張玲玉，徐穎強(qiáng)，許璠，秦宇飛，陳仙亮

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安 710072）

含齒根裂紋的非標(biāo)齒輪嚙合剛度改進(jìn)算法及動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

張玲玉，徐穎強(qiáng)，許璠，秦宇飛，陳仙亮

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安 710072）

時(shí)變嚙合剛度是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)激勵(lì)，當(dāng)齒輪出現(xiàn)齒根裂紋時(shí)，嚙合剛度變化引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征是實(shí)現(xiàn)齒輪裂紋故障診斷的重要依據(jù)。以非標(biāo)齒輪為研究對象，針對齒根裂紋故障對其時(shí)變嚙合剛度的影響，建立考慮基圓與齒根圓不重合的變截面懸臂梁模型，提出利用改進(jìn)勢能法求解齒輪嚙合剛度的計(jì)算模型，與原勢能法和ISO 6336-1-2006進(jìn)行對比分析，并計(jì)算齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)改變時(shí)不同裂紋尺寸的輪齒剛度和齒輪時(shí)變嚙合剛度；建立非標(biāo)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)六自由度動(dòng)力學(xué)分析模型，利用4-5階Runge-Kutta數(shù)值法求解故障系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。仿真結(jié)果表明改進(jìn)勢能法顯著提高了非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度的求解精度。齒根裂紋的存在使得非標(biāo)齒輪綜合嚙合剛度明顯減小，系統(tǒng)時(shí)域信號中存在周期性沖擊響應(yīng)，頻域中出現(xiàn)調(diào)制邊頻帶結(jié)構(gòu)，這些均為齒輪系統(tǒng)故障診斷提供了理論依據(jù)。

齒根裂紋；時(shí)變嚙合剛度；改進(jìn)勢能法；動(dòng)力學(xué)分析

齒輪傳動(dòng)是工程中用于傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的重要部件，相比于標(biāo)準(zhǔn)齒輪而言，非標(biāo)齒輪具備設(shè)計(jì)參數(shù)靈活、重合度大、承載能力強(qiáng)及嚙合傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，因此有更廣泛的應(yīng)用空間［1］。但是由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工作環(huán)境惡劣等因素，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在整個(gè)生命周期內(nèi)會(huì)出現(xiàn)多種失效形式，如果采用傳統(tǒng)復(fù)形法進(jìn)行齒輪疲勞試驗(yàn)，則需要反復(fù)拆卸和檢測，過程極為繁瑣、實(shí)時(shí)性弱。因此，通過齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測、壽命預(yù)估和故障診斷具有至關(guān)重要的意義。

國內(nèi)外學(xué)者在齒輪時(shí)變嚙合剛度方向做了很多研究。王龍寶、李亞鵬等［2-3］提出改進(jìn)的石川公式算法，但仍然不能考慮輪齒故障因素的影響。Yang等［4］從能量角度出發(fā)首次提出了勢能法計(jì)算齒輪時(shí)變剛度模型；Tian［5］補(bǔ)充了輪齒剪切剛度；Pandya等［6］探究了在不同輪齒參數(shù)下裂紋擴(kuò)展路徑對嚙合剛度的影響。但是他們在計(jì)算輪齒剛度時(shí)，都沒有考慮基體變形，而且假設(shè)輪齒為固定在齒輪基圓上的變截面懸臂梁，忽略了基圓與分度圓之間的能量。萬志國等［7］提出了改進(jìn)勢能法，考慮了基圓與齒根圓不重合的問題，彌補(bǔ)了勢能法的缺陷，但他們的研究對象為標(biāo)準(zhǔn)齒輪，對于非標(biāo)齒輪的研究則相對較少。

本文以非標(biāo)齒輪為研究對象，在前人研究成果基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)勢能算法計(jì)算無故障非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度，并與ISO 6336-1-2006［8］進(jìn)行驗(yàn)證分析；計(jì)算了不同非標(biāo)因素下正常齒輪和不同裂紋尺寸齒輪的時(shí)變嚙合剛度，模擬了故障齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，得到齒根裂紋對時(shí)變嚙合剛度及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，為高效地進(jìn)行故障信號提取與診斷提供理論基礎(chǔ)。

1　齒輪系統(tǒng)六自由度動(dòng)力學(xué)模型

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)彈性連續(xù)系統(tǒng)，包括齒輪副、傳動(dòng)軸、支承軸承、箱體、原動(dòng)機(jī)和負(fù)載等零部件，在各種動(dòng)態(tài)激勵(lì)下會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

為研究齒根裂紋故障對齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，本文忽略原動(dòng)機(jī)和負(fù)載的影響，考慮綜合嚙合剛度和齒面摩擦系數(shù)等時(shí)變特征，用集中參數(shù)法建立了六自由度動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1　齒輪系統(tǒng)六自由度振動(dòng)模型

根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合集中參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型，建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)六自由度運(yùn)動(dòng)微分方程。主、從動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程為：

嚙合線方向的力平衡方程為：

摩擦力方向的力平衡方程為：

式中，mp、mg、Ip、Ig分別為主、從動(dòng)輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kxp、kxg、kyp、kyg分別為主、從動(dòng)輪的x方向和y方向的支撐軸承剛度；cxp、cxg、cyp、cyg為主、從動(dòng)輪的x方向和y方向的支撐軸承阻尼；Fdp、Fdg為主、從動(dòng)輪所受的動(dòng)態(tài)嚙合力；Ffp、Ffg為主、從動(dòng)輪齒的滑動(dòng)摩擦力；Mfp、Mfg為兩齒輪相應(yīng)的摩擦力矩，可由下式計(jì)算得到：

式中，i表示第i對輪齒（i=1，2）；Ffpi、Ffgi分別為主、從動(dòng)輪第i個(gè)輪齒所受的摩擦力，Hpi、Hgi為相應(yīng)的摩擦力臂，具體計(jì)算方法見文獻(xiàn)［8］。

動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算表達(dá)式為：

式中，Km和Cm為齒輪副時(shí)變嚙合剛度和嚙合阻尼。主、從動(dòng)輪齒間的滑動(dòng)摩擦力可表示為：

式中，f為時(shí)變摩擦系數(shù)，λ為齒面摩擦力方向系數(shù)，沿y正方向時(shí)取“+1”，反之取“-1”。

由公式（1）、（2）和（5）可知，齒輪時(shí)變嚙合剛度為動(dòng)力學(xué)模型中的彈性力項(xiàng)參數(shù)，因此確定嚙合剛度是分析系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的前提。

2　時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)算法

勢能法計(jì)算時(shí)變嚙合剛度的前提是將輪齒看做長度為d、固定在基圓的懸臂梁［9］，忽略了基圓與齒根圓之間勢能，但是實(shí)際上齒輪基圓與齒根圓不重合，這將導(dǎo)致計(jì)算不準(zhǔn)確，因此需對其進(jìn)行修正。

據(jù)齒輪幾何關(guān)系，基圓和齒根圓半徑分別為

式中，m為模數(shù)，z為齒數(shù)，α0=20o。對于非標(biāo)齒輪，按照齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)的取值不同分為3種情況：①=1.15，c?=0.25；②=1.25，c?=0.25；③=1.25，c?=0.28。若令rb=rf，則zlim=47， 50，51。因此，需要按照齒數(shù)z分情況討論。

2.1z＜zlim的情況

當(dāng)齒數(shù)z＜zlim時(shí)，rb＞rf，原勢能法的懸臂梁模型是在基圓處的，因此改進(jìn)勢能法補(bǔ)充了儲(chǔ)存在基圓與齒根圓之間的輪齒變形勢能。此時(shí)，彎曲勢能公式［7］為

式中，Ix1和Ax1為齒根過渡曲線部分距離基圓x1處的橫截面慣性矩和面積，可由下式計(jì)算得到

式中，R為齒根過渡曲線圓角半徑，參數(shù)hx和hx1的計(jì)算表達(dá)式為

根據(jù)幾何關(guān)系，我們可以得到

將公式（8）化簡得到修正后的輪齒彎曲剛度為

同樣地，輪齒的剪切勢能和軸向壓縮勢能為：

經(jīng)過推導(dǎo)，將輪齒的剪切剛度ks和軸向壓縮剛度ka修正為：

根據(jù)公式（15）、（18）和（19）可知，對漸開線輪齒來說，其彎曲剛度、剪切剛度和軸向壓縮剛度僅僅是參數(shù)α1的函數(shù)，kb、ka和ks僅隨嚙合點(diǎn)位置變化而改變。

2.2z＞zlim的情況

當(dāng)齒數(shù)z＞zlim時(shí)，rb＞rf，故應(yīng)減去儲(chǔ)存在基圓與齒根圓之間的輪齒變形勢能。彎曲勢能公式應(yīng)修正為［7］

化簡可得，

剪切剛度和軸向壓縮剛度為：

f圓壓力角和齒根圓壓力角，θ和θf為二者相應(yīng)展角。

2.3改進(jìn)嚙合剛度算法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)算法的正確性，本文引入ISO 6336-1-2006標(biāo)準(zhǔn)，以求解單齒對最大嚙合剛度與齒輪平均嚙合剛度。單齒對最大嚙合剛度為

式中，修正系數(shù)CM=0.8，齒輪毛坯系數(shù)CR=1，齒廓系數(shù)CB=1，β為螺旋角。cth為單齒對嚙合剛度理論值，可以用下式計(jì)算

齒輪平均嚙合剛度為

其中，各符號含義參見ISO 6336-1-2006標(biāo)準(zhǔn)。

以直齒圓柱齒輪為例，齒數(shù)Z1=30，Z2=36，模數(shù)m=5 mm，齒寬L=5 mm，彈性模量E=210 MPa，泊松比為0.3，=1.15，c?=0.25。

表1　與ISO相對誤差比較

根據(jù)表1可知，本文改進(jìn)算法所得結(jié)果與ISO結(jié)果十分接近，誤差控制在7%以內(nèi)。原勢能法沒有計(jì)算儲(chǔ)存在基圓與齒根圓之間的勢能，使得單齒對剛度值偏大23.65%，齒輪平均嚙合剛度偏大19.93%。文獻(xiàn)［10］忽略了齒輪基體的彈性變形，與勢能法和改進(jìn)勢能法相比，其結(jié)果更偏離ISO。

圖2　不同參數(shù)的非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度比較

圖2為改進(jìn)算法計(jì)算得到的非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度結(jié)果。根據(jù)曲線可知，齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)對嚙合剛度影響明顯。比較曲線1和2，當(dāng)頂隙系數(shù)不變時(shí)，嚙合剛度隨著齒頂高系數(shù)的增大而減小。同樣比較曲線2和3，嚙合剛度會(huì)隨頂隙系數(shù)增大而減小。

3　齒根裂紋嚙合剛度計(jì)算

顯然，接觸剛度、軸向壓縮剛度和基體剛度均不受輪齒裂紋影響，因而只需考慮彎曲剛度和剪切剛度的變化。對于齒根裂紋模型，我們應(yīng)該分兩種情況討論：①當(dāng)載荷F作用點(diǎn)未進(jìn)入裂紋影響區(qū)域，即hx≤hc；②當(dāng)載荷F作用點(diǎn)進(jìn)入裂紋影響區(qū)域，即hx＞hc。因此，嚙合輪齒儲(chǔ)存的彎曲勢能和剪切勢能仍可由正常齒輪勢能公式計(jì)算，但是慣性矩Ix和橫截面積Ax需要分段，即

式中，hx表示齒廓線上距離基圓為x的點(diǎn)與輪齒水平中心線之間的距離，hc為裂紋根部到輪齒中心線的距離，由公式（30）求得，h0為裂紋起始位置高度。

因此，將公式（28）和（29）帶入即可得到齒根裂紋輪齒的彎曲剛度和剪切剛度。圖3為裂紋深度變化時(shí)，不同齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)下的輪齒彎曲剛度和剪切剛度。

圖3　不同裂紋深度的輪齒剛度

對于同一非標(biāo)齒輪，輪齒的彎曲剛度和剪切剛度均隨著裂紋深度增加而減小，而且這種影響在嚙合初期更為明顯。比較圖4a）和圖4b）可知，頂隙系數(shù)不變時(shí)，齒頂高系數(shù)越大，非標(biāo)齒輪的彎曲剛度和剪切剛度越小，且彎曲剛度的下降幅度更大。

圖4　非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度

圖4為不同裂紋尺寸下非標(biāo)齒輪時(shí)變嚙合剛度曲線。由于齒根裂紋的存在，故障齒輪副的時(shí)變嚙合剛度值明顯小于正常齒輪副嚙合剛度。頂隙系數(shù)不變時(shí)，齒輪時(shí)變嚙合剛度隨著齒頂高系數(shù)增大而減小。

4　動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

選取輸入轉(zhuǎn)速為900 r/min，負(fù)載為2 750 N· mm，仿真時(shí)間為0.333 s，得到正常齒輪和裂紋深度為2.0 mm、角度為60°時(shí)主動(dòng)輪X向位移的時(shí)域響應(yīng)，如圖5所示。

圖5　主動(dòng)輪X向位移時(shí)域響應(yīng)

根據(jù)圖5可知，正常齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)（見圖5a））的主動(dòng)輪X向位移響應(yīng)比較平穩(wěn)，在某一值附近上下波動(dòng)。當(dāng)存在齒根裂紋時(shí)（見圖5b）），主動(dòng)輪的位移曲線出現(xiàn)以主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)周期0.066 7 s為間隔的異常波動(dòng)，說明沖擊正是由于主動(dòng)輪齒根裂紋輪齒的嚙合導(dǎo)致的。

圖6為不同齒頂高系數(shù)下正常系統(tǒng)和裂紋齒輪系統(tǒng)的主動(dòng)輪X向位移頻譜圖，是通過對時(shí)域波形作傅里葉變換得到的。觀察圖6a）、圖6c）發(fā)現(xiàn)，在正常齒輪系統(tǒng)中，僅存在以嚙合頻率（450 Hz）及其倍頻為中心的幅值譜，無調(diào)制現(xiàn)象。

圖6　主動(dòng)輪X向位移頻譜圖

齒根裂紋系統(tǒng)（圖6b）、圖6d））相對于（圖6a）、圖6c））而言，在低階嚙合頻率附近出現(xiàn)對稱邊頻帶，其幅值調(diào)制和頻率調(diào)制現(xiàn)象較為明顯，較高階嚙合頻率附近也存在微弱的邊頻帶結(jié)構(gòu)。這是因?yàn)橹鲃?dòng)輪每旋轉(zhuǎn)一周，裂紋輪齒就會(huì)參與一次嚙合，產(chǎn)生一個(gè)脈沖激勵(lì)。此外，齒根裂紋使得輪齒嚙合剛度發(fā)生變化，因此除使得振幅加大外，還會(huì)使相位發(fā)生變化，即出現(xiàn)邊頻帶。

5　結(jié) 論

1）本文考慮了基圓與齒根圓不重合因素，提出非標(biāo)齒輪嚙合剛度的改進(jìn)算法，通過與原勢能法和ISO 6336-1-2006結(jié)果對比分析，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的求解精確性。

2）通過求解齒頂高系數(shù)改變時(shí)不同裂紋尺寸的輪齒彎曲剛度、剪切剛度和時(shí)變嚙合剛度，建立齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值解法研究了故障系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性，可以為進(jìn)一步探索裂紋產(chǎn)生機(jī)理和故障診斷方法奠定基礎(chǔ)。

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Improved Algorithm for Calculating Mesh Stiffness of Non-Standard Gear with Root Crack and Its Dynamic Responce Analysis

Zhang Linyu，Xu Yingqiang，Xu Fan，Qin Yufei，Chen Xianliang
（Department of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，china）

When a tooth crack failure occurs，the dynamic response caused by time-varying mesh stiffness changes plays a significant role in monitoring the operating conditions of a gear system and diagnosing its fault.We study a non-standard gear and the effect of tooth crack fault on the time-varying mesh stiffness.We establish the non-uniform cantilever beam model in which the misalignment between base circle and root circle is taken into account.The three gear mesh stiffneses calculated with the improved algorithm，the existing potential energy method and the ISO 6336-1-2006 Standard are compared to verify the improved potential energy method.The tooth stiffness and time-varying gear mesh stiffness with different crack sizes are calculated when the gear addendum coefficient and the tip clearance coefficient change.The 6-degeee-of-freedom dynamics analysis model of a non-standard gear transmission system is established，and the Runge-Kutta numerical method is used to analyze the dynamic response.The simulation results show that when the cracked tooth comes in contact，mesh stiffness decreases greatly and that the dynamic response presents a periodically impulse amplitude.Besides，modulation sidebands appear in the frequency domain；these results provide a theoretical basis for diagnosing the fault of a gear system.

calculations，computer simulation，dynamics，degrees of freedom（mechanics），dynamic response，errors，failure analysis，friction，gears，mean square error，monitoring，Runge-Kutta methods，stiffness；dynamics analysis，improved potential energy method，root crack，time-varying mesh stiffness

TH113；TH132

A

1000-2758（2015）06-0956-06

2015-04-01

國家自然科學(xué)基金（11072196）資助

張玲玉（1990—），女，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度與可靠性分析研究。