2（t）為二次指數(shù)平滑值，S3（t）為三次指數(shù)平滑值。

第四步：建立三次指數(shù)平滑預(yù)測方程

式（5）中，y（t+T）為t+T時(shí)刻的轉(zhuǎn)速預(yù)測值，T為需要預(yù)測的時(shí)間序列（比如：當(dāng)T=1時(shí)表示需要預(yù)測下一時(shí)刻的轉(zhuǎn)速值），a（t）、b（t）、c（t）為方程參數(shù)。

2 基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測

2.1 最優(yōu)平滑系數(shù)求取

根據(jù)已知的PGK執(zhí)行裝置控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速曲線，對平滑系數(shù)在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索尋優(yōu)，在尋優(yōu)過程中，以預(yù)測轉(zhuǎn)速的均方誤差作為尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下；

式（9）中：σ為均方誤差，X0i為原始轉(zhuǎn)速序列，Yi為預(yù)測轉(zhuǎn)速序列，n為序列個(gè)數(shù)。

尋優(yōu)過程中每選取一個(gè)平滑系數(shù)α，通過公式（2）～（8）可以得到一組預(yù)測轉(zhuǎn)速序列Yi，將這組預(yù)測轉(zhuǎn)速序列Yi代入式（9）可以計(jì)算得到與這個(gè)平滑系數(shù)對應(yīng)的預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ，尋優(yōu)結(jié)束時(shí)可以得到預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ隨平滑系數(shù)α變化的離散序列。但是，搜索尋優(yōu)的步長決定了尋優(yōu)的精度和效率，步長越短尋優(yōu)精度越高，步長越長，尋優(yōu)效率越高，即使步長足夠短，仍不可能得到每一點(diǎn)的預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ隨平滑系數(shù)α變化的關(guān)系，所以我們可以對上述離散序列進(jìn)行擬合，得到預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ與平滑系數(shù)α的連續(xù)函數(shù)關(guān)系σ=f（α），該連續(xù)函數(shù)包含了所有平滑系數(shù)，然后求解方程（10），得到最優(yōu)平滑系數(shù)α。

一條轉(zhuǎn)速曲線中，可能會有線性變化和非線性變化的過程，因此應(yīng)該對整條曲線進(jìn)行分段，先分別求取線性變化和非線性變化段所對應(yīng)的局部最優(yōu)平滑系數(shù)，然后將局部最優(yōu)平滑系數(shù)求和取平均值作為全段轉(zhuǎn)速曲線的最優(yōu)平滑系數(shù)α。

2.2 基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測

將上述最優(yōu)平滑系數(shù)應(yīng)用于工程，根據(jù)公式（2）～（8）建立三次指數(shù)平滑預(yù)測方程，得到工程上基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果。

本文提出基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測，是根據(jù)已知的轉(zhuǎn)速序列曲線，對平滑系數(shù)在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索尋優(yōu)，以預(yù)測轉(zhuǎn)速的均方誤差作為尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)已知轉(zhuǎn)速曲線的不同變化趨勢，分段尋優(yōu)并擬合得到目標(biāo)函數(shù)與平滑系數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得到各段局部最優(yōu)平滑系數(shù)，對局部最優(yōu)平滑系數(shù)求和取平均值作為全段轉(zhuǎn)速曲線的最優(yōu)平滑系數(shù)α，將最優(yōu)平滑系數(shù)應(yīng)用于工程，得到基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 求取最優(yōu)平滑系數(shù)

選取已知的PGK執(zhí)行裝置控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速曲線如圖1所示。從圖1可以看出，0～20 s時(shí)間段（序列1）的轉(zhuǎn)速和40～60 s時(shí)間段（序列2）的轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)非線性變化，20～40 s時(shí)間段（序列3）的轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)近似線性變化。分別對序列1、序列2、序列3的平滑系數(shù)進(jìn)行搜索尋優(yōu)，尋優(yōu)結(jié)束可以得到每段的預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ隨平滑系數(shù)α變化的離散序列如圖2所示。

用matlab分別對三個(gè)離散序列進(jìn)行擬合得到預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差σ與平滑系數(shù)α的函數(shù)關(guān)系如下：

序列1：σ=1.4947α4—3.6195α3+3.4010α2—1.2869α+0.2150

序列2：σ=—0.3245α3+0.6736α2—0.3314α +0.0973

序列3：σ=1.5958α4—3.8711α3+3.6194α2—1.3649α+0.2240

由式（10）可以分別得到三段曲線的局部最優(yōu)平滑系數(shù)：α1=0.337；α2=0.32；α3=0.34。

對三段曲線的局部最優(yōu)平滑系數(shù)求和取平均值可以得到整段轉(zhuǎn)速曲線的最優(yōu)平滑系數(shù)如下：

3.2 基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測

1）對PGK執(zhí)行裝置的控制電機(jī)進(jìn)行吹風(fēng)試驗(yàn)，通過調(diào)整驅(qū)動鴨舵氣流的壓力，改變PGK執(zhí)行裝置控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速模擬彈丸飛行工作狀態(tài)，實(shí)際測試得到PGK執(zhí)行裝置控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化的離散序列如圖3所示。

2）圖3中吹風(fēng)試驗(yàn)共得到了715個(gè)轉(zhuǎn)速離散序列，利用公式（2）～（8）建立傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑方程，代入最優(yōu)平滑系數(shù)α=0.329，先選擇第1個(gè)轉(zhuǎn)速離散序列作為原始序列X0，得到第1個(gè)轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果n1；再選取第2個(gè)轉(zhuǎn)速離散序列作為原始序列X0，得到第2個(gè)轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果n2，依此類推，最后共得到715個(gè)轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果，這715個(gè)轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果都是離散的點(diǎn)，將這些離散點(diǎn)連起來就可得到基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測曲線，如圖4所示。

圖1 已知轉(zhuǎn)速曲線Fig.1 Known speed curve

圖2 預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差離散序列Fig.2 MSE prediction speed discrete sequence

圖3 吹風(fēng)試驗(yàn)得到的轉(zhuǎn)速離散序列Fig.3 Hair test speed discrete sequence

圖4 基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測曲線Fig.4 Speed predicted curve based on optimal smoothing factor

為了比較基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測曲線與吹風(fēng)試驗(yàn)轉(zhuǎn)速曲線的誤差，繪出圖5如下。

從圖5可以看出，基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測曲線與吹風(fēng)試驗(yàn)測試得到的轉(zhuǎn)速曲線吻合度較好，通常情況下，工程應(yīng)用要求均方誤差小于0.05，根據(jù)式（9）可以算出基于最優(yōu)平滑系數(shù)的預(yù)測轉(zhuǎn)速均方誤差為：σ=0.048 6，在工程要求范圍內(nèi)。

圖5 基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測曲線與吹風(fēng)試驗(yàn)轉(zhuǎn)速曲線比對圖Fig.5 Hair test speed prediction curve and speed curve alignment figure

3）預(yù)測算法快速性檢驗(yàn)

預(yù)測算法是否能夠?qū)崿F(xiàn)快速響應(yīng)也是考量的一個(gè)重要指標(biāo)，我們可以利用上述的電機(jī)轉(zhuǎn)速原始數(shù)據(jù)和Matlab工具，將三次指數(shù)平滑法的響應(yīng)時(shí)間與最常用的移動平均值預(yù)測算法和灰色預(yù)測模型進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表1。

表1 三種算法的響應(yīng)時(shí)間對比Tab.1 The response time of the three dgorithms

經(jīng)檢驗(yàn)，基于最優(yōu)平滑系數(shù)的三次指數(shù)平滑法的響應(yīng)時(shí)間介于移動平均值法和灰色模型的響應(yīng)時(shí)間之間，可以滿足快速響應(yīng)要求。

驗(yàn)證結(jié)果表明，基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測能夠滿足工程要求。

4 結(jié)論

本文提出了基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測方法。該方法根據(jù)已知的轉(zhuǎn)速序列曲線，對平滑系數(shù)在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索尋優(yōu)，以預(yù)測轉(zhuǎn)速的均方誤差作為尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)已知轉(zhuǎn)速曲線的不同變化趨勢，分段尋優(yōu)并擬合得到目標(biāo)函數(shù)與平滑系數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得到各段局部最優(yōu)平滑系數(shù)，對局部最優(yōu)平滑系數(shù)求和取平均值作為全段轉(zhuǎn)速曲線的最優(yōu)平滑系數(shù)α，將最優(yōu)平滑系數(shù)應(yīng)用于工程，得到基于最優(yōu)平滑系數(shù)的轉(zhuǎn)速預(yù)測結(jié)果。驗(yàn)證結(jié)果表明，基于最優(yōu)平滑系數(shù)三次指數(shù)平滑法的轉(zhuǎn)速預(yù)測均方誤差σ=0.048 6，且可以實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)，能夠滿足工程要求。

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［3］漆亞梅，李鐵才.采用磁編碼器實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速與位置檢測方法［J］.伺服控制，2011（4）：49-51.

［4］林紅.模擬電路基礎(chǔ)［M］.清華大學(xué)出版社，2007.

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Rotation Speed Prediction Based on Cubic Exponential Smoothing Method

ZHANG Jiawang，GUO Junxian，LI Fusong
（Xi’an Institute of Electromechanical Information Technology，Xi’an 710065，China）

For three exponential smoothing method based on traditional low speed prediction accuracy problems，a speed prediction based on optimal smoothing parameter cubic exponential smoothing method was presented in this paper.It was based on the known sequence speed curve smoothing coefficient to search optimization within their ranges.To take the mean square error speed prediction as optimization obiective function，depending on the known trends of speed curve，segmentation，optimization and fitting function of the obiective function with smooth coefficients was abtained.The local optimal smoothing coefficient for each segment of the local optimal smoothing coefficient wes averaged summed as the optimal speed curve.Smoothing factor of the whole paragraph and the optimal smoothing coefficients were used to get the speed prediction.Experimental results showed that the speed prediction based on optimal smoothing factor of three exponential smoothing could achieve rapid response to meet the engineering requirements.

rotation speed prediction；cubic exponential smoothing method；calculate the optimal smoothing factor

TP206.3

A

1008-1194（2015）05-0043-04

2015-04-06

張嘉望（1990—），男，陜西咸陽人，碩士研究生，研究方向：機(jī)械電子工程。E-mail：510701792@qq.com。