高文，王生楠

（西北工業(yè)大學航空學院，陜西西安 710072）

T應力對線彈性材料脆性斷裂的影響

高文，王生楠

（西北工業(yè)大學航空學院，陜西西安 710072）

在考慮裂紋尖端應力場常數(shù)項T應力的基礎上對傳統(tǒng)的最小應變能密度因子準則（minimum strain energy density criterion，SED）進行修正，應用修正的最小應變能因子準則對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型脆性斷裂問題分別進行研究，分析T應力對裂紋擴展方向和斷裂時刻應力強度因子的影響并給出不同T應力條件下的通用的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展條件，并將預測結果與現(xiàn)有的試驗數(shù)據進行比較。分析表明，T應力對于Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂均有顯著影響，考慮T應力的SED預測結果和試驗結果吻合很好。

T應力；最小應變能密度因子準則；脆性斷裂；應力強度因子；裂紋擴展角

裂紋尖端應力場可以表述為Williams特征級數(shù)展開式，包括奇異項、常數(shù)項以及若干非奇異項［1］。傳統(tǒng)思路認為裂紋尖端的應力場由應力強度因子（stress intensity factor，SIF）為代表的奇異項控制。然而Williams、Ewing［2］和Ueda等［3］關于Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂的試驗研究表明，應用傳統(tǒng)斷裂理論預測的裂紋擴展角和斷裂時刻應力強度因子和試驗結果出現(xiàn)較大偏差。進一步分析發(fā)現(xiàn)是因為裂紋尖端附近應力場僅考慮了奇異項，即應力強度因子對裂尖附近應力的作用，而忽略了高階項的影響。高階項主要指Williams級數(shù)展開式的第2項——平行于裂紋方向的常數(shù)項，即T應力。Cotterell、Rice［4］和Leevers等［5］通過理論分析和試驗研究后指出T應力是影響Ⅰ型裂紋擴展路徑是否穩(wěn)定的一個主因。對于小屈服條件下的Ⅰ型斷裂，Larsson等［6］的研究表明，T應力的正負影響裂紋尖端塑性區(qū)的大小和形狀。Ayatollahi等［7］深入研究了T應力對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋尖端塑性區(qū)的影響并得出結論：負T應力將導致約束效應下降和裂尖塑性區(qū)變大并向前旋轉，正T應力則相反。因此，T應力被認為是裂紋前端“約束”的一種度量，并和J積分一起作為彈塑性裂紋尖端區(qū)的2個特征［8］。

對于線彈性材料的脆性斷裂，不同幾何構型的試驗件通過斷裂試驗得的材料斷裂韌度（Ⅰ型斷裂韌度KⅠc和Ⅱ型斷裂韌度KⅡc）出現(xiàn)很大差別［9-11］。傳統(tǒng)斷裂理論對這一現(xiàn)象無法做出合理的解釋。一些學者的研究已經證實考慮T應力的斷裂理論能提供更可靠地預測。Smith等［12］在考慮T應力的基礎上提出了修正的最大周向應力（generalized maximum tangential stress，GMTS）準則并應用該理論研究了Ⅰ-Ⅱ復合型脆性斷裂，理論預測結果和文獻［1-2］中的試驗結果一致性良好。趙艷華等［13］同樣應用修正的最大周向應力準則分析了T應力對Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展的影響，并給出了不同T應力條件下通用的Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展條件。Ayatollahi及其合作者［7，10，14-15］對Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂問題進行了一系列的試驗研究并應用GMTS理論對試驗結果進行分析，理論預測結果和試驗結果一致性良好。在線彈性范圍內，根據GMTS理論，T應力對材料的Ⅱ型斷裂韌度KⅡc有顯著影響，而對于Ⅰ型斷裂只有當T應力和臨界應力σc之比T/σc大于0. 375時才會產生影響［12］。然而，最近的試驗研究表明這一推論并不成立，在不同的T應力（包括負T應力）作用下脆性材料試驗件測得的Ⅰ型斷裂韌度KⅠc差異明顯。最典型的例子是Kumar等［16］測得的PMMA材料的Ⅰ型斷裂韌度KⅠc，不同幾何構型試驗件測得的KⅠc值小至14.86 MPa·，大至46.80MPa·。Chao等［17-18］在分析了一系列試驗結果的基礎上認為Ⅰ型受載下脆性材料的斷裂韌度依賴于試驗件的幾何構型和受載形式。對于Ⅱ型斷裂問題，當T應力取值在一定范圍內時，修正最大周向應力理論可以給出較好的預測，但當T為負且絕對值較大時，預測的裂紋擴展角度、斷裂韌度和試驗結果偏差逐漸變大。綜上所述，修正的最大周向應力準則在預測脆性材料的Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂上取得了一定的成功，但對于受T應力影響的Ⅰ型和Ⅱ型脆性斷裂仍存在較多限制。

Sih［19］于20世紀70年代提出了最小應變能密度因子準則（minimum strain energy density criterion，SED），該準則在預測含裂結構的疲勞和斷裂方面得到廣泛應用。本文的研究在考慮T應力的基礎上應用SED準則對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型脆性斷裂進行系統(tǒng)的研究，分析T應力對開裂時臨界應力強度因子和裂紋擴展角的影響，并將理論預測結果和已有的斷裂試驗結果進行比較。

1　斷裂理論

1.1裂紋尖端應力場

對于線彈性材料，Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋尖端應力場可以表示特征級數(shù)展開式［1］：

式中，KⅠ、KⅡ分別表示Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子，r、θ為以裂尖為原點的極坐標，T為T應力，（1）式中的更高階項O（r1/2）對應力的計算影響很小，可以省略。

1.2修正的最小應變能量密度因子準則

最小應變能密度因子準則（SED）認為［19］，當以裂尖為圓心rc為半徑的小圓周上的應變能密度因子達到臨界值Sc時裂紋開始擴展，擴展方向為應變能密度因子最小的方向，記為θm。rc和Sc均為材料常數(shù)。SED準則數(shù)學表達式是：

式中，S是應變能密度因子，定義式為：

式中，dW/dV為單位體積的應變能。對于多數(shù)脆性材料，rc可以用斷裂過程區(qū)（fracture process zone）的半徑來近似代替，Schmidt［20］提出了一種用Ⅰ型斷裂韌度KⅠc和拉伸強度σt求rc的方法，其表達式為：

將包含T應力項的裂紋尖端應力場表達（1）式代入（3）式，得到修正的SED準則表達式：

式中

上式中的G為剪切模量。平面應變問題：κ=3-4ν；平面應力問題：κ=（3-ν）/（1+ν）。

對S求導化簡后可得：

求解（6）式即可得到Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂裂紋擴展角θm，代入（5）式可得：

對于純Ⅰ型斷裂問題，KⅡ=0，且當T=0時，θm=0，上式退化為：

（8）式KⅠc為Ⅰ型斷裂韌度，結合（7）式整理化簡后可得：

為方便討論，將（9）式進行無量綱處理。記：

將（10）式代入（9）式，可得：

2　裂紋擴展分析

裂紋擴展主要包括兩部分內容：斷裂時刻臨界應力強度因子和裂紋擴展方向。本節(jié)將對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型脆性斷裂問題分別進行研究，分析T應力對臨界應力強度因子和裂紋擴展角的影響。

2.1Ⅰ型斷裂

對于Ⅰ型受載下的脆性斷裂，KⅡ=0，（6）式可寫為：

式中，KⅠf為Ⅰ型受載下斷裂時刻應力強度因子，Sc和泊松比ν為材料常數(shù)，由此可以看出材料斷裂時刻應力強度因子KⅠf不是一個常數(shù)而是依賴于BⅠα（T應力），結合（8）式KⅠf無量綱化后可得：

圖2為不同泊松比下的KⅠf/KⅠc隨BⅠα的變化曲線圖。由圖中可以看出，T應力對Ⅰ型斷裂時刻應力強度因子KⅠf有很大影響。當T應力為負值時，KⅠf隨著T應力（BⅠα）的增大而逐漸增大直到達到最大值，其后T應力（BⅠα）繼續(xù)增加，KⅠf迅速下降。T應力為正，KⅠf隨著T應力（BⅠα）的增加而減小，即正T應力導致KⅠf減小。

圖1?、裥褪茌d下θm隨BⅠα變化曲線

圖2　KⅠf/KⅠc隨BⅠα變化曲線

2.2Ⅱ型斷裂

對于Ⅱ型斷裂，KⅠ=0，（6）式可寫為：

將KⅠ=0和θm代入（7）式中，可得：

式中，KⅡf為Ⅱ型受載斷裂時刻應力強度因子，由（16）式可以看出，Ⅱ型受載下的斷裂時刻應力強度因子KⅡf依賴于BⅡα（T應力），結合（8）式KⅡf無量綱化后可得：

圖4為不同泊松比下的KⅡf/KⅠc隨BⅡα的變化曲線圖。由圖中可以看出，T＜0時，隨著T應力（BⅡα）的增大，KⅡf逐漸增大直到最大值，隨著T應力（BⅡα）繼續(xù)增加，KⅡf迅速下降；T＞0時，隨著T應力（BⅠα）的增加KⅡf減小。

根據線彈性斷裂力學的經典假設，裂紋尖端附近應力場由應力強度因子為代表的奇異項控制而高階項的影響可以忽略。然而，由前面對Ⅰ型和Ⅱ型脆性斷裂的分析可以看出，在斷裂過程區(qū)的邊界（以裂尖為圓心rc為半徑的圓）上，奇異項影響下降的同時T應力的影響不再可以忽略，裂紋尖端應力場是由應力強度因子和T應力共同確定的，對于有較大rc的材料T應力的影響更加顯著。

圖3?、蛐褪茌d下θm隨BⅡα變化曲線

圖4　KⅡf/KⅠc隨BⅡα變化曲線

2.3Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂

在KⅠ、KⅡ和T應力已知的情況下，求解（6）式可得Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂裂紋擴展角θm，將θm、KⅠ、KⅡ和T代入（11）式并結合（10）式得到Ⅰ-Ⅱ復合型（KⅠ/KⅠc，KⅡ/KⅠc）曲線。圖5和圖6分別為Bα（T應力）取不同值時Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂開裂角度變化曲線和（KⅠ/KⅠc，KⅡ/KⅠc）曲線，Bα=0對應的曲線為不考慮T應力的SED準則計算結果，上述計算泊松比均取ν=0.3。記Me為復合系數(shù)，表征Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂中Ⅰ型和Ⅱ型所占比重，Me定義式為：

圖5中Me=1對應Ⅰ型斷裂，Me=0對應Ⅱ型斷裂，0＜Me＜1，對應Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂。從圖5、圖6可知，對于Bα＞0（即T＞0），考慮T應力的SED準則預測的-θm大于傳統(tǒng)SED準則計算結果，斷裂時刻的KⅠ、KⅡ小于傳統(tǒng)SED計算結果。而對于Bα＜0（即T＜0），結果相反。可以得出結論，負T應力可以提高裂紋擴展阻力，正T應力則降低材料的裂紋擴展阻力。

圖5?、?Ⅱ復合型斷裂θm隨Bα變化曲線

圖6　Bα對Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂時刻SIF的影響

3　試驗結果對比

圖7為修正SED準則預測的Ⅰ型斷裂KⅠf/KⅠc值和試驗結果的對比。試驗數(shù)據取自文獻［21］，材料為石灰?guī)r，泊松比ν=0.2，rc=2.3 mm。從圖中可以看出預測結果和試驗結果吻合很好，修正SED準則很好地解釋了斷裂試驗中測得的巖石、PMMA等脆性材料的斷裂韌度KⅠc不是一個常數(shù)的現(xiàn)象，彌補了GMTS理論的不足。當BⅠα＜-1.44（ν=0.2時），KⅠf/KⅠc＜1，而當-1.44＜BⅠα＜0時，KⅠf/KⅠc＞1，即絕對值較大的負T應力會降低材料的Ⅰ型斷裂韌度，而絕對值較小的負T應力會增加材料的斷裂韌度。

圖7?、裥蛿嗔褜嶒灲Y果和預測結果對比

圖8?、?Ⅱ復合型斷裂試驗結果和預測結果對比

圖8為修正SED準則預測的Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂（KⅠ/KⅠc，KⅡ/KⅠc）曲線和試驗數(shù)據對比。試驗數(shù)據取自文獻［15］?？梢钥闯觯冖裥蜑橹骷碖Ⅰ＞KⅡ時，傳統(tǒng)SED準則和修正SED準則預測的結果相差不大。隨著KⅡ值的增加，KⅠ值逐漸減小，傳統(tǒng)SED準則的預測結果和試驗結果相差越來越大，修正SED預測的結果和試驗結果吻合很好。

表1為Ⅱ型受載下修正SED準則預測結果和試驗結果對比。Lim等［9］應用一種名為Johnstone材料的半圓三點彎曲試樣在Ⅱ型受載下測得的KⅡc/KⅠc平均值為0.425，應用傳統(tǒng)SED準則預測的KⅡc/KⅠc值為1.074，而應用修正SED準則預測的KⅡc/KⅠc值為0.385。對于PMMA材料的半圓三點彎曲試樣［15］，修正SED準則預測的KⅡc/KⅠc值是0.538，試驗結果平均值是0.526。文獻［21］中測得的大理石KⅠc和KⅡc分別為35.42 MPa·和 71.15MPa·，即KⅡc/KⅠc=2.01，修正SED準則預測結果為1.94。Khan和Al-Shayea在文獻［11］中給出的石灰?guī)rKⅠc和KⅡc分別為13.28MPa ·和29.25MPa·，即KⅡc/KⅠc=2.165，傳統(tǒng)SED準則和修正SED準則計算的KⅡc/KⅠc分別為1.074和2.238。可以看出，傳統(tǒng)SED淮則預測的結果和上述斷裂試驗測得的結果有很大偏差，考慮T應力后的SED準則預測的結果與試驗結果吻合很好。

表1　Ⅱ型斷裂理論預測結果和試驗結果對比

4　結 論

本文在考慮T應力的基礎上對傳統(tǒng)的SED準則進行修正，采用修正SED理論對線彈性材料的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型脆性斷裂分別進行系統(tǒng)的研究，分析T應力對裂紋裂紋擴展角和斷裂時刻應力強度因子的影響，給出了不同T應力下通用的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展條件，并將理論預測結果和試驗數(shù)據進行比較，預測結果和試驗數(shù)據吻合很好?？梢钥闯觯鸭y尖端附近的應力場不僅受應力強度因子為代表的奇異項控制，以T應力為代表的非奇異項也不能忽略，T應力對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂的裂紋擴展角以及斷裂時刻應力強度因子均有顯著影響。

對于Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂，隨著T應力增大，裂紋擴展角-θm逐漸變大。當T應力為正（Bα＞0），修正SED準則預測的裂紋擴展角度-θm大于傳統(tǒng)的不考慮T應力的SED計算結果，斷裂時刻的應力強度因子小于不考慮T應力的預測結果，當T應力為負（Bα＜0）時，結論相反。對于Ⅰ型受載下的斷裂，當BⅠα大于某一正數(shù)時（ν=0.3、BⅠα＞0.19或ν= 0.2、BⅠα＞0.12）時，裂紋不再沿直線擴展而是和裂紋面成一定夾角。對于Ⅱ型斷裂，隨著T應力的增大，裂紋擴展角-θm逐漸變大。在T應力作用下Ⅰ型和Ⅱ型斷裂時刻應力強度因子KⅠf和KⅡf不再是常數(shù)而是依賴于T應力的數(shù)值，正T應力和絕對值較大的負T應力均會降低材料的斷裂時刻應力強度因子，而絕對值較小的負T應力則會增加材料的斷裂時刻應力強度因子。

材料的斷裂韌度KⅠc和KⅡc通常通過Ⅰ型和Ⅱ型受載下的斷裂試驗測得，斷裂時的臨界應力強度因子即認為是材料的斷裂韌度。試驗件由于幾何構型、加載方式、裂紋尺寸等的不同，產生不同的T應力，這將導致斷裂試驗測得的KⅠc和KⅡc出現(xiàn)很大變化。因此，僅考慮應力奇異項來描述材料的斷裂可能會導致顯著錯誤，低估或高估（取決于T應力）實際構件中材料的斷裂韌度。這種由于試驗件中T應力不同而導致測得的斷裂韌度產生顯著差異的現(xiàn)象，在實際工程應用中必須注意。

本文的研究工作主要針對線彈性材料的脆性斷裂，相關結論和方法對于準脆性材料斷裂同樣適用。

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Effect of T-Stress on the Brittle Fracture for Linear Elastic Materials

Gao Wen，Wang Shengnan
（College of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

The conventional minimum strain energy density（SED）criterion is modified by taking into account the effect of nonsingular stress term（T-stress）in addition to the singular stress term.Then we use the modified SED criterion to study the effect of T-stress on the fracture initiation angle and the critical intensity factors of brittle materials under modeⅠ，modeⅡand mixedⅠ-Ⅱmook loading conditions.The general conditions for forecasting modeⅠ，modeⅡand mixedⅠ-Ⅱmode fracture under various T-stress are provided.The forecast results are compared with some earlier experimental results.The analysis shows that the presence of T-stress has a significant effect on modeⅠ，modeⅡandⅠ-Ⅱmixed mode fracture in brittle fracture of linear elastic materials；there is a good agreement between experimental results and results forecast with the modified SED criterion.

T-stress；minimum strain energy density criterion；brittle fracture；stress intensity factors；fracture initiation angle

O346.1

A

1000-2758（2015）06-0928-08

2015-04-23

高文（1988—），西北工業(yè)大學博士研究生，主要從事結構疲勞、斷裂、可靠性研究。