田體先 姜洪洲 黃其濤 何景峰 佟志忠 聶伯勛

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其剛度大、承載能力強(qiáng)、精度高的優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)領(lǐng)域，如運(yùn)動(dòng)模擬、操作器、微動(dòng)機(jī)構(gòu)、隔振臺(tái)等［1-3］.然而Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)在各自由度之間存在強(qiáng)耦合特性，難以滿足高精度控制的要求. 為解決這一問題，McInroy等［4］提出了模態(tài)空間控制的雛形，采用雅可比矩陣作為模態(tài)變換陣，將物理空間內(nèi)強(qiáng)耦合多輸入多輸出系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到無耦合的模態(tài)空間單輸入單輸出系統(tǒng).但這種控制策略對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)負(fù)載及結(jié)構(gòu)參數(shù)的要求較為苛刻. Chen 等［5］對(duì)這一方法進(jìn)行了擴(kuò)展，將關(guān)節(jié)空間慣性質(zhì)量陣特征值分解得到的單位正交特征向量作為模態(tài)變換陣，采用傳統(tǒng)控制理論設(shè)計(jì)模態(tài)空間控制器.試驗(yàn)證明該控制策略可以有效提高控制性能，且對(duì)構(gòu)型及負(fù)載無特殊要求，具有較強(qiáng)的適用性.Plummer 等［6-9］將模態(tài)空間控制策略應(yīng)用于液壓驅(qū)動(dòng)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，該模態(tài)空間控制器將并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間頻率陣特征值分解后得到的單位正交特征向量作為模態(tài)變換陣，結(jié)合加速度反饋來提高系統(tǒng)阻尼比，從而擴(kuò)展系統(tǒng)頻寬，試驗(yàn)表明該控制策略獲得了預(yù)期的效果. Takanashi 等［10］將加速度反饋引入模態(tài)空間中，提出了一種應(yīng)用于振動(dòng)臺(tái)的模態(tài)控制策略.Jiang 等［11-12］結(jié)合動(dòng)壓反饋技術(shù)，提出了一種適用于液壓驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬器的模態(tài)空間控制策略，該方法將關(guān)節(jié)空間的控制和反饋?zhàn)兞坑成涞侥B(tài)空間，同時(shí)在模態(tài)空間內(nèi)施加動(dòng)壓反饋以提高系統(tǒng)阻尼比.仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)PID 控制器，該模態(tài)空間控制器實(shí)現(xiàn)了各個(gè)自由度的獨(dú)立調(diào)節(jié)，并有效擴(kuò)展了系統(tǒng)頻寬，幾乎在所有方面均具有更好的控制性能.Afzali-Far 等［13-14］以模態(tài)解耦為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Stewart 并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化.

但上述試驗(yàn)所采用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)為減小或消除被動(dòng)關(guān)節(jié)摩擦力均采用了高成本的機(jī)械結(jié)構(gòu)(如柔性鉸、氣浮軸承等). 而在工業(yè)應(yīng)用中，由常規(guī)鉸接形式(球鉸、虎克鉸等)構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的被動(dòng)關(guān)節(jié)阻尼不可忽略，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量較小時(shí)甚至?xí)?dǎo)致過阻尼特性，使得上述以提高系統(tǒng)阻尼比為目的的各種校正方法失效.

為此，文中將動(dòng)壓正反饋技術(shù)引入模態(tài)空間控制策略以降低系統(tǒng)阻尼，從而調(diào)節(jié)過阻尼系統(tǒng)使其頻寬得到進(jìn)一步擴(kuò)展.

1 問題描述

1.1 模態(tài)解耦

典型的液壓驅(qū)動(dòng)Stewart 平臺(tái)如圖1 所示，6 條由液壓缸構(gòu)成的支腿通過鉸點(diǎn)連接上下平臺(tái)，組成Stewart 平臺(tái).其中{M}、{B}分別表示體坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系.

圖1 液壓驅(qū)動(dòng)Stewart 平臺(tái)簡(jiǎn)圖Fig. 1 Schematic diagram of a hydraulically driven Stewart platform

考慮主被動(dòng)關(guān)節(jié)阻尼的動(dòng)力學(xué)方程可描述為

式中:Jlq為映射工作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度的六階雅克比矩陣;fa為六階支腿廣義驅(qū)動(dòng)力向量，由6個(gè)支腿液壓缸提供;q 為六階廣義位姿向量，q =［x y z Φ θ ψ］T，x、y、z、Φ、θ、ψ 分別為空間6個(gè)自由度;Mt(q)為工作空間六階負(fù)載慣性參數(shù)矩陣，Mt=diag(m，m，m，Ixx，Iyy，Izz)，m 為負(fù)載質(zhì)量，Ixx為負(fù)載繞x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Iyy為負(fù)載繞y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Izz為負(fù)載繞z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ct(˙q，q)˙q 為六階科氏力及向心力向量;Gt(q)為六階重力向量;Bt(q)為工作空間六階阻尼矩陣.

將Ct(˙q，q)˙q 及Gt(q)視為外干擾力，即Fe=Ct(˙q，q)˙q+Gt(q)，建立考慮支腿液壓特性的系統(tǒng)方塊圖，如圖2 所示.其中Kce為廣義流量-壓力系數(shù)矩陣，PL為支腿液壓缸工作壓力向量，l 為支腿速度向量，C 為六階液壓剛度系數(shù)矩陣，Ap為六階液壓缸有效面積矩陣，i 為六階伺服閥輸入電流向量，Ka為六階伺服閥流量增益矩陣，Bact為六階關(guān)節(jié)空間阻尼矩陣

圖2 液壓驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)Fig.2 Basic structure of hydraulically driven motion system

以PL及˙l 作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)狀態(tài)方程可表述為

式中，M-1act為六階關(guān)節(jié)空間逆質(zhì)量矩陣，

對(duì)關(guān)節(jié)空間逆質(zhì)量矩陣M-1act進(jìn)行模態(tài)分解:

式中，U 為六階模態(tài)解耦矩陣，Σ 為模態(tài)空間逆質(zhì)量矩陣，Σ = diag(σ1，σ2，…，σ6)，σ1，σ2，…，σ6為的6個(gè)特征值.

模態(tài)解耦矩陣U 及模態(tài)空間逆質(zhì)量矩陣Σ 為模態(tài)空間控制策略的關(guān)鍵參數(shù)，其數(shù)值解可通過對(duì)進(jìn)行矩陣奇異值分解(SVD)獲得. 文獻(xiàn)［12］中詳細(xì)論述了U 和Σ 與的關(guān)系，并給出了二者的解析表達(dá)形式，文中在此不再贅述.

將式(2)描述為˙X =AX +Bi 的狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，在模態(tài)解耦矩陣U 的作用下，表征物理空間強(qiáng)耦合特性的多輸入多輸出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A 轉(zhuǎn)化為模態(tài)空間中無耦合的6個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)，有

式中，Bd為六階模態(tài)阻尼矩陣，Bd=UTBactU.

值得注意的是，模態(tài)阻尼矩陣Bd的對(duì)角化有其適用條件，文獻(xiàn)［15］對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)論述. 文中著重對(duì)Bd引起的系統(tǒng)過阻尼特性進(jìn)行研究.

1.2 模態(tài)過阻尼特性

由式(4)可知，定義新的模態(tài)變量Pd=UTPL，˙ld=UT˙l 及模態(tài)電流id=UTi，且假設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支腿特性一致，即C=cI，Ap=ApI，Kce=kceI，Ka=kaI，I 為六階單位矩陣，則模態(tài)空間相互獨(dú)立的6個(gè)二階系統(tǒng)可用狀態(tài)方程描述為

式中，i=1，2，…，6，kce為伺服閥廣義流量-壓力系數(shù)，m3/(s·Pa).

將式(5)用結(jié)構(gòu)框圖描述，如圖3 所示.

圖3 模態(tài)空間單軸液壓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure diagram of single axis hydraulic system in modal space

由圖3 可得到第i 階模態(tài)電流id，i與模態(tài)支腿速度l·d，i之間的傳遞函數(shù)為

式中:i =1，2，…，6;ωh，i為第i 階模態(tài)頻率，ωh，i=為第i 階系統(tǒng)阻尼比，無量綱，其計(jì)算公式為

如式(6)所示的二階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性取決于阻尼比ξh，i，根據(jù)傳統(tǒng)控制理論可知，當(dāng)阻尼比ξh，i接近0.707 時(shí)，系統(tǒng)具有最佳的動(dòng)態(tài)特性. 一般情況下，液壓系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼特性，即ξh，i＜0.707，故采用動(dòng)壓負(fù)反饋以增加閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比，而由式(7)可知，受模態(tài)阻尼bd，i的影響，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量較小，即σi較大時(shí)，系統(tǒng)阻尼比增大，有可能出現(xiàn)過阻尼特性，即ξh，i＞0.707，此時(shí)動(dòng)壓負(fù)反饋調(diào)節(jié)將不再適用.

2 帶動(dòng)壓正反饋的模態(tài)空間控制器

首先給出模態(tài)空間控制器結(jié)構(gòu)，如圖4 所示.可見，在模態(tài)解耦矩陣U 的解耦作用下，可在模態(tài)空間對(duì)6個(gè)單軸液壓系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器. 下面給出帶動(dòng)壓正反饋的各階模態(tài)控制器結(jié)構(gòu)框圖.

圖4 模態(tài)空間控制器框圖Fig.4 Block diagram of the modal space controller

圖5 給出了帶動(dòng)壓反饋的第i 階模態(tài)空間控制器結(jié)構(gòu)，圖中±1 表示動(dòng)壓負(fù)反饋與正反饋. kp，i為第i 階模態(tài)控制器比例增益系數(shù);kdp，i為等i 階模態(tài)控制器動(dòng)壓反饋調(diào)節(jié)系數(shù);Cf，i為第i 階模態(tài)控制器高通濾波器，為第i 階模態(tài)控制器濾波器頻率系數(shù);ldc，i為模態(tài)空間第i 階位置指令信號(hào);ld，i為模態(tài)空間第i 階位置反饋信號(hào);fd，i為模態(tài)空間第i 階支腿輸出力信號(hào).

圖5 第i 階模態(tài)空間控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 Structure diagram of the ith order modal space controller

綜上所述，模態(tài)空間控制律的矩陣形式為式中:e 為六階位置誤差向量，分別為六階模態(tài)控制器比例增益系數(shù)矩陣、動(dòng)壓反饋調(diào)節(jié)系數(shù)陣及濾波器頻率系數(shù)矩陣.

由圖5 可知，系統(tǒng)構(gòu)成位置閉環(huán)，故其閉環(huán)傳遞函數(shù)與式(6)相比，多一個(gè)積分環(huán)節(jié)，表述為

對(duì)模態(tài)空間控制器的設(shè)計(jì)主要包括U、Kp、Kdp、c的計(jì)算及調(diào)節(jié).其中，模態(tài)解耦矩陣可由式(3)計(jì)算得到，濾波器頻率系數(shù)陣c中第i 階元素c，i可根據(jù)文獻(xiàn)［16］選取為

動(dòng)壓反饋調(diào)節(jié)系數(shù)陣Kdp則實(shí)現(xiàn)對(duì)式(6)所示二階系統(tǒng)阻尼比的調(diào)節(jié)，其中第i 階元素kdp，i的具體計(jì)算公式為式中:ξ′h，i為設(shè)定阻尼比，通常選取為0.5 ～0.7.

由式(11)可知，當(dāng)ξh，i＞0.707 時(shí)，ξ′h，i-ξh，i＜0，kdp，i為負(fù)值，其物理意義為:此時(shí)動(dòng)壓反饋由負(fù)反饋?zhàn)優(yōu)檎答仯赐ㄟ^動(dòng)壓反饋調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)阻尼比的減小.

當(dāng)系統(tǒng)阻尼比調(diào)節(jié)合適后，調(diào)節(jié)比例增益系數(shù)矩陣Kp即可將控制系統(tǒng)各自由度頻寬擴(kuò)展至固有頻率附近，其第i 階元素kp，i的值應(yīng)滿足單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件:

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中所提方法的有效性，采用如圖6 所示液壓驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖7，上位機(jī)用于監(jiān)視下位機(jī)運(yùn)行情況和對(duì)下位機(jī)發(fā)送指令，它通過以太網(wǎng)和下位機(jī)通信.下位機(jī)安裝有A/D 及D/A 板卡，A/D 板卡采用研華公司的PCI-1716，通過信號(hào)調(diào)理模塊實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支腿液壓缸位移信號(hào)及兩腔壓力信號(hào)的采集，D/A 板卡采用研華公司的PCI-1723，通過信號(hào)調(diào)理模塊后輸出伺服閥驅(qū)動(dòng)電流信號(hào). 對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制由運(yùn)行于下位機(jī)上的xpc 實(shí)時(shí)控制程序完成.

系統(tǒng)的主要配置參數(shù)見表1.

圖6 實(shí)驗(yàn)用液壓驅(qū)動(dòng)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.6 Experimental hydraulic six-DOF parallel manipulator

圖7 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.7 Structure diagram of control system

表1 配置參數(shù)Table 1 Configuration parameters

3.1 控制器設(shè)計(jì)實(shí)例

(1)由文獻(xiàn)［12］中給出的雅可比矩陣Jlq計(jì)算公式，結(jié)合表1 中結(jié)構(gòu)參數(shù)Ra、Rb、H、h、α、β 的值，計(jì)算得到:

3.2 仿真分析

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程及模態(tài)控制器的設(shè)計(jì)方法，建立Simulink 仿真模型，如圖8 所示. 仿真模型中包含6個(gè)模塊，第1個(gè)模塊為信號(hào)生成模塊，用于提供平臺(tái)位姿激勵(lì)信號(hào);第2個(gè)模塊為支腿液壓系統(tǒng)模型，其中包括非對(duì)稱液壓缸的Simulink 模型及模態(tài)空間控制器;第3個(gè)模塊為運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模塊，其功能為將設(shè)定位姿轉(zhuǎn)換為各支腿長(zhǎng)度設(shè)定值;第4個(gè)模塊為并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)，采取SimMechanics?軟件建立，其中加入了并聯(lián)機(jī)構(gòu)各被動(dòng)關(guān)節(jié)的摩擦力;第5個(gè)模塊為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模塊，根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際支腿長(zhǎng)度迭代求解得到實(shí)時(shí)位姿及雅可比矩陣，結(jié)合第6個(gè)模態(tài)參數(shù)求解模塊，則可得到模態(tài)解耦矩陣U 及模態(tài)空間逆質(zhì)量矩陣Σ.

根據(jù)第2 節(jié)給出的模態(tài)控制器設(shè)計(jì)方法，將閉環(huán)阻尼比設(shè)計(jì)為0.7，對(duì)仿真模型進(jìn)行隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)，獲得其閉環(huán)頻域特性，如圖9 所示.

圖8 六自由度Stewart 平臺(tái)Simulink 仿真模型Fig.8 Simulink model of six-DOF Stewart platform

圖9 仿真模型頻率響應(yīng)特性Fig.9 Simulink model frequency response characteristics

可以看到，采用結(jié)合動(dòng)壓反饋的模態(tài)空間控制策略后，各自由度頻寬基本擴(kuò)展至固有頻率附近，該仿真結(jié)果可為下一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供對(duì)比.

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由式(10)及(11)可知，對(duì)模態(tài)空間控制器的調(diào)定主要取決于系統(tǒng)頻率及阻尼特性，文中采取對(duì)各個(gè)自由度分別進(jìn)行隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)的方法獲取其閉環(huán)頻域特性，進(jìn)而分析其頻率及阻尼特性.

圖10 所示為采用引入重力補(bǔ)償?shù)年P(guān)節(jié)空間比例控制策略［17］得到的系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性曲線，從圖中可以看到:在x、y 自由度上存在兩個(gè)諧振峰，說明該自由度除了液壓固有頻率外還有機(jī)械固有頻率的影響，其諧振峰值較大，表明系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng);在z、ψ 自由度上，-3dB 處的頻率分別為15 及20 Hz，稍小于表2 給出的理論值，表明該系統(tǒng)存在輕微過阻尼特性;在Φ、θ自由度上，3dB 處的頻率僅為10 Hz，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于理論值，表明該自由度上存在嚴(yán)重的過阻尼現(xiàn)象.

圖10 系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性Fig.10 System frequency response characteristics

為便于驗(yàn)證文中提出的模態(tài)空間控制器能夠消除被動(dòng)關(guān)節(jié)摩擦引起的高頻過阻尼特性進(jìn)而擴(kuò)展系統(tǒng)頻寬的有效性，圖11 給出了常規(guī)關(guān)節(jié)空間控制策略下施加動(dòng)壓反饋的系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性. 從圖中可以看到，由于x、y 自由度欠阻尼，故只能施加動(dòng)壓負(fù)反饋提高系統(tǒng)阻尼比，以抑制諧振峰，同時(shí)由于系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)解耦，動(dòng)壓負(fù)反饋導(dǎo)致其他自由度上已經(jīng)處于過阻尼的現(xiàn)象更為嚴(yán)重，最終導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)x、y 自由度欠阻尼而其他自由度過阻尼的現(xiàn)象，其各自由度頻寬無法獨(dú)立調(diào)節(jié)，均局限在10 Hz 以下.

圖12 給出了采用模態(tài)空間控制策略但只在x、y自由度上施加動(dòng)壓負(fù)反饋，其他自由度未進(jìn)行動(dòng)壓反饋調(diào)節(jié)下的頻率響應(yīng)特性，可以看到，與常規(guī)關(guān)節(jié)空間控制策略相比，其各自由度頻寬實(shí)現(xiàn)了獨(dú)立調(diào)節(jié).

圖11 帶動(dòng)壓反饋的關(guān)節(jié)空間控制器頻率響應(yīng)Fig.11 Frequency responses of joint space controller with dynamic pressure feedback

圖12 未加動(dòng)壓正反饋的模態(tài)空間控制器頻率響應(yīng)Fig.12 Frequency responses of global modal space controller without positive dynamic pressure feedback

x、y自由度的諧振得到了很好的抑制，基本上無超調(diào)現(xiàn)象，與圖11 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，其頻寬擴(kuò)展至系統(tǒng)固有頻率附近，表明其動(dòng)壓負(fù)反饋校正取得了顯著的效果.但對(duì)于其他自由度而言，分析其幅頻特性，發(fā)現(xiàn)其表現(xiàn)出典型的過阻尼現(xiàn)象，如Φ、θ 自由度上30 Hz 處存在頻率轉(zhuǎn)折點(diǎn)，應(yīng)為系統(tǒng)固有頻率，但此時(shí)-3 dB 處的頻率僅達(dá)到20 Hz，尚有很大的擴(kuò)展空間.

進(jìn)一步采用文中提出的動(dòng)壓正反饋調(diào)節(jié)方法，對(duì)z、ψ、Φ、θ 自由度上給予動(dòng)壓正反饋以降低系統(tǒng)阻尼，其頻率響應(yīng)特性如圖13 所示.

與圖9 中的仿真結(jié)果對(duì)比可以看到:

(1)在擴(kuò)展頻寬特性上，二者基本吻合，各個(gè)自由度的頻寬均擴(kuò)展到系統(tǒng)固有頻率附近，驗(yàn)證了文中理論推導(dǎo)的正確性，表明了文中提出的控制策略具有良好的控制效果，有效擴(kuò)展了系統(tǒng)頻寬.

圖13 結(jié)合動(dòng)壓正反饋的模態(tài)空間控制器頻率響應(yīng)Fig.13 Frequency responses of global modal space controlle with positive dynamic pressure feedback

(2)對(duì)比Φ、θ 自由度頻域特性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比仿真結(jié)果頻寬稍低一些，說明當(dāng)頻寬較高時(shí)，由于壓力信號(hào)的噪聲等影響，采用動(dòng)壓反饋來提高系統(tǒng)閉環(huán)阻尼比的方式存在瓶頸，并不一定能夠調(diào)節(jié)至理想阻尼比.

(3)對(duì)比x、y 自由度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果較仿真結(jié)果呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的多模態(tài)特性，可能為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)械柔性導(dǎo)致，對(duì)此將進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

4 結(jié)語

文中推導(dǎo)了考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)被動(dòng)關(guān)節(jié)阻尼特性的模態(tài)解耦方程，對(duì)其過阻尼特性進(jìn)行了論述，并提出了帶動(dòng)壓正反饋調(diào)節(jié)的模態(tài)空間控制策略，給出了控制器結(jié)構(gòu)及參數(shù)設(shè)計(jì)方法. 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果表明，采用該方法后，頻寬可大幅擴(kuò)展至系統(tǒng)固有頻率附近.

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