梁欣濤++高華強(qiáng)++康守強(qiáng)++朱建良++王玉靜++鄭勢

摘要：構(gòu)建了新的五維混沌系統(tǒng)，進(jìn)行離散混沌模型的仿真，給出了系統(tǒng)的混沌吸引子相圖，對(duì)該系統(tǒng)的耗散性、吸引子的存在性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Lyapunov指數(shù)及維數(shù)、功率譜、Poincare截面圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有混沌特性，有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，且該行為對(duì)系統(tǒng)參數(shù)具有敏感性.為了使混沌得到更廣泛應(yīng)用，采用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)，對(duì)離散化的五維混沌系統(tǒng)進(jìn)行Modesim仿真，將VHDL程序配置到FPGA中，并利用數(shù)模轉(zhuǎn)換模塊在示波器上觀測到了該系統(tǒng)的混沌吸引子相圖.數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與離散模型仿真分析是一致的，進(jìn)一步從物理實(shí)現(xiàn)上說明了系統(tǒng)的混沌特性.

關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)；分岔圖；Lyapunov指數(shù)；電路實(shí)現(xiàn)

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.03.020

中圖分類號(hào)：TN911.73

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-2683（2015）03-0101-05

0 引 言

構(gòu)造全新的混沌系統(tǒng)或改進(jìn)型混沌系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上，對(duì)其混沌特性及其應(yīng)用進(jìn)行分析研究，這是目前國內(nèi)外研究混沌的一個(gè)熱點(diǎn)課題.混沌系統(tǒng)主要有離散混沌系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)兩大類.離散混沌系統(tǒng)典型的有一維拋物映射（Logistic映射）和二維的Henon映射.連續(xù)混沌系統(tǒng)較多，典型的有廣義Lorenz系統(tǒng)族、Rossler系統(tǒng)、Chua系統(tǒng)、Sprott系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、Qi系統(tǒng)等.近年來，為了構(gòu)建新的復(fù)雜的混沌系統(tǒng)，學(xué)者們利用各種方式來構(gòu)建新的高維混沌系統(tǒng).對(duì)新混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與分析進(jìn)一步豐富和完善了混沌理論，為混沌應(yīng)用提供了一些新的技術(shù)手段，從而促進(jìn)了混沌在自然科學(xué)、電子、通信以及其他工程應(yīng)用領(lǐng)域的發(fā)展.具體的應(yīng)用比如：研制混沌信號(hào)發(fā)生器、高容量動(dòng)態(tài)信息存儲(chǔ)器、信息加密、保密通信、信號(hào)檢測與處理等.在某些應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)如果采用模擬器件實(shí)現(xiàn)，由于元器件參數(shù)的離散性等因素，使應(yīng)用系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)很困難，解決該問題的有效途徑是基于連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化和數(shù)字化處理技術(shù)來實(shí)現(xiàn)混沌序列及算法，進(jìn)而利用先進(jìn)數(shù)字處理器件與技術(shù)來實(shí)現(xiàn).該方法為混沌的應(yīng)用，尤其是在混沌保密通信領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了強(qiáng)大的技術(shù)支持.

本文構(gòu)造了一個(gè)新五維二次的混沌系統(tǒng).該系統(tǒng)每個(gè)方程中各含有一個(gè)二次的非線性交叉乘積項(xiàng)，所需乘法器數(shù)量少，實(shí)現(xiàn)簡單.對(duì)新五維混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)系統(tǒng)的耗散性、吸引子的存在性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Lyapunov指數(shù)及維數(shù)、功率譜、Poincare截面圖動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究，根據(jù)分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜詳細(xì)分析了混沌行為的系統(tǒng)參數(shù)敏感性，其中部分參數(shù)在很大范圍內(nèi)呈現(xiàn)混沌.最后，利用FPGA實(shí)現(xiàn)了新五維混沌系統(tǒng)的硬件電路，在示波器上觀察到混沌吸引子相圖，證實(shí)了該系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性.

1 新的五維混沌系統(tǒng)

本文提出的新五維混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：其中， 為常數(shù)，當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)存在典型的部分混沌吸引子，如圖l所示.

由圖1可以看出，提出的五維混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌吸引子相圖清晰、飽滿.由于該混沌系統(tǒng)對(duì)初值極為敏感，它表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定，而從相圖的形成過程可看出系統(tǒng)又是從暫態(tài)向漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，尋求穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡靠近又分開，分開又反折而靠近，來回折疊無數(shù)次，形成復(fù)雜吸引子結(jié)構(gòu).

2 基本動(dòng)力學(xué)特性

2.1耗散性和吸引子的存在性

由于

即隨著時(shí)間的推移，包含系統(tǒng)軌跡的每個(gè)體積元以指數(shù)率 收縮到零.這種體積收縮作用將使相軌跡必須折回來，即產(chǎn)生折疊運(yùn)動(dòng).拉伸運(yùn)動(dòng)和折疊運(yùn)動(dòng)兩者相互作用的結(jié)果，只能是形成具有分形和分維的混沌運(yùn)動(dòng)，因此，從該角度定性分析出了系統(tǒng)（1）可形成混沌吸引子.

2.2平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)可解下列代數(shù)方程組得到：

給定系統(tǒng)（1）中的參數(shù)值后，系統(tǒng)（1）的6個(gè)平衡點(diǎn)分別為：

考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)系統(tǒng)在各平衡點(diǎn)處線性化，得到Jacobi矩陣并計(jì)算各平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征值，在平衡點(diǎn)So處的Jacobi矩陣為

根據(jù) ，得到其特征值為

.這里5個(gè)特征根的實(shí)部有正也有負(fù)，根據(jù)Routh-Hurwitz條件，可得平衡點(diǎn)SO是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).同理，可得到其他平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征值，結(jié)果如表1所示.

從表1可以看出，每個(gè)平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有特征值中至少有一個(gè)實(shí)部為正，且至少有一個(gè)實(shí)部為負(fù)，因此系統(tǒng)（1）的所有平衡點(diǎn)均是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).

2.3 Lyapunov指數(shù)與Lyapunov維數(shù)

Lyapunov指數(shù)（簡寫為LE）是混沌系統(tǒng)中定量描述狀態(tài)空間混沌吸引子軌線彼此排斥和吸引的且.本文利用LET程序包，計(jì)算得到系統(tǒng)（1）的所有Lyapunov指數(shù)分別為 .如圖2所示.可見，該系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)，是混沌系統(tǒng).

新五維混沌系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的維數(shù)為：

這里， ，其中j是保證 的最大 值.因此可求得 的大小為：

即該系統(tǒng)LE的維數(shù)是分?jǐn)?shù)維數(shù)，也就是所謂的分維，這點(diǎn)也證明混沌的存在.

2.4 時(shí)域波形、功率譜及Poincare截面圖

混沌系統(tǒng)的時(shí)域波形具有非周期性，以分量X3和 為例，從圖3的（a）和（b）可以看出系統(tǒng)（1）的時(shí)域波形具有這種特點(diǎn).而從圖3的（c）和（d）可以看出，他們的頻譜存在連續(xù)寬頻帶特性，沒有明顯的波峰，并且峰值連續(xù)，說明系統(tǒng)（1）具有混沌特性，

利用Poincare截面圖進(jìn)一步分析系統(tǒng)（l），給定系統(tǒng)（1）中的參數(shù)后，選擇既不包含系統(tǒng)的軌跡，也不與軌線相切的平面作為Poincare截面，通過觀察截面上截點(diǎn)的情況，判斷系統(tǒng)是否可產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng).如圖4所示，得到系統(tǒng)（1）在幾個(gè)截面上的Poin-care映像，可見，在Poincare截面上有無窮多個(gè)分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，形成一段連續(xù)的曲線，進(jìn)一步說明了此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是混沌的.

2.5 Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖

如系統(tǒng)（1）參數(shù)改變，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化，其運(yùn)行狀態(tài)也發(fā)生相應(yīng)的改變.隨參數(shù)變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖可以直觀地分析出系統(tǒng)狀態(tài)變化情況.以系統(tǒng)（1）中的部分參數(shù)變化的情況為例進(jìn)行討論.

1）參數(shù)k變化情況：其他參數(shù)不變，改變k，

令參數(shù)k在[O，5.9]范圍內(nèi)變化，圖5的（a）和（b）給出了隨k變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖.可以看出二者具有很好的一致性，當(dāng)k在[0，1.1）時(shí)，所有LE均小于零，系統(tǒng)（1）處于穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)k在[1.1，1.95），且除去1.2附近的值時(shí)，LE1大于零，其他LE2等于零，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)k取1.2附近的值時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，當(dāng)k在[1. 95，2.9）時(shí)，系統(tǒng)又處于周期分岔狀態(tài)，當(dāng)k在[2.9，5.9）時(shí)，系統(tǒng)又處于混沌狀態(tài)，

2）參數(shù)d變化情況：其他參數(shù)不變，改變d.

令參數(shù)d在[0，1000]范圍內(nèi)變化，圖5的（c）和（d）給出了隨著d變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，當(dāng)d在[0，8]時(shí)，系統(tǒng)（1）處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)d在（8，20]時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔；當(dāng)d在（20，50]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)d在（50，91]時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔；當(dāng)d在（91，1000]時(shí)，系統(tǒng)又處于混沌狀態(tài)，同時(shí)在整個(gè)混沌帶內(nèi)存在著數(shù)個(gè)周期窗口.因此，系統(tǒng)（1）當(dāng)參數(shù)d在[0，1000]內(nèi)變化時(shí)，LE可得到較大值，最大LE可達(dá)到5，而且相比其他系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌的參數(shù)范圍較大.

3 系統(tǒng)的離散化仿真及FPGA實(shí)現(xiàn)

3.1 混沌系統(tǒng)的Modelsim仿真

為了采用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)新五維混沌系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化，得到VHDL語言程序文件.利用Test Bench生成.tcl文件用于Modelsim進(jìn)行RTL門級(jí)仿真，系統(tǒng)的xl、x2、x3、x4和x5變量的Modelsim仿真波形如圖6所示.可見，該離散化仿真結(jié)果與圖3中時(shí)域波形的Matlab仿真結(jié)果完全一致，說明新五維混沌系統(tǒng)離散模型正確，并可以在FPGA中實(shí)現(xiàn).

3.2 系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)

用Modelsim進(jìn)行功能仿真后，將VHDL語言程序配置到FPGA中，本文選用型號(hào)為EP3C25E144C8的Cyclone系列FPCA構(gòu)建系統(tǒng)，以驗(yàn)證混沌吸引子的存在，通過高速數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片DAC904E，利用示波器觀察到模擬混沌吸引子相圖.為了和數(shù)值仿真結(jié)果做比較，本文在圖7中給出了五維混沌系統(tǒng)的部分吸引子相圖，這些相圖分別對(duì)應(yīng)于圖1中給出的數(shù)值仿真相圖，可見，通過示波器觀測到的相軌跡圖同數(shù)值仿真分析是一致的，從物理意義上進(jìn)一步驗(yàn)證了新五維混沌系統(tǒng)的混沌特性.

4 結(jié) 論

本文提出一個(gè)新的五維混沌系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真，分析了基本的混沌動(dòng)力學(xué)特性，定性地確定了系統(tǒng)混沌的存在性.并且該系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌的d參數(shù)范圍很大，當(dāng)該參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的最大Lya-punov指數(shù)可達(dá)到5，存在復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為.最后，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的硬件數(shù)字電路，在示波器上觀測到的吸引子相圖同數(shù)值仿真分析一致，從物理意義上進(jìn)一步驗(yàn)證了五維系統(tǒng)的混沌特性.提出的五維混沌系統(tǒng)及實(shí)現(xiàn)的電路可為隨參數(shù)變化的混沌信號(hào)發(fā)生器提供依據(jù)，也可為提高混沌保密通信安全性、混沌數(shù)值通信的可靠性及其他應(yīng)用提供新的信號(hào)源.