陳镠芬，高莊平，朱俊高，殷建華

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粗粒土級配及顆粒破碎分形特性

陳镠芬1, 2，高莊平1，朱俊高1, 2，殷建華3

(1. 河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京，210098；2. 河海大學(xué)巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京，210098；3. 香港理工大學(xué)土木工程系，香港，999077)

驗(yàn)證顆粒質(zhì)量?粒徑分布分形模型用于表示粗粒土級配的適用性，研究粗粒土在不同縮尺粒徑的情況下，采用不同縮尺方法縮尺后土體分形維數(shù)的變化規(guī)律；基于分形維數(shù)建立縮尺級配與原始級配之間的聯(lián)系，分析不同母巖材料、級配和顆粒形狀粗粒土三軸試驗(yàn)資料，推算粗粒土的相對破碎率，并探討分形維數(shù)與相對破碎率的關(guān)系。研究結(jié)果表明：分形維數(shù)能定量描述粗粒土的原始級配和縮尺級配，不同縮尺方法得到的粒度分形曲線形態(tài)有較大差別，與原始級配的粒度分形曲線有不同程度的偏離，縮尺粒徑越小偏離程度越大。在所研究的4種縮尺方法中，分形維數(shù)與縮尺粒徑的對數(shù)呈較好的線性關(guān)系；圍壓越大，破碎分形維數(shù)和相對破碎率越大，試驗(yàn)前粗粒土的分形維數(shù)越大，剪切試驗(yàn)后相對顆粒破碎率越小。不同母巖、級配和顆粒形狀的破碎分形維數(shù)與相對破碎率呈冪函數(shù)關(guān)系，通過分形維數(shù)和擬合參數(shù)可估算不同圍壓下的相對破碎率。

粗粒土；級配；顆粒破碎；分形維數(shù)；相對破碎率

粗粒土是指直徑大于5 mm顆粒的質(zhì)量分?jǐn)?shù)超過50%的卵、礫石料或堆石料，其在較高的壓力下易破碎，顆粒破碎現(xiàn)象在高土石壩中尤其值得關(guān)注。顆粒破碎引起土體級配的改變，從而改變粗粒料的物理力學(xué)性質(zhì)。然而，如何描述破碎前后級配的差異，一直是一個(gè)難題，相關(guān)研究較多，但多不理想。實(shí)際上，若能找到準(zhǔn)確描述級配的數(shù)學(xué)描述，顆粒破碎定量表述就較容易實(shí)現(xiàn)。因此，研究粗粒土顆粒破碎程度，首先需要解決級配的準(zhǔn)確表述問題。對粗粒土，級配是影響其物理力學(xué)性質(zhì)的重要因素，顆粒破碎引起級配變化，從而導(dǎo)致其力學(xué)性質(zhì)變化，然而，迄今為止，級配的準(zhǔn)確定量描述仍依賴于級配曲線。雖然不均勻系數(shù)及曲率系數(shù)能在一定程度上反映級配，但并不準(zhǔn)確。已有學(xué)者利用分形理論研究土體級配，但多針對細(xì)粒土的研究，對于粗粒土研究較少，因此，粗粒土級配的定量表述方法值得深入研究。關(guān)于顆粒破碎，國內(nèi)外學(xué)者分別從試驗(yàn)、理論及數(shù)值計(jì)算方法等方面進(jìn)行研究，涉及顆粒破碎對土體工程特性影響[1?2]、顆粒破碎度量及影響因素[3?4]和考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型[5?7]這3方面。自20世紀(jì)80年代以來，謝和平 等[4, 8?9]采用分形理論對細(xì)粒土進(jìn)行深入研究，研究結(jié)果表明：由形狀與大小各異的巖土體顆粒和孔隙組成的材料都存在自相似性，都具有分形特性。對于粗粒土，現(xiàn)有研究成果亦表明[10?11]，在不同的粒度范圍內(nèi)粗粒土都表現(xiàn)出一定的分形特征。分形維數(shù)作為分形理論的研究手段，已成為研究巖土材料物理力學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)。本文作者基于幾種土石壩粗粒料的設(shè)計(jì)級配，研究分形模型對粗粒土級配的適用性，并對雙江口堆石壩的壩殼堆石料采用不同縮尺方法縮尺后粗粒土的級配分形維數(shù)的差異進(jìn)行比較，建立不同縮尺方法縮尺后級配與原型級配的內(nèi)在聯(lián)系；對多種堆石料大型三軸試驗(yàn)資料進(jìn)行分析，研究試驗(yàn)前后的粒徑分布，推算堆石料的相對破碎率，從而探討分形維數(shù)與相對破碎率之間的關(guān)系，分析試驗(yàn)引起的顆粒破碎情況及分形維數(shù)的變化。

1 質(zhì)量?粒徑分形模型對粗粒土級配適用性驗(yàn)證

自分形理論應(yīng)用于巖土體以來，學(xué)者提出許多巖土體顆粒或孔隙的分形模型，并在此基礎(chǔ)上研究巖土體的孔隙率、非飽和土的水分特征曲線、滲透性和土體抗剪強(qiáng)度等，取得較好的成果[12?13]。適合粗粒土級配的分形模型包括粒徑?數(shù)量分形模型和質(zhì)量?粒徑分形模型，鑒于粒徑?數(shù)量關(guān)系較難從試驗(yàn)直接獲得，對于粗粒土的分形特性研究一般采用顆粒質(zhì)量?粒徑分形模型[14]，即

對式(1)兩邊取對數(shù)得

為驗(yàn)證所選用的分形模型對粗粒土的適用性，整理雙江口、長河壩、糯扎渡及小浪底等心墻堆石壩的4種堆石料原始級配粒度分形曲線，即關(guān)系曲線，如圖1所示。由圖1可以看出：它們之間表現(xiàn)出良好的線性關(guān)系，因此，用式(2)擬合，可求得分形維數(shù)，表1所示為相應(yīng)的分形維數(shù)和線性擬合的相關(guān)系數(shù)。

由圖1和表1可以看出：不同堆石料原始級配的粒度分形曲線呈顯著的線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)2均超過0.99，表明本文所選取的分形模型能較好地反映堆石料的分形特性。這幾種堆石料的分形維數(shù)在2.456~2.577，分布在一個(gè)狹窄的區(qū)間內(nèi)。

1—雙江口；2—長河壩；3—糯扎渡；4—小浪底

表1 不同堆石料原始級配的分形維數(shù)及相關(guān)系數(shù)

2 縮尺方法對分形維數(shù)的影響

土石壩的堆石料原始級配具有顯著分形特性，但在室內(nèi)試驗(yàn)時(shí)，顆粒粒徑會(huì)受到試驗(yàn)儀器的限制，一般需要將堆石料的原始級配進(jìn)行縮尺，而縮尺方法、最大縮尺粒徑會(huì)使粗、細(xì)顆粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)發(fā)生改變，引起級配曲線形態(tài)的差異?？s尺后是否還能用分形維數(shù)描述級配值得研究。本節(jié)重點(diǎn)研究雙江口堆石壩的壩殼堆石料級配縮尺后的分形特性，其他幾種堆石料的規(guī)律一致。

土工試驗(yàn)中常用的縮尺方法為剔除法、等量替代法、相似級配法和混合法，對應(yīng)符號(hào)依次用T，E，X和H表示，采用的最大縮尺顆粒直徑M(以下稱縮尺粒徑)為60和20 mm。如剔除法，縮尺粒徑為60和20 mm的編號(hào)為T60和T20，其余縮尺方法的編號(hào)方法類似。雙江口堆石料的原始級配及縮尺級配曲線如圖2所示，相應(yīng)的粒度分形曲線及分形維數(shù)如圖3和表2所示。

從圖2和圖3可以看出：不同縮尺方法下的級配曲線和粒度分形曲線與原始曲線都有較大不同。相似級配法縮尺后各粒組之間相對質(zhì)量分?jǐn)?shù)和填充關(guān)系不發(fā)生變化，級配良好，粒度分形曲線與原始曲線重合，線性相關(guān)性較好；剔除法和等量替代法縮尺后級配曲線和粒度分形曲線都存在突變部分，突變點(diǎn)隨著縮尺粒徑的變化而不同，級配不良，粒度分形曲線線性相關(guān)性較差；混合法的級配曲線和粒度分形曲線介于等量替代法與剔除法之間，級配較好，線性相關(guān)性較好。由此可知：級配曲線和粒度分形曲線是相對應(yīng)的，進(jìn)一步證明可以通過分形維數(shù)來描述級配曲線。

dM/mm: (a) 60; (b) 20 1—原始級配；2—T60；3—E60；4—X60；5—H60；6—T20；7—E20；8—X20；9—H20

dM/mm: (a) 60; (b) 20 1—原始級配；2—X20；3—H20；4—T20；5—E20；6—X60；7—H60；8—T60；9—E60

另外，根據(jù)圖3中不同縮尺粒徑的粒度分形曲線分布情況，縮尺后粒度分形曲線與原始粒度分形曲線有一定程度的偏離，縮尺粒徑愈小則偏離越大。對于同一縮尺粒徑，等量替代法的粒度分形曲線偏離原始級配最大，剔除法的粒度分形曲線靠近原始級配，混合法的粒度分形曲線介于等量替代法與剔除法之間。理論上采用相似級配法縮尺得到的級配分形維數(shù)與原級配一致，但由于級配寬度及縮尺粒徑的變化，實(shí)際擬合過程會(huì)有所不同，如表2所示。

表2 不同堆石料不同縮尺方法的分形維數(shù)

從表2可以看出：與另外3種縮尺方法相比，等量替代法的粒度分形曲線線性相關(guān)性較差，而其余縮尺方法的粒度分形曲線線性相關(guān)性較好，屬于嚴(yán)格自相似。但隨著縮尺粒徑的增加，等量替代法的粒度分形曲線線性相關(guān)系數(shù)有一定提高，這與其粒度分形曲線吻合。因此，對于大縮尺粒徑的等量替代法及另外3種縮尺方法都能用分形維數(shù)來描述級配。級配縮尺后，堆石料分形維數(shù)的變化范圍變大，在1.685~2.603之間，且分形維數(shù)總體上隨著縮尺粒徑的增大而增大。

為了表述縮尺方法引起的分形維數(shù)差異及縮尺前后分形維數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，本文作者取縮尺粒徑的對數(shù)為橫坐標(biāo)，分形維數(shù)為縱坐標(biāo)，建立各縮尺粒徑和分形維數(shù)的關(guān)系曲線，以雙江口為代表，如圖4所示。

從圖4可以看出：縮尺粒徑與分形維數(shù)呈較好的線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)2=0.906~0.969。分形維數(shù)隨著縮尺粒徑的增大而增大，且隨著縮尺粒徑的增大，各縮尺方法的分形維數(shù)也越來越相近，同時(shí)也越靠近原始級配的分形維數(shù)，即縮尺粒徑越大越靠近原型級配，其物理力學(xué)特性表現(xiàn)越接近實(shí)際情況。

縮尺方法：1—T；2—E；3—X；4—H

3 顆粒破碎的分形特性

上述研究表明：對級配連續(xù)的粗粒土，分形維數(shù)能夠較好地描述其級配，因而本文作者從分形維數(shù)的角度研究級配與顆粒破碎的相互聯(lián)系。在大粒徑三軸試驗(yàn)中，粗顆粒通常與鄰近顆粒有較多接觸，顆粒間產(chǎn)生較多力鏈，產(chǎn)生顆粒破碎概率較高；而細(xì)顆粒與鄰近顆粒接觸較少，甚至是懸浮在粗顆粒間，受力較小，產(chǎn)生顆粒破碎概率較低，因此，本文僅考慮粗顆粒的顆粒破碎。

首先對文獻(xiàn)[3, 16]中不同母巖、不同級配及不同顆粒形狀的粗粒土大三軸試驗(yàn)資料進(jìn)行整理，根據(jù)不同圍壓(300，600，700，800，900，1 200和1 600 kPa)下試驗(yàn)前及剪切后(以試樣軸向應(yīng)變達(dá)到15%為試驗(yàn)終止條件)級配的變化研究分形維數(shù)和顆粒破碎率r之間的關(guān)系。為區(qū)別顆粒破碎前后級配的分形維數(shù)，將顆粒破碎后級配的分形維數(shù)稱為破碎分形維數(shù)，記為2，破碎前的分形維數(shù)記為1，如表3所示。圖5所示為石英砂巖在試驗(yàn)后的粒度分形曲線。

由圖5可以看出：顆粒破碎前后的粒度分形曲線有較大差別，圍壓越大，粒度分形曲線擬合直線的斜率越小，相關(guān)系數(shù)2為0.974~0.991，表明顆粒破碎后粒徑分布的分形特性仍顯著，采用分形維數(shù)研究顆粒破碎這種方法可行。

由表3可以看出：圍壓越大，破碎分形維數(shù)越大。對于飽和單軸抗壓強(qiáng)度較大的堆石料(如石英砂巖、片麻巖和砂礫巖)，破碎導(dǎo)致分形維數(shù)增加幅度減小，而對于飽和單軸抗壓強(qiáng)度較小的堆石料(砂板巖)或是多棱角的堆石料(灰?guī)r)，破碎使分形維數(shù)增加幅度增大。

圍壓/kPa：1—試驗(yàn)前；2—200；3—600；4—900；5—1 200

表3 不同圍壓下各粗粒土的分形維數(shù)和相對破碎率

越來越多的研究表明，顆粒材料在荷載作用下顆粒破碎最終會(huì)趨于穩(wěn)定，級配曲線會(huì)達(dá)到一個(gè)分形分布。Einav[17]在Hardin破碎理論的基礎(chǔ)上引入分形理論，提出基于分形理論的修正Hardin破碎指標(biāo)r(如圖6所示)，其定義如下：

式中：()，0()和u()分別為以顆粒質(zhì)量表示的當(dāng)前、初始和極限顆粒級配曲線函數(shù)；m和M分別為試樣最小和最大直徑。圖6中，p表示破碎勢，橫坐標(biāo)代表試樣直徑。

基于分形模型，u()的表達(dá)式為：

1—Br; 2—Bp

修正相對破碎率r是材料的一種基本屬性，反映土體總體破碎情況，計(jì)算方便及物理意義明確，因此，本文作者采用此指標(biāo)研究其與分形維數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過分形維數(shù)和式(3)計(jì)算的相對破碎率如表3中r所示。

從表3可看出：圍壓越大，相對破碎率越大，破碎分形維數(shù)變化越大，相對破碎率變化也越大。試驗(yàn)前粗粒土的分形維數(shù)越大，試驗(yàn)后顆粒相對破碎率就越小。分形維數(shù)大，則細(xì)粒較多，細(xì)粒能很好地填充孔隙，從而使粗粒與其他顆粒接觸變多，顆粒破碎量小，反之亦然。因而可以將分形維數(shù)作為顆粒破碎量化指標(biāo)，來推算不同級配粗粒土在各圍壓下的顆粒破碎程度。

為了反映粗粒土破碎前后分形維數(shù)、圍壓和相對破碎率之間的變化規(guī)律，總結(jié)這幾方面因素的相互關(guān)系如下：

1) 對破碎前后分形維數(shù)1，2和圍壓進(jìn)行整理，以2/1為橫坐標(biāo)，/a為縱坐標(biāo)繪制曲線，并作線性回歸分析，a為大氣壓強(qiáng)，如圖7所示。

1—石英砂巖；2—片麻巖(級配1)；3—片麻巖(級配2)；4—砂板巖；5—砂礫巖；6—灰?guī)r

由圖7可以看出：2/1和/a關(guān)系曲線表現(xiàn)出顯著的線性關(guān)系(2=0.943~0.996)。則2/1隨/a的變化可表示為

式中：和為擬合參數(shù)。對圖7中的6種材料，這2個(gè)擬合參數(shù)如表4所示。

2) 對圖7中6種材料在不同圍壓時(shí)的相對破碎率r和破碎分形維數(shù)2進(jìn)行整理，以r為橫坐標(biāo)，2/r為縱坐標(biāo)繪制曲線，并用冪函數(shù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖8所示。從圖8可以看出：針對本文研究的不同母巖、不同級配和不同形狀的6種粗粒土，破碎后的分形維數(shù)與顆粒相對破碎率之間有較好的對應(yīng)關(guān)系，2/r與r的變化可以用式(6)來表示，即

表4 各粗粒土的a和b擬合值

圖8 D2/B-r?Br的線性擬合曲線

聯(lián)合式(5)和式(6)得破碎前的分形維數(shù)與相對破碎率的關(guān)系式如式(7)所示：

因此，在破碎前分形維數(shù)和擬合參數(shù)和已知的情況下，可由式(7)來估算不同圍壓下粗粒土的相對破碎率。另外，由圖7可以看出，破碎分形維數(shù)與相對破碎率的關(guān)系受母巖、級配和形狀的影響，都是圍繞在圖7所示的冪函數(shù)曲線上。這也進(jìn)一步說明級配連續(xù)土體的顆粒級配可以用分形維數(shù)表示。

4 結(jié)論

1) 所采用的分形模型能較好地適用于粗粒土，能采用分形維數(shù)來描述級配。

2) 各縮尺方法得到的粒度分形曲線形態(tài)有較大差別，與原始級配的粒度分形曲線有不同程度的偏離，縮尺粒徑越小偏離程度越大，且縮尺級配的分形維數(shù)小于原型級配的分形維數(shù)。

3) 建立縮尺粒徑和分形維數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，研究縮尺級配與原始級配分形維數(shù)的差異。

4) 基于分形理論的修正Hardin破碎指標(biāo)r，從不同母巖材料、不同級配和不同顆粒形狀的角度考慮粗粒土受力后的顆粒破碎程度。研究指出圍壓越大，破碎分形維數(shù)和相對破碎率越大，試驗(yàn)前粗粒土的分形維數(shù)越大，試驗(yàn)后相對破碎率越小。

5) 破碎后的分形維數(shù)與相對破碎率受母巖、級配和形狀的影響呈冪函數(shù)的關(guān)系，通過破碎前的分形維數(shù)和擬合參數(shù)可估計(jì)不同圍壓下粗粒土的相對破 碎率。

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(編輯 劉錦偉)

Gradation of coarse grained soil and fractal geometry character of particle breakage

CHEN Liufen1, 2, GAO Zhuangping1, ZHU Jungao1, 2, YIN Jianhua3

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2. Geotechnical Research Institution, Hohai University, Nanjing 210098, China;3. Department of Civil and Structure Engineering, Hongkong Polytechnic University, Hongkong 999077, China)

The applicability of soil cumulative mass particle-size distribution for coarse grained soil was verified, and the change rule of fractal dimension was analyzed in the situation of different particle sizes and scale methods. The connection between scale gradation and original gradation was also established through fractal dimension. Relative breakage rate was calculated according to the triaxial tests with different parent rocks, gradations and particle shapes. The correlation between fractal dimension and relative breakage rate was also discussed. The results show that fractal dimension can quantitatively describe original gradation and scale gradations. There exist great differences between fractal dimension curves of particle size with different scale methods, and all of them deviate from original gradation’s, the smaller scale size is, the bigger the deviation is. In the four scale methods, an excellent linear relationship between fractal dimension and the logarithm values of particle size has been found. The bigger the pressure is, the larger the broken fractal dimension and relative breakage rate is. The relative breakage rate decreases with the increase of fractal dimension before test. The broken fractal dimension and relative breakage rate displays a power functional relation under the condition of different parent rocks, gradations and particle shapes. Therefore, relative breakage rate of different pressure can be estimated through fractal dimension and fitting parameters.

coarse grained soil; gradation; particle breakage; fractal dimension; relative breakage rate

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.038

TU411

A

1672?7207(2015)09?3446?08

2014?09?17；

2014?11?03

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2013CB036404)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20110094110002)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃項(xiàng)目(B13024) (Project(2013CB036404) supported by the National Basic Research Program (973 Program) of China; Project(20110094110002) supported the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of High Education; Project(B13024) supported by the Program of Introducing Talents of Discipline for Universities)

朱俊高，教授，從事土體本構(gòu)關(guān)系研究；E-mail: zhujungao@hhv.edu.cn