陸家明，汪立新，2，祁 浩

0 引言

在CDMA系統(tǒng)中，常見的CDMA擴頻碼本能夠容納的用戶數(shù)一般都不超過擴頻碼的長度，如m序列、Gold序列。當(dāng)頻帶資源受限，激活用戶數(shù)超過擴頻碼本長度時，稱該CDMA系統(tǒng)處于“過載”狀態(tài)，相應(yīng)地就必須考慮能夠容納更多用戶數(shù)的碼本［1］。WBE(Welch Bound Equality)序列是指總平方互相關(guān)達(dá)到最低的序列，能夠用來組建“過載”狀態(tài)下CDMA系統(tǒng)的擴頻碼本［2－3］。最優(yōu)格拉斯曼序列又被稱為MWBE(Maximum Welch Bound E-quality)序列，是一種特殊的WBE序列。相比于一般的WBE序列，最優(yōu)格拉斯曼序列具有更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，所有元素間均具有相同的互相關(guān)，更適合用來作為CDMA的擴頻碼本［4－5］。然而，當(dāng)系統(tǒng)“過載”時，用戶間的干擾就會變的非常大，雖然最優(yōu)格拉斯曼序列是所有相同大小的碼本中，序列間最不相關(guān)的碼本，但是采用已有的多用戶檢測方法還是會有較大的誤碼率。本文借鑒了文獻(xiàn)［6］中對于二值優(yōu)化問題的處理方法，提出了一種基于最優(yōu)格拉斯曼序列的多用戶檢測預(yù)處理的方法，使得系統(tǒng)的誤碼率得到進(jìn)一步的降低，并且能夠同時減少后續(xù)多用戶檢測的運算量。

1 CDMA信道模型

考慮某一同步CDMA系統(tǒng)，總共有N個用戶，擴頻增益為m，即每個用戶都用一個長度為m的序列進(jìn)行擴頻，令 sk表示第k個用戶的擴頻碼，且‖sk‖ =1，k=1，2，…，N，其中，‖·‖為 l2范數(shù)。定義矩陣 S= [s1，s2，…，sN]。在一個符號周期內(nèi)，到達(dá)接收機的信號可以用下式來表示:

式中，Ak表示第k個用戶的信號到達(dá)幅度，bk表示第k個用戶發(fā)送的信息，n表示高斯白噪聲。經(jīng)過匹配濾波器后，信號可以表示為:

式中，A=diag{ A1，A2，…，AN}，R為碼本的互相關(guān)矩陣。

最優(yōu)多用戶檢測［7］是用窮舉的方法挑選出最可能的比特序列，又被稱為最大似然序列檢測(Maximum Likelihood Sequences Detection，MLSD)。最優(yōu)多用戶檢測可用如下式子表示:

式中，H=ARA。最優(yōu)多用戶檢測理論上可以通過最優(yōu)多用戶檢測方法使系統(tǒng)達(dá)到最低的誤碼率，但是由于過于復(fù)雜的計算，最優(yōu)多用戶檢測很難在實際中得到應(yīng)用［8］。

2 二值優(yōu)化問題

首先給出形如下式的二值優(yōu)化問題:

式中，B是一個N×N的對稱矩陣，其非對角線元素相對于對角線元素?fù)碛休^小的值。對于式(4)中的矩陣B可以作如下分解:

式中，Bd是由B中的對角線元素組成的對角矩陣，B+和B－分別保留了B中所有正的和負(fù)的非對角元素，其余值取0。設(shè)中，xi，xj∈{0，1}，1≤i，j≤N則對于任一i，Q(x)可以分解為:

式中，qi表示與xi無關(guān)的項。由于xi只能取0或者1，因此xi滿足xi=x2i，則上式可進(jìn)一步簡化為

假設(shè)除xi外，其他值均已得到最優(yōu)判決，pi的值便可以確定，則

根據(jù)上式的取值條件，對應(yīng)地可以得到

則

而對于ˉpi，根據(jù)式(5)有

式(13)的最后一步是基于這樣一個簡單的推斷:由于 xj只能取 0 和 1，則當(dāng) Bij＞0 時，xj取 1，當(dāng) Bij＜0時，xj取0，能使求和部分夠取得最大值。同理，有

這樣式(12)便可以寫成如下形式:

而對于式(4)，最優(yōu)判決表達(dá)式可以寫成如下的形式:

3 多用戶檢測預(yù)處理方法

為了將上一節(jié)的方法運用到多用戶檢測中，可將最優(yōu)多用戶檢測的表達(dá)式(3)稍作修改，寫成如下形式:

設(shè)^b=2ˉb－e，其中e為所有元素均為1的列向量，這樣，ˉb中的0，{}1分別對應(yīng)于^b中的－1，{}1。則式(17)可以轉(zhuǎn)化為:

式(18)最后一步中省略了常數(shù)項。采用最優(yōu)格拉斯曼序列作為擴頻碼本時，根據(jù)框架理論中最優(yōu)格拉斯曼框架的概念可知，碼本的互相關(guān)達(dá)到了最低，而且任意兩個用戶間的互相關(guān)是相等的。因此，最優(yōu)格拉斯曼序列的互相關(guān)矩陣中有較小的非對角線元素，此時的H滿足式(4)中B的條件。這樣，最優(yōu)多用戶檢測便轉(zhuǎn)化為式(4)的形式，而式(16)的判決條件可以轉(zhuǎn)化為:

根據(jù)式(19)便可對接收信號進(jìn)行多用戶檢測前的預(yù)處理，對某些符合上述判決條件的用戶信號進(jìn)行提前判決，且該判決是最優(yōu)的。隨后，從總接收信號中去掉這些已經(jīng)得到判決的用戶的信號。對于剩余的無法最優(yōu)判決的用戶信號，可通過前面提到的多用戶檢測方法進(jìn)行檢測。由于預(yù)處理后的接收信號中已經(jīng)去掉了最優(yōu)判決的用戶信號，后續(xù)的多用戶檢測所需檢測的用戶數(shù)得到了降低，而且同時減小了剩余信號中的用戶間干擾，使得再用多用戶檢測技術(shù)解調(diào)時變得更加簡單，系統(tǒng)的誤碼率性能得到了改善。根據(jù)式(4)中對矩陣B的要求可知，在多用戶檢測中使用上述預(yù)處理方法時，要求系統(tǒng)所使用的碼本具有較低的互相關(guān)度。

當(dāng)系統(tǒng)采用最優(yōu)格拉斯曼序列作為擴頻碼本時，根據(jù)框架理論中最優(yōu)格拉斯曼框架［9］的概念可知，碼本的互相關(guān)達(dá)到了最低，而且任意兩個用戶間的互相關(guān)是相等的。因此，最優(yōu)格拉斯曼序列的互相關(guān)矩陣中有較小的非對角線元素，且這些元素的絕對值均相等，滿足上述預(yù)處理方法的要求。設(shè)最優(yōu)格拉斯曼序列中任意兩個用戶的互相關(guān)為ρ，則:

使用最優(yōu)格拉斯曼序列時，若有良好的功率控制，所有用戶信號的到達(dá)功率均為A，則上述式(19)的判決條件可進(jìn)一步簡化為:

式中，ˉN表示系統(tǒng)中的激活用戶數(shù)。

圖1為使用上述預(yù)處理方法的解相關(guān)［10］多用戶檢測和單純的解相關(guān)多用戶檢測時，系統(tǒng)中所有用戶的平均誤碼率仿真結(jié)果，其中，系統(tǒng)均采用10，()16最優(yōu)格拉斯曼序列作為用戶的擴頻碼本，激活用戶數(shù)為11，即系統(tǒng)處于“過載”狀態(tài)，并假設(shè)系統(tǒng)處于高斯白噪聲環(huán)境，且具有理想的功率控制。從圖中可以看出，使用預(yù)處理方法后，系統(tǒng)的誤碼率得到了改善。而圖2為信噪比固定為8 dB，激活用戶數(shù)從2逐漸增加到16的過程中，使用預(yù)處理方法和不使用預(yù)處理方法的解相關(guān)多用戶檢測誤碼率。從圖中可以看出，在各種用戶數(shù)條件下，使用預(yù)處理方法的多用戶檢測技術(shù)均具有較明顯的優(yōu)勢，尤其是在用戶數(shù)較多，用戶間干擾較大時。而且該預(yù)處理方法屬于簡單的硬判決，本身的計算量較低，判決之后，剩余信號中的用戶數(shù)和用戶間干擾均得到了降低，在一定程度上也為后續(xù)的多用戶檢測減少了運算量。

圖1 使用預(yù)處理方法和不使用預(yù)處理方法的解相關(guān)多用戶檢測誤碼率

圖2 不同激活用戶數(shù)情況下使用預(yù)處理方法的解相關(guān)多用戶檢測誤碼率

4 結(jié)語

針對CDMA系統(tǒng)“過載”狀態(tài)下用戶間干擾過高的問題，本文提出了一種基于最優(yōu)格拉斯曼序列的多用戶檢測預(yù)處理方法。相較于普通的多用戶檢測技術(shù)，采用最優(yōu)格拉斯曼序列作為擴頻碼本，使系統(tǒng)能夠達(dá)到更低的誤碼率，同時能降低對多用戶檢測的運算量。但是，當(dāng)激活用戶數(shù)較多時，系統(tǒng)還是有較高的誤碼率。最優(yōu)格拉斯曼序列具有非常好的結(jié)構(gòu)特點，如何充分利用最優(yōu)格拉斯曼序列的特性，進(jìn)一步降低誤碼率從而擴大系統(tǒng)容量依然值得深入研究。

［1］ Kumar P，Chakrabarti S．BER Analysis of Hard Decision Interference Cancellation Receiver for Overloaded DSCDMA System［C］//Sarnoff Symposium．Princeton，NJ:IEEE，2008(4):1－5．

［2］ Sarwate D V．Meeting the Welch Bound with Equality［M］．Sequences and Their Applications．Springer London，1999:79－102．

［3］ HU Hong－gang，WU Jin－song．New Constructions of Codebooks Nearly Meeting the Welch Bound with Equality［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2014，60(2):1348－1355．

［4］ Heath R W，Strohmer T，Paulraj A J．Grassmannian Signatures for CDMA Systems［C］//Global Telecommunications Conference，San Francisco，USA:IEEE，2003:1553－1557．

［5］ Heath R W，Strohmer T，Paulraj A J．On Quasi－Orthogonal Signature for CDMA Systems［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2006，53(3):1217 －1226．

［6］ Axehill D，Hansson A．A Preprocessing Algorithm for MIQP Solvers with Applications to MPC ［C］//43rd IEEE Conference Decision Control，Atlantis，Paradise Island，Bahamas:IEEE，2004:2497－2502．

［7］ Rose C，Ulukus S，Yates R D．Interference Avoidance for Wireless System［C］//Vehicular Technology Conference Proceedings，Tokyo:IEEE，2000:901－906．

［8］ 方雷，梁曉雯．基于球形譯碼的聯(lián)合多用戶檢測［J］．通信技術(shù)，2011，44(09):56 －58．FANG Lei，LIANG Xiao － wen．Joint Multi－ user Detectors based on Sphere Decoding in MIMO Multi－Carrier System［J］．Communications Technology，2011，09:56 －58．

［9］ 江寧馨，李峰．多用戶檢測中解相關(guān)檢測和最小均方誤差檢測的研究［J］．計算技術(shù)與自動化，2010，29(04):7－10．JIANG Ning－ xin，LI Feng．The Study of Decorrelation Detection and MMSE Detection in Multi－user Detection［J］．Computing Technology and Automation，2010，29(04):7－10．

［10］ Strohmer T，Heath R W．Grassmannian Frames with Applications to Coding and Communication［J］．Applied and Computational Harmonic Analysis，2003，14(3):257－275．