李嘉浪，李華君，徐 慶

（天津大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，天津 300072）

基于小波閾值的非局部均值去噪*

李嘉浪，李華君，徐 慶

（天津大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，天津 300072）

非局部均值去噪算法充分利用了圖像的全局信息，因此比傳統(tǒng)的局部去噪算法有著更好的去噪效果。但是，非局部均值去噪算法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度較高，故利用小波閾值的方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后使用非局部均值處理的數(shù)據(jù)量大幅減小。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后的算法比非局部均值算法去噪效果基本持平，且運(yùn)行速度更快。

非局部均值；小波閾值濾波；圖像去噪

1 引言

數(shù)字圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中容易受到噪聲的污染，被污染的圖像會(huì)影響圖像的進(jìn)一步處理，對(duì)圖像的理解和識(shí)別帶來一定的困難。有效的去噪算法對(duì)后續(xù)的應(yīng)用處理有著重要的意義。

圖像去噪處理方法一般分為三大類：第一類是空間域法，比較常用的方法有高斯濾波法［1］、中值濾波法［2］和雙 邊濾 波 法［3］。第 二 類 是 基于貝 葉 斯最大后驗(yàn)概率推出的能量泛函模型。能量泛函包含兩部分：數(shù)據(jù)模型和先驗(yàn)?zāi)Ｐ?。比較常見的有馬爾可夫 隨 機(jī)場(chǎng)模 型［4］、熵 理 論［5］和幾何 模 型 方法［6］。第三類是變換域的處理方法，將圖像變換到頻率域中進(jìn)行處理，比較常見的方法有傅里葉變換和小波變換［7］。其中由于小波處理的獨(dú)特優(yōu)越性，近年來成為了圖像處理的一個(gè)重要工具。

Buades A［8］針對(duì)空間域的加性噪聲提出了非局部均值NLM（Non-Local Means）去噪模型。該算法主要采用全局搜索的方法，充分利用圖像的冗余信息，得到圖像每一個(gè)像素的灰度值。算法使用了塊匹配的思想，從而增強(qiáng)了圖像匹配的魯棒性。由于該算法效果顯著，在近些年得到了廣泛的關(guān)注和改進(jìn)。

Orchard J［9］提出將圖像先映射成一個(gè)低維度的矩陣，縮短運(yùn)算時(shí)間，同時(shí)降維矩陣保留了原圖的主要特征。Tasdizen T［10］提出了基于主成份分析法的快速NLM去噪PNLM（PCA Non-LocalMeans）。先求出圖像塊的特征值和特征向量，將特征值按從高到低進(jìn)行排列，然后取前六個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，將圖像塊映射到這六個(gè)特征向量上。圖像塊降到一個(gè)低維度的矩陣，降低了時(shí)間復(fù)雜度；同時(shí)保留了圖像的主要信息，故去噪效果與原NLM效果基本持平。Vignesh R等［11］提出閾值法，當(dāng)塊間距離超過閾值時(shí)，說明搜索塊和待處理塊的相關(guān)性較差，將其丟棄，以提高運(yùn)算效率，同時(shí)加大相似塊的權(quán)重，改進(jìn)去噪效果。Brox T等［12］提出先進(jìn)行圖像分類，利用k均值算法將相近的像素劃為一類，NLM只在相近的類中進(jìn)行計(jì)算，減少計(jì)算的時(shí)間。Van De Ville D等［13］將均方誤差作為目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)均方誤差達(dá)到最小時(shí)相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置為NLM的最優(yōu)參數(shù)。Mahmoudi M［14］使用像素塊的平均值和梯度值作為評(píng)價(jià)像素塊相似的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于不相似的像素塊及時(shí)丟棄。文獻(xiàn)［15］在NLM權(quán)重計(jì)算過程中用1范數(shù)代替2范數(shù)，從而使得邊緣更加清晰飽滿。Sun Z［16］對(duì)文獻(xiàn)［15］進(jìn)行了改進(jìn)，將兩個(gè)塊相似度的計(jì)算改為p范數(shù)（0＜p＜1）。

本文針對(duì)NLM時(shí)間復(fù)雜度較高的問題，提出將小波閾值和非局部均值去噪進(jìn)行結(jié)合的方法，將圖像進(jìn)行兩層小波分解。對(duì)于第二層的低頻部分L2進(jìn)行保留，第二層的高頻部分使用小波閾值去噪。將處理后的第二層進(jìn)行逆小波變換，得到第一層的低頻圖像L 1′。對(duì)L 1′進(jìn)行改進(jìn)的NLM處理，第一層的高頻部分用小波閾值處理，最后進(jìn)行小波逆變換得出去噪后的圖像。利用小波特性，保留了圖像的紋理特征，得到較好的去噪效果，并提高了算法的運(yùn)行速度。

2 非局部均值去噪算法

圖像噪聲模型可以寫為：

v（i）=u（i）+n（i） （1）

其中，u（i）代表著未被污染的圖像的像素值，n（i）代表著噪聲，v（i）代表著污染后圖像的像素值。

非局部均值去噪中目標(biāo)像素點(diǎn)的估計(jì)值是由圖像中所有的像素點(diǎn)加權(quán)平均得到的，權(quán)重的大小是由兩個(gè)以像素點(diǎn)為中心的像素塊的相似度來決定的：

其中，z（i）的作用是實(shí)現(xiàn)權(quán)重的歸一化，i是目標(biāo)像素點(diǎn)，j是圖像中所有的像素點(diǎn)。像素i和像素j的相似度依賴于灰度級(jí)矩陣P（i）和P（j）的相似度，P（i）是指以i為中心的n×n的像素矩陣塊，n一般取7。P（i）和P（j）的相似度通過高斯加權(quán)歐式距離‖P（i）—P（j）‖2來表示。h為濾波參數(shù)，控制指數(shù)函數(shù)的衰減速度，即權(quán)重的衰減速度。

在遍歷了所有的像素點(diǎn)后得出了圖像中所有像素點(diǎn)對(duì)于目標(biāo)像素點(diǎn)的權(quán)重，最后將所有像素點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)均值即可得到目標(biāo)像素點(diǎn)的像素值：

其中，u（i）代表著i點(diǎn)的預(yù)測(cè)像素值，u（j）代表原始圖像在j點(diǎn)的像素值。

3 小波閾值去噪

小波閾值去噪是小波去噪中比較有代表性的一種方法。小波去噪的實(shí)質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題：即根據(jù)衡量準(zhǔn)則，如何在由小波母函數(shù)伸縮和平移展成的函數(shù)空間中，區(qū)分出信號(hào)和噪聲，尋找對(duì)原信號(hào)的最佳逼近。小波閾值收縮去噪利用了小波變換中多分辨特性對(duì)特定信號(hào)的“集中能力”，即如果一個(gè)信號(hào)的能量集中于少數(shù)小波系數(shù)，那么這些系數(shù)值必然大于能量分散的噪聲小波系數(shù)值。

小波閾值收縮法中，最為重要的是選擇閾值和閾值函數(shù)。閾值太小，去噪后圖像仍有噪聲；相反，閾值太大，重要的圖像特征將被濾掉，引起失真。直觀上講，對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。所以，大多數(shù)閾值選擇過程是針對(duì)一組小波系數(shù)，根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性，計(jì)算出閾值。

本文小波閾值的選取主要采用的是Bayes shrink法，該計(jì)算公式如下：

其中分母表示圖像的信號(hào)方差估計(jì)，分子表示噪聲的信號(hào)方差估計(jì)。當(dāng)小波系數(shù)小于閾值時(shí)，說明信號(hào)受噪聲的影響較大，故置為0；當(dāng)小波系數(shù)大于閾值時(shí)，說明信號(hào)受噪聲的影響較小，所以進(jìn)行保留。

假設(shè)小波系數(shù)是 wj，k，變換后的 小波系數(shù)為w'j，k，u為小波閾值，軟閾值和硬閾值函數(shù)表示如下：

軟閾值法：

硬閾值法：

4 基于小波閾值的非局部均值去噪

圖像在采集、轉(zhuǎn)換和傳輸過程中受到成像設(shè)備和外部環(huán)境的干擾而產(chǎn)生噪聲，這些噪聲有一定的共同點(diǎn)，即在一定的頻段會(huì)表現(xiàn)出一定的特征。小波變換是一種窗口大小固定但其形狀可改變、時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。經(jīng)小波變換后圖像的大部分能量多集中在趨勢(shì)變換系數(shù)而不是波動(dòng)系數(shù)。圖像經(jīng)小波變換后在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。這種特性使得小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性，能較好地分析處理信號(hào)的局部特性。

圖像和噪聲經(jīng)過小波變換后表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計(jì)特征，圖像本身的能量主要集中在低頻，與幅值較大的小波系數(shù)對(duì)應(yīng)。噪聲主要分散在小波變換后的高頻部分，與幅值較小的小波系數(shù)相對(duì)應(yīng)。故改進(jìn)算法主要將圖像進(jìn)行多分辨率分解，在低頻部分用改進(jìn)的NLM進(jìn)行去噪處理，而在高頻部分則采用小波硬閾值的方法進(jìn)行處理。

其步驟可總結(jié)如下：

（1）對(duì)一幅含有噪聲的圖像，進(jìn)行二維小波分解。分解為低頻圖像L1和高頻的細(xì)節(jié)信息圖像H 1。

高頻的細(xì)節(jié)信息又包含了三個(gè)部分：水平細(xì)節(jié)信息、垂直細(xì)節(jié)信息和對(duì)角細(xì)節(jié)信息。

（2）使用Bayes shrink法對(duì)高頻圖像H 1進(jìn)行小波閾值去噪，得到H 1′。

（3）對(duì)L 1進(jìn)行小波分解，分解為低頻圖像L2和高頻圖像H 2。

由于L1中噪聲部分和圖像信息混合在一起，并沒有較為明顯的區(qū)分。因此需要進(jìn)行分解，需要分解的層數(shù)與圖像質(zhì)量和特性有關(guān)。通過實(shí)驗(yàn)得出分解到二層的時(shí)候處理效果已經(jīng)達(dá)到處理要求。

（4）使用Bayes shrink法對(duì)高頻圖像H 2進(jìn)行小波閾值去噪，得到H 2′。

第二次分解后的低頻部分L2主要含有圖像的整體信息，故不作任何處理；高頻部分 H 2含有圖像細(xì)節(jié)和噪聲，使用小波硬閾值法進(jìn)行噪聲的過濾，得到H 2′。

（5）通過小波逆變換對(duì)L 2和H 2'進(jìn)行重構(gòu)。

（6）對(duì)（5）重構(gòu)得到的低頻圖像使用改進(jìn)的NLM去噪算法，得到圖像L 1′。對(duì)NLM算法進(jìn)行改進(jìn)，即用每一迭代得出的新像素值取代對(duì)應(yīng)原圖的原始像素值，在下一次迭代時(shí)使用上一次迭代更新后的圖像像素值，使得信息的提取更加準(zhǔn)確。

具體步驟如下：

①對(duì)于L 1′中的每一個(gè)像素點(diǎn)i，計(jì)算圖像所有像素值的權(quán)重w（i，j），權(quán)重的計(jì)算如下：

其中，P'（i）、P'（j）分別為更新后圖像L 1′中以i和j為中心的像素塊。

其中，w（i，j）為公式（7）中得到的各個(gè)像素點(diǎn)的權(quán)重，u'（j）為更新后圖像L 1′中第j個(gè)像素點(diǎn)的像素值。

②更新L 1′中第i個(gè)像素點(diǎn)的像素值為u（i）。

（7）通過小波逆變換對(duì)H 1'和L1'進(jìn)行重構(gòu)，得到最終的輸出圖像。具體算法的流程如圖1所示。

Figure 1 Denoising processing圖1 去噪流程圖

5 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果

將改進(jìn)后的NLM去噪和原始的NLM、小波閾值去噪以及PNLM進(jìn)行比較。測(cè)試的圖像采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)RGB測(cè)試圖像House和Pepper，大小是256×256像素。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為峰值信噪比PSNR （Peak Signal to Noise Ratio）。添加的噪聲為高斯白噪聲，方差為30～50。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。

由表1可以看出，基于小波閾值的NLM去噪算法與原始的 NLM去噪算法相比，在σ較小時(shí)PSNR略有不及，但在σ比較大的時(shí)候，PSNR有略微反超。與小波閾值去噪算法相比，PSNR的提高比較明顯。

圖2為表1所列方法的處理結(jié)果圖，實(shí)驗(yàn)中的噪聲量σ為30。改進(jìn)后的去噪算法的PSNR與NLM以及PNLM在處理效果的指標(biāo)上基本持平。但是從肉眼觀察來說，更符合人眼的視覺標(biāo)準(zhǔn)，且色彩更加飽和，邊緣更加清晰。相比NLM原算法，基于小波閾值的NLM充分考慮了時(shí)間復(fù)雜度問題，使得NLM處理的數(shù)據(jù)量降低為原來的1/4。設(shè)圖像尺寸為m×m，鄰域圖像尺寸塊為n×n，權(quán)重的搜索窗口限定在t×t，其原始NLM計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為O（m2·n2·t2），計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度很大?；谛〔ㄩ撝档姆蔷植咳ピ胨惴▽D像進(jìn)行了兩層小波分解，NLM算法主要在第一層的低頻圖像進(jìn)行迭代。第一層的低頻圖像是原始圖像的1/4大小，權(quán)重的搜索窗口限定為1/2t×1/2t，鄰域尺寸不變，故在小波閾值分解后NLM處理的時(shí)間復(fù)雜度為O（1/16·m2·n2· t2）。

Table 1 PSNR comparison between the wavelet shreshold NLM and other methods表1 基于小波閾值非局部去噪與其它方法的峰值信噪比PSNR結(jié)果對(duì)比

Figure 2 Results of different denoised methods圖2 不同方法對(duì)House的去噪結(jié)果圖

將基于小波閾值的非局部均值去噪算法與原始的NLM、小波閾值去噪以及PNLM運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2。由于本文所提出的算法分為二維小波分解、小波閾值去噪以及 NLM去噪，其中小波分解以及小波閾值去噪需占用一定時(shí)間，故實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間未達(dá)到原算法的1/16。以上的測(cè)試是在主頻為Intel Core Duo 2.53 GHz、1 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上得出的。

Table 2 Execution time comparison between the wavelet shreshold NLM and other methods表2 基于小波閾值的非局部均值去噪與其它方法的執(zhí)行時(shí)間對(duì)比 s

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于小波閾值的快速非局部均值去噪算法。該算法對(duì)圖像進(jìn)行了兩層小波分解。對(duì)于第一層和第二層的高頻部分使用小波閾值去噪，對(duì)于逆變換后第一層的低頻圖像使用改進(jìn)的NLM去噪。通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了基于小波閾值的NLM算法，在去除噪聲的同時(shí)更好地保持了圖像的邊緣信息，且相較其他NLM改進(jìn)算法運(yùn)行的時(shí)間大幅降低。

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李嘉浪（1988），女，山西臨縣人，碩士生，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖像處理。E-mail：542617751@qq.com

LI Jia-lang，born in 1988，MS candidate，her research interest includes computer image processing.

李華君（1989 ），女，湖南吉首人，碩士生，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形可視化。E-mail：411617428@qq.com

LI Hua-jun，born in 1989，MS candidate，her research interest includes computer graphic visualization.

徐慶（1969 ），男，天津人，博士，教授，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：qingxu@tju.edu.cn

XU Qing，born in 1969，PhD，professor，his research interest includes computer graphics.

Non-local means denoising based on wavelet threshold

LI Jia-lang，LI Hua-jun，XU Qing
（School of Computer Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The non-local means denoising algorithm can use the globe information of the picture，therefore it has better denoising effect than other traditional algorithms.However，since its time complexity is high，we put forth a new non-local means denoising algorithm based on wavelet threshold filter，which use much less data than the traditional non-local means.Experimental results show that compared to the traditional non-local means，the denoising effect of our algorithm is basically the same，but the running speed is faster.

non-local means；wavelet threshold filter；image denoising

TP317.4

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.08.019

1007-130X（2015）08-1546-05

2014-04-08；

2014-07-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（U1333110）

通信地址：300072天津市天津大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

Address：School of Computer Science，Tianjin University，Tianjin 300072，Tianjin，P.R.China