周浩, 徐志宏, 唐玲艷, 冉憲文, 湯文輝

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低雷諾數(shù)流動問題的SPH數(shù)值模擬及與FPM方法的比較

周浩, 徐志宏, 唐玲艷, 冉憲文, 湯文輝

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院, 湖南長沙, 410073)

采用SPH方法對低雷諾數(shù)流動問題進(jìn)行了數(shù)值模擬, 討論了初始光滑長度以及核函數(shù)影響域大小對結(jié)果的影響。典型Poiseuille流和Couette流的模擬結(jié)果表明, SPH方法能夠很好地模擬低雷諾數(shù)流動。并比較了SPH方法和FPM方法的精度和計(jì)算效率。

光滑粒子法; 低雷諾數(shù)流動; 有限粒子法; 初始光滑長度

低雷諾數(shù)不可壓縮流動現(xiàn)象中黏性力不可忽略, 有時(shí)甚至成為主要影響因素。這類現(xiàn)象的研究在環(huán)境工程、石油工業(yè)等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用前景[1]。采用網(wǎng)格方法(如有限元、有限差分和有限體積等方法)研究并模擬流動現(xiàn)象已解決了大量工程問題, 但是隨著計(jì)算方法和并行算法的發(fā)展, 網(wǎng)格方法在模擬自由表面、流固耦合等問題中遇到困難, 一些新的物理現(xiàn)象(如表面張力)的模擬比較困難。而無網(wǎng)格方法由于擺脫了背景網(wǎng)格的限制, 在這些領(lǐng)域顯示出廣闊的應(yīng)用前景, 被譽(yù)為新一代數(shù)值計(jì)算方法。

光滑粒子動力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)[2-3]方法是一種純拉格朗日型無網(wǎng)格方法。它使用粒子系統(tǒng)表征連續(xù)介質(zhì)(流體或固體), 粒子不僅具有各種宏觀物理量(如密度、壓力、速度、內(nèi)能等), 而且被當(dāng)做插值點(diǎn), 用于相關(guān)物理量及其空間導(dǎo)數(shù)的插值計(jì)算。SPH粒子與傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的數(shù)值方法中網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的不同之處在于, SPH方法中粒子之間的聯(lián)系是動態(tài)變化的。SPH方法保留了網(wǎng)格方法中的節(jié)點(diǎn), 但是拋棄了節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系, 所以更加靈活。代價(jià)是每一步計(jì)算都要重新搜索每個(gè)粒子的所有近鄰粒子。由于粒子可以自由運(yùn)動, SPH方法比網(wǎng)格方法靈活, 適合處理大變形問題。

低雷諾數(shù)流動現(xiàn)象的模擬一般選擇經(jīng)典的Poiseuille流和Couette流作為算例, 因?yàn)橛薪馕鼋饪晒Ρ? 可以較好地驗(yàn)證數(shù)值方法的精度。Morris[1]等人首次采用SPH對Poiseuille流和Couette流進(jìn)行了數(shù)值模擬, 計(jì)算中將壓力分解為靜水壓力和動態(tài)壓力, 靜水壓力用體積力來代替, 并且指出, 當(dāng)采用緊支域較小的cubic spline核函數(shù)時(shí), 會出現(xiàn)橫向不穩(wěn)定性, 而采用緊支域較大的quintic spline核函數(shù)時(shí), 橫向不穩(wěn)定性大大減小。Sigalotti[4]等人采用了一種新的黏性力計(jì)算方式實(shí)現(xiàn)低雷諾數(shù)流動的模擬, Mihai[5]等人則系統(tǒng)地比較了各種黏性力計(jì)算方式的精度和穩(wěn)定性, 劉謀斌[6]等人揭示了一種因?yàn)榱Ｗ硬灰?guī)則分布而導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象, 并用有限粒子法FPM予以解決。

1 SPH方法和FPM方法

SPH方法的穩(wěn)定性與核函數(shù)密切相關(guān), 流體計(jì)算中Gaussian核函數(shù)的穩(wěn)定性較好, 因此, 本文采用如(1)式歸一化的Gaussian核函數(shù),

流動的控制方程為

。 (3)

, (5)

。 (6)

在粒子均勻分布時(shí), 非邊界處SPH能夠達(dá)到二階精度。但是當(dāng)粒子分布不均勻或在邊界處, SPH方法的精度很低。

有限粒子方法(FPM方法)將泰勒展開引入, 對SPH方法進(jìn)行如下改進(jìn):

。 (8)

當(dāng)用FPM方法求黏性力時(shí), 有2種基本方法[8-10]。一種是在(7)式中繼續(xù)加人的各個(gè)二階導(dǎo)數(shù), 一次性求出的所有一階二階導(dǎo)數(shù), 這種方法計(jì)算量較大。還有一種是先用(7)式求解一階導(dǎo)數(shù), 然后用的各個(gè)一階導(dǎo)數(shù)代替(7)式中的, 進(jìn)一步求出二階導(dǎo)數(shù)。本文采取后一種方法。

圖1 sin(x)導(dǎo)數(shù)的SPH和FPM方法計(jì)算對比

2 Poiseuille流和Couette流模擬結(jié)果

模型所有參數(shù)以及物態(tài)方程同文獻(xiàn)[1]。邊界條件采用文獻(xiàn)[11]的方式, 虛擬粒子的總數(shù)和位置都固定, 雖然這種邊界條件精度稍低, 但是適用于復(fù)雜形狀邊界。

當(dāng)= 0.225 s時(shí), 前沿速度理論值為m/s, SPH和FPM模擬結(jié)果對參數(shù)和的依賴關(guān)系見圖2。

(a) = 2????????????????(b) = 3

(a) Poiseuille流的SPH模擬??????????(b) Couette流的SPH模擬

圖3 Poiseuille流和Couette流的SPH模擬

3 結(jié)論

低雷諾數(shù)流動的數(shù)值模擬關(guān)鍵在于黏性力的準(zhǔn)確計(jì)算。采用歸一化的Gaussian核函數(shù)時(shí), 如果, SPH和FPM方法計(jì)算結(jié)果都對光滑長度敏感。而當(dāng)時(shí), SPH和FPM方法計(jì)算結(jié)果都對光滑長度不敏感。

參考文獻(xiàn)：

[1] Morris J P, Fox P J, Zhu Y. Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH [J]. J Comput Phys, 1997, 136: 214-226.

[2] Lucy L B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis [J]. Astron J, 1977, 83: 1 013-1 024.

[3] Monaghan J J, Gingold R A. Shock simulation by the particle method SPH [J]. J Comput Phy, 1983, 52: 374-389.

[4] Sigalotti L D G, Klapp J, Sira E, et al. SPH simulations of time-dependent Poiseuille flow at low Reynolds numbers [J]. J Comput Phys, 2003, 191: 622-638.

[5] Mihai B, Nathan J Q, Martin L, et al. Robustness and accuracy of SPH formulations for viscous flow [J]. Int J Numer Meth Fluids, 2009, 60: 1 127-1 148.

[6] 劉謀斌, 常建忠. 光滑粒子動力學(xué)方法中粒子分布與數(shù)值穩(wěn)定性分析[J]. 物理學(xué)報(bào), 2010, 59: 3 654-3 662.

[7] Liu G R, Liu M B. Smoothed particle hydrodynamics: a Meshfree Particle Method [M]. Singapor:World Scientific, 2003: 130.

[8] Chen J K, Beraun J E. A generalized smoothed particle hydrodynamics method for nonlinear dynamic problems [J]. Comput Methods Appl Mech Engng, 2000, 190: 225-239.

[9] Liu M B, Xie W P, Liu G R. Modeling incompressible flows using a finite particle method [J]. Applied Mathematical Modelling, 2005, 29: 1 252-1 270.

[10] Zhang G M, Batra R C. Modified smoothed particle hydrodynamics method and its application to transient problems[J]. Computational Mechanics, 2004, 34: 137-146.

[11] Adami S, Hu X Y, Adams N A. A generalized wall boundary condition for smoothed particle hydrodynamics [J]. Journal of Computational Physics, 2012, 231: 7 057-7 075.

(責(zé)任編校:劉曉霞)

SPH simulation of low reynolds number flow and comparison with FPM

Zhou Hao, Xu Zhihong, Tang Lingyan, Ran Xianwen, Tang Wenhui

( College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China )

The low Reynolds number flow is simulated with SPH method, the influent of initial smooth length and kernel function on the simulation result is researched. The simulation of classic Poiseuille flow and Couette flow show that SPH was an ideal method to model low Reynolds number flow, furthermore, the precision and efficiency of the computation of SPH and FPM are compared.

SPH; low reynolds number flow; FPM; initial smooth length

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.014

O 35

1672–6146(2015)02–0043–04

周浩, 39167706@qq.com.

2014-10-11