尹洪偉，李國(guó)林，路翠華

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

改進(jìn)的復(fù)值快速獨(dú)立分量分析算法

尹洪偉，李國(guó)林，路翠華

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

針對(duì)復(fù)值快速獨(dú)立分量分析算法（CFastICA）對(duì)初始權(quán)值敏感且收斂速度較慢的問(wèn)題，提出了改進(jìn)的CFastICA算法。該算法首先利用牛頓下降因子優(yōu)化牛頓迭代的收斂方向，使分離矩陣在一定程度上接近最優(yōu)值，然后去除牛頓收斂因子，利用普通牛頓迭代實(shí)現(xiàn)分離矩陣快速收斂。仿真實(shí)驗(yàn)表明：提出的算法擁有和牛頓下降CFastICA同樣的收斂精度，收斂時(shí)間比牛頓下降CFastICA減少了近53%，且在低SNR下，提出算法的綜合收斂性能明顯優(yōu)于CFastICA和牛頓下降CFastICA算法。

盲源分離；復(fù)值快速獨(dú)立分量分析算法；牛頓迭代

0 引言

由于盲分離算法對(duì)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)無(wú)依賴(lài)性，近年來(lái)其在雷達(dá)、聲吶、語(yǔ)音、通信、圖像和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都得到了快速發(fā)展［1-2］。而一些領(lǐng)域，如陣列信號(hào)處理，其信號(hào)往往是復(fù)數(shù)形式，針對(duì)該特點(diǎn)，實(shí)數(shù)盲分離算法被擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域［3］。其中最典型的算法為復(fù)值快速獨(dú)立分量分析（FastICA）算法，該算法因采用牛頓迭代而具有較快的收斂速度。但該算法存在一個(gè)大的缺陷，即當(dāng)初始分離矩陣偏離最優(yōu)值較遠(yuǎn)時(shí)，特別是含噪聲條件下，不容易收斂到到最優(yōu)點(diǎn)，甚至無(wú)法收斂［4-5］。為解決這個(gè)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了研究。但總體來(lái)看，對(duì)該問(wèn)題的解決方法主要有三種：一是對(duì)算法中非線(xiàn)性函數(shù)的優(yōu)化，如文獻(xiàn)［6—8］，該方法雖可以在一定程度上緩解上述問(wèn)題，但是也只是起到改善的效果，并不能從根源上解決；二是引入牛頓下降因子以保證牛頓迭代朝著最優(yōu)值方向，如文獻(xiàn)［9—11］，雖然效果很好，但這使得本來(lái)具有快速收斂?jī)?yōu)勢(shì)的牛頓算法速度被削減；三是先利用最速梯度法改善初始分離矩陣，然后再利用牛頓迭代獲取最優(yōu)分離矩陣，如文獻(xiàn)［5，12］，但是該算法中的所謂最速梯度，實(shí)際上就是牛頓算法［12］，并不能起到良好的穩(wěn)定效果。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了改進(jìn)的CFastICA算法。

1 復(fù)值ICA原理與信號(hào)預(yù)處理

1.1 復(fù)值ICA原理

早在20世紀(jì)60年代，Darmois就提出：若果源信號(hào)是相互獨(dú)立的，那么通過(guò)恢復(fù)混合后信號(hào)之間的相互獨(dú)立性就可得到源信號(hào)的估計(jì)［13］。

根據(jù)上述原理，假設(shè)有N個(gè)源信號(hào)s1（t），s2（t），…，sN（t），信號(hào)在接收端瞬時(shí)線(xiàn)性混合，則接收信號(hào)可表示為

式中：X=［x1，x2，…，xm］T為接收信號(hào)矩陣；S=［s1，s2，…，sN］T為源信號(hào)矩陣；A?Cm×N（m≥N）為信號(hào)混合矩陣；n=［n1，n2，…，nm］T為觀測(cè)白噪聲，且ni的方差為σ2并與源信號(hào)相互獨(dú)立。

盲分離就是尋找一個(gè)代價(jià)函數(shù)J（W ），并通過(guò)某種優(yōu)化準(zhǔn)則使J（W ）達(dá)到最優(yōu)值，此時(shí)的W即為所需分離矩陣，源信號(hào)的估計(jì)可以表示為

式中：y=［y1，y2，…，yN］T為源信號(hào)的估計(jì)。但是通常分離信號(hào)與源信號(hào)在幅值和順序上有所區(qū)別。

1.2 信號(hào)白化預(yù)處理

白化預(yù)處理是盲分離前十分重要的一步，它不僅可以改善盲分離算法的穩(wěn)定性，還可對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行降維（當(dāng)m≥N時(shí)）以減少計(jì)算量。

白化處理過(guò)程如下，設(shè)接收信號(hào)X已去均值，則其自相關(guān)矩陣可表示為

對(duì)RX特征值分解，可得

式中：U=［u1，u2，…，um］T為特征向量矩陣；Λ= diag｛［λ1，λ2，…，λm］｝為特征值矩陣。

當(dāng)m=N時(shí)，白化矩陣為

當(dāng)m＞N時(shí)，需對(duì)信號(hào)降維，假設(shè)特征值λ1≥λ2≥…≥λm，若能獲取信號(hào)個(gè)數(shù)N，則白化矩陣可以表示如下

式中：US=［u1，u2，…，uN］T為信號(hào)子空間向量矩陣；ΛS=diag｛［λ1，λ2，…，λN］｝為其對(duì)應(yīng)的特征值矩陣。而源信號(hào)數(shù)目的估計(jì)可以通過(guò)MDL，AIC等算法獲?。?4］。

于是，白化后信號(hào)為

2 CFastICA算法

CFastICA算法是FastICA算法引入到復(fù)值領(lǐng)域的擴(kuò)展形式，其代價(jià)函數(shù)為

式中：W=［w1，w2，…，wn］T為復(fù)數(shù)分離矩陣；G為非線(xiàn)性函數(shù)；Z為白化后的信號(hào)矩陣。

在復(fù)值盲分離中通常假設(shè)分離信號(hào)幅值為1，等價(jià)于在E｛WZ2｝=WHW=I下最優(yōu)化代價(jià)函數(shù)，于是式（8）可寫(xiě)為

利用牛頓算法對(duì)式（9）進(jìn)行優(yōu)化，可以得到分離矩陣W的迭代公式

式中：g為G的導(dǎo)數(shù)；g'為g的導(dǎo)數(shù)。非線(xiàn)性函數(shù)的選擇通常有以下三種：

3 改進(jìn)的CFastICA算法

為改善算法對(duì)初始矩陣的敏感性，引入牛頓下降法，在迭代公式（3）中加入牛頓下降因子，可得

式中：0＜α＜1為牛頓下降因子。

在式（10）和（11）的迭代公式中利用了白化信號(hào)特性E（ Z ZH）=I，但是當(dāng)m＞N時(shí)，由1.2節(jié)分析可知

由此，可見(jiàn)E（ Z ZH）≠I(mǎi)，特別是SNR較低時(shí)更為明顯。于是，對(duì)式（11）修正，可得

引入牛頓下降法雖提高了收斂穩(wěn)定性，卻降低了算法的收斂速度，為改善該缺陷，本文提出在信號(hào)分離初期利用牛頓下降法進(jìn)行分離，當(dāng)分離矩陣達(dá)一定精度之后，轉(zhuǎn)為普通CFastICA算法，這樣既能保證算法的穩(wěn)定性，又能提高收斂速度。

改進(jìn)后的算法步驟如下：

1）對(duì)接收信號(hào)X預(yù)處理，得到白化信號(hào)Z；

2）設(shè)置初始收斂因子0＜ε?1，0＜δ＜ε和初始分離矩陣W0；

3）利用式（13）迭代獲取分離矩陣W；

4）判斷分離矩陣是否滿(mǎn)足W—Wlast≤ε（Wlast為迭代前分離矩陣），若不滿(mǎn)足，返回步驟3）；

5）利用去掉牛頓下降因子α的式（13）進(jìn)一步迭代，獲取分離矩陣W；

6）判斷分離矩陣是否滿(mǎn)足W—Wlast≤δ，若不滿(mǎn)足，返回步驟5）；

7）獲取分離信號(hào)y=WZ。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

為驗(yàn)證算法有效性，選取3個(gè)源信號(hào)，圖1給出了信號(hào)的局部視圖，其中信號(hào)1為頻率1 MHz的余弦信號(hào)，信號(hào)2為調(diào)頻率等于4×1011Hz/s的LFM信號(hào)；信號(hào)3為頻率2.5 MHz的正弦信號(hào)。仿真信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為5 000，仿真時(shí)信號(hào)采用復(fù)數(shù)形式，計(jì)算機(jī)主頻2.1 GHz。

混合矩陣A利用Matlab隨機(jī)產(chǎn)生，經(jīng)混合后的信號(hào)形式如圖2所示。由圖可以看出，接收信號(hào)是雜亂無(wú)章的，無(wú)法辨析源信號(hào)。為此，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行分離。

利用改進(jìn)的CFastICA算法分離后的波形如圖3所示，可見(jiàn)混合信號(hào)經(jīng)盲分離后，波形得到了很好的恢復(fù)，只是信號(hào)的順序和幅度與源信號(hào)略有差異。

圖1 源信號(hào)波形Fig.1 Waves of source signals

圖2 接收信號(hào)波形Fig.2 Waves of received signals

圖3 分離信號(hào)波形Fig.3 Waves of separated signals

為說(shuō)明本文算法的分離性能，首先給出收斂性能指數(shù)PI的定義

式中：gij為全局矩陣［15］G中的元素；maxjgij為G中第i行元素中模的最大值；maxjgji為第j列元素中模最大值，且PI值越小，分離性能越好。

實(shí)驗(yàn)設(shè)置牛頓下降因子α=0.2，每種算法的初始分離矩陣均相同。圖4給出了SNR=5 dB時(shí)CFastICA算法、牛頓下降CFastICA算法和本文算法的收斂速度對(duì)比。

從圖4中可以看出，當(dāng)初始分離矩陣不理想且噪聲較大時(shí)，牛頓下降法收斂速度緩慢，CFastICA算法雖收斂速度很快，但不能收斂到最優(yōu)值，而本文算法在初始階段因采用牛頓下降法而收斂較慢，當(dāng)達(dá)到一定收斂性能時(shí)，改用牛頓迭代而迅速收斂，改進(jìn)的算法既保證了快速收斂，同時(shí)又具有與牛頓下降CFastICA算法同樣的收斂性能。

進(jìn)一步提高信噪比，圖5在SNR=25 dB時(shí)給出了算法的收斂性能，可以看出隨著SNR的提高，牛頓下降法和本文算法收斂速度都有很大提高，且在三種算法收斂性能都提高的同時(shí)，本文算法收斂性能同樣優(yōu)于CFastICA算法。而當(dāng)接收信號(hào)中不含有噪聲時(shí)，如圖6所示，3種算法的收斂性能幾乎一致。因此，本文算法在觀測(cè)數(shù)據(jù)含噪聲條件下更具有優(yōu)勢(shì)。

圖4 SNR=5 dB時(shí)算法收斂速度Fig.4 Convergence speeds ofthe algorithms when SNR=5 dB

圖5 SNR=25 dB時(shí)算法收斂速度Fig.5 Convergence speeds of the algorithms when SNR=25dB

圖6 無(wú)噪聲時(shí)算法收斂速度Fig.6 Convergence speeds of the algorithms when there’s no noise

從運(yùn)算時(shí)間方面，表1給出了3種算法在SNR =20 dB時(shí)對(duì)應(yīng)的分離時(shí)間，可以看出CFastICA算法具有最短的運(yùn)算時(shí)間，牛頓下降CFastICA運(yùn)算時(shí)間最長(zhǎng)，而本文算法處于兩者之間，其運(yùn)算時(shí)間比CFastICA算法慢40.47%，比牛頓下降CFastICA快52.85%。當(dāng)無(wú)噪聲時(shí)，由圖6可知三種運(yùn)算時(shí)間應(yīng)是相當(dāng)?shù)?，而有噪聲特別是SNR較低時(shí)，綜合收斂精度和運(yùn)算時(shí)間來(lái)看，本文算法性能較好。

表1 不同算法運(yùn)算時(shí)間對(duì)比Tab.1 Time comparison of different algorithms

5 結(jié)論

本文提出了改進(jìn)的CFastICA算法，該算法結(jié)合CFastICA算法和牛頓下降CFastICA算法的優(yōu)點(diǎn)，較好地解決了CFastICA算法的初值敏感和牛頓下降CFastICA算法收斂速度慢的問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)表明，提出的算法在低SNR擁有更好的性能。但算法收斂速度與CFastICA算法還有一定差距，下一步的研究方向應(yīng)集中在非線(xiàn)性函數(shù)方面，通過(guò)優(yōu)化非線(xiàn)性函數(shù)來(lái)提高收斂速度。

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An Improved Complex Value Fast ICA Algorithm

YIN Hongwei，LI Guolin，LU Cuihua
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

An improved CFastICA algorithm was proposed to solve the problem of initial value sensibility and to improve convergence speed.First，Newton decline factor was used to optimize Newton iteration convergence direction to make the separated matrix be close to the optimal value to a certain extent，then remove the convergence factor and use the original Newton iteration realize fast convergence.Simulation results showed that the proposed algorithm had the same convergence precision with Newton decline CFastICA，and its convergence time was 52.85%less than Newton decline CFastICA.The combination property of proposed algorithm was significantly better than both of CFastICA and Newton decline CFastICA under the low SNR.

blind source separation；complex value FastICA；Newton iteration

TN974

A

1008-1194（2015）05-0022-04

2015-02-11

尹洪偉（1987—），男，江蘇徐州人，博士研究生，研究方向：目標(biāo)中近程探測(cè)、識(shí)別與信息對(duì)抗技術(shù)。E-mail：yinhongwei168@126.com。