王 澤，楊洪耕，王佳興，韓 斐

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引言

間諧波的檢測是目前電能質(zhì)量研究領(lǐng)域內(nèi)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。國際電工委員會(huì)標(biāo)準(zhǔn)IEC61000-4-7規(guī)定采用基于離散傅里葉變換DFT（Discrete Fourier Transform）和快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）算法來測量間諧波，并且規(guī)范了信號(hào)同步采樣矩形窗口寬度為10個(gè)工頻周期[1-3]。

傳統(tǒng)的加窗插值算法[4]要犧牲采樣窗口寬度以換取更小的頻率分辨率，從而使快速檢測失去意義；有關(guān)頻譜細(xì)化的相關(guān)算法包含的移頻、濾波等步驟會(huì)消耗大量的內(nèi)存和時(shí)間[5]；以Prony算法為代表的譜估計(jì)方法[6]及基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和HHT的檢測方法[7]，計(jì)算量大和對噪聲敏感的缺點(diǎn)制約了其在間諧波快速檢測中的應(yīng)用。而針對有限窗長的間諧波快速檢測現(xiàn)已有相關(guān)的研究并取得了一定成果[8-10]，但當(dāng)實(shí)際間諧波距離基波、諧波或直流分量較近時(shí)，檢測結(jié)果會(huì)出現(xiàn)很大的誤差或錯(cuò)誤。系統(tǒng)出現(xiàn)等幅的低頻振蕩時(shí)，直流分量附近會(huì)產(chǎn)生0.1～2.5 Hz的超低頻間諧波，對其檢測時(shí)必須要考慮負(fù)頻率的干擾影響，文獻(xiàn)[11]指出了負(fù)頻率對檢測結(jié)果的誤差影響，文獻(xiàn)[12-13]考慮了負(fù)頻率的影響，改進(jìn)結(jié)果使測量精度提高，但是均不能滿足IEC標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的10個(gè)工頻周期檢測條件。對于鄰近基波或諧波的間諧波，間諧波會(huì)泄漏到附近的基波或諧波譜線上，文獻(xiàn)[14]在IEC標(biāo)準(zhǔn)框架下實(shí)現(xiàn)了諧波和間諧波頻譜的分離，使鄰近基波或諧波的間諧波幅值測量精度提高，但無法求出間諧波的頻率和相位參數(shù)。

本文在IEC標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的檢測條件下，推導(dǎo)了計(jì)及負(fù)頻率影響的間諧波模型，并利用3根不同位置的間諧波譜線組成的線性方程組，求解出不同情況下的間諧波頻率、幅值和相位參數(shù)。重點(diǎn)對超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波進(jìn)行了分析，當(dāng)間諧波與基波、諧波或直流分量的距離小于1個(gè)頻率分辨率時(shí)，本文算法仍能將間諧波參數(shù)快速測量出來。同時(shí)，該方法不受直流分量和諧波分量的影響，檢測速度和抗噪性能也比較好。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法在檢測超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波參數(shù)時(shí)的快速性和有效性。

1 負(fù)頻率對頻譜的影響

實(shí)際電力系統(tǒng)中的采樣信號(hào)為離散實(shí)數(shù)序列，依據(jù)的數(shù)學(xué)模型為組合余弦函數(shù)模型[15]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，fs為電網(wǎng)信號(hào)的采樣頻率；Ai、fi和 φi分別為分量的幅值、頻率和初相位；Dc為直流成分；v（n）為白噪聲信號(hào)；P 為頻率分量個(gè)數(shù)；n=0，1，…，N-1（N 為總采樣點(diǎn)數(shù)）。

進(jìn)行DFT／FFT頻譜處理時(shí)會(huì)先濾除直流分量，分析單個(gè)間諧波信號(hào)：

歐拉變換得：

上式表明單個(gè)實(shí)信號(hào)可以分解為2個(gè)共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性疊加，在頻域表現(xiàn)為正、負(fù)頻率頻譜的線性疊加。當(dāng)間諧波頻率很低時(shí)，正、負(fù)頻率相隔很近，此時(shí)就會(huì)產(chǎn)生不可忽略的負(fù)頻率干擾現(xiàn)象；間諧波頻率越低，負(fù)頻率對頻譜的干擾就越嚴(yán)重，如圖1所示（圖中幅值為標(biāo)幺值）。對于負(fù)頻率對頻譜的干擾，一般算法為了推導(dǎo)的便利選擇忽略負(fù)頻率成分，只取正頻率部分，這也是直接將復(fù)指數(shù)信號(hào)模型用于余弦信號(hào)模型產(chǎn)生誤差的原因。

圖1 實(shí)信號(hào)的正、負(fù)頻率干涉現(xiàn)象Fig.1 Interference phenomenon between positive and negative frequencies of real signal

2 含負(fù)頻率的間諧波頻譜分析

2.1 間諧波的加矩形窗FFT分析

分析式（2）中的單個(gè)間諧波模型，根據(jù)IEC標(biāo)準(zhǔn)對間諧波檢測的要求，對其作FFT，結(jié)果為：

其中，k=0，1，…，N－1。

其頻譜分布規(guī)律為：

其中，Δf為頻率分辨率。 令 f1i=fi／Δf，一般 N?1，式（5）簡化為：

其中，H（f1）=sin（πf1）ej（N-1）πf1／N≈sin（πf1）ejπf1。

式（6）即為計(jì)及負(fù)頻率影響的間諧波FFT頻譜模型，從中可知，實(shí)序列的FFT頻譜上出現(xiàn)正、負(fù)2個(gè)分量fi和-fi。若直接忽略負(fù)頻率成分，勢必會(huì)影響檢測結(jié)果的精度，實(shí)際對電網(wǎng)低頻間諧波檢測時(shí)應(yīng)該消除負(fù)頻率的干擾影響。

2.2 間諧波的頻率校正

根據(jù)式（6）的模型，取譜峰附近的3根譜線ka、kb和 kc，對應(yīng)的譜值分別為 X（ka）、X（kb）和 X（kc），這里ka

同理可驗(yàn)證：

對于負(fù)頻率部分，類似地，可以推導(dǎo)出：

其中，k 取值 ka、kb和 kc。 式（10）視作含非零解[H+，－H-，－1]T的齊次方程組，其充要條件是式（11）所示的式（10）的系數(shù)矩陣 C 的行列式為零[16]。

由 det（C）=0 有：

其中，kba=kb-ka；kcb=kc-kb；kca=kc-ka。

同步采樣時(shí)，為了避免直流分量、基波和諧波分量對間諧波分量的干擾，ka、kb和kc不包含直流譜線、基波和諧波譜線，設(shè)km為三者中的最高譜線，即：

其中，ka、kb、kc不等于 0 或 kh，kh為間諧波鄰近的基波或諧波譜線。

間諧波的分布具有隨機(jī)性，根據(jù)間諧波位置的不同分成以下3種類型。

a.常規(guī)間諧波：間諧波距離直流分量、基波頻率或諧波頻率1.5Δf以上，判定依據(jù)為其峰值譜線不位于基波和諧波及其左右相鄰譜線處，即：

此時(shí)取ka=km-1、kb=km和kc=km+1為相鄰的連續(xù)譜線，則 kba=1、kcb=1、kca=2，式（12）簡化為：

b.超低頻間諧波：由于系統(tǒng)中可能有直流分量的干擾，為避免這種干擾，對實(shí)際電網(wǎng)的采樣信號(hào)x（n）進(jìn)行頻譜分析時(shí)，一般先進(jìn)行隔直處理來濾除直流分量Dc。當(dāng)km=1時(shí)，即最高譜線落在Δf上，則km-1譜線落在直流譜線上；此時(shí) X（km-1）=0，則式（10）不能形成三元一次方程組得到唯一解，校正無法進(jìn)行。

為使待求頻率歸一化f1i仍具有式（12）的形式，考慮到正負(fù)頻率在頻譜上的對稱性，取km-1=-1，相應(yīng)的 X（km-1）=X*（km），“*”表示取共軛。 即譜線序號(hào)值取[-1，1，2]，對應(yīng)的頻譜值為[X*（1），X（1），X（2）]，可以解得超低頻間諧波的頻率估計(jì)值為：

c.鄰近基波或諧波的間諧波：間諧波的位置與鄰近的基波或諧波相隔1.5Δf以下，此時(shí)間諧波會(huì)與基波或諧波發(fā)生嚴(yán)重的干涉現(xiàn)象，為消除這種干涉，利用式（12）校正時(shí)不應(yīng)計(jì)及基波或諧波譜線的信息。判定依據(jù)為：

當(dāng)km=kh+1，即間諧波頻率大于鄰近的基波或諧波頻率時(shí)，取 ka=km-2、kb=km和 kc=km+1，式（12）化為：

當(dāng)km=kh-1，即間諧波頻率小于鄰近的基波或諧波頻率時(shí)，取 ka=km-1、kb=km和 kc=km+2，式（12）化為：

以上即為任意位置間諧波頻率的校正方案，于是消除負(fù)頻率影響的超低頻間諧波頻率估計(jì)值為：

2.3 間諧波的幅值和相位校正

局部峰值譜線km具有較高的信噪比，進(jìn)行幅值和相位測量時(shí)根據(jù)式（6）有：

由式（20）計(jì)算出 fi后，U、V 均為已知量，未知量為 Ai、φi，將 Aiejφi和 Aie-jφi視為整體變量，注意到（Aiejφi）*=Aie-jφi，式（21）的共軛為：

聯(lián)立式（21）、（22）解出：

其中，km和f1i分別對應(yīng)前述頻率校正的各種情況。

式（20）、（23）即為考慮負(fù)頻率的間諧波頻率、幅值和相位估計(jì)公式。值得注意的是，上述模型是建立在基頻同步采樣時(shí)10周期矩形窗的情況上，符合IEC標(biāo)準(zhǔn)要求。

3 數(shù)字仿真分析

為量化檢測結(jié)果的優(yōu)劣，定義檢測值相對于真實(shí)值的歸一化偏移誤差εn：

其中，p′k和 pk分別為第k次檢測值和真實(shí)值；M 為檢測實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。

平均偏移誤差εa：

歸一化偏移誤差εn表征的是檢測結(jié)果的累積誤差，εn值越小代表結(jié)果越精確，檢測算法越穩(wěn)定；平均偏移誤差εa表征的是檢測誤差的平均水平，εa越小代表平均誤差越小。

3.1 低頻間諧波檢測仿真

初相位為0、相對幅值為Ai=0.01、頻率為fi的低頻間諧波，同步采樣為10個(gè)周期，采樣頻率fs=6400 Hz。當(dāng)間諧波頻率fi變化時(shí)，對應(yīng)式（26）的IEC間諧波組算法和本文方法檢測結(jié)果如圖2所示。

其中，h為諧波次數(shù)；YC，10h+k為譜線號(hào)10h+k對應(yīng)的譜線有效值；Yig，h為h次間諧波組有效值。

圖2 低頻間諧波的幅值檢測誤差Fig.2 Amplitude error of low-frequency interharmonic detection

按IEC標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，同步采樣時(shí)頻率分辨率為Δf=5 Hz，容許誤差范圍±5%。由圖2可以看出，IEC間諧波組算法檢測誤差波動(dòng)較大，容差范圍內(nèi)的幅值歸一化偏移誤差εn約為2.2%，平均偏移誤差εa約為1.6%；而本文方法的檢測結(jié)果誤差較小，幅值歸一化偏移誤差εn僅為0.18%，平均偏移誤差εa約為0.02%。圖3為本文算法在頻率變化時(shí)對應(yīng)的相位誤差變化圖，其最大相位誤差小于0.2°。因此本文方法在檢測低頻間諧波時(shí)具有較高的準(zhǔn)確性。

對超低頻間諧波的檢測條件同上，當(dāng)間諧波的初相位在0°～360°變化時(shí)，測試不同采樣頻率下容差范圍內(nèi)算法能檢測出的最小間諧波頻率，列舉的部分結(jié)果如表1所示。從表1可看出，IEC間諧波組算法檢測超低頻間諧波時(shí)，容差范圍內(nèi)最小可分辨的間諧波頻率約為1.8Δf，而本文可分辨至0.2Δf～0.4Δf以下，掙脫了傳統(tǒng)間諧波檢測算法受頻率分辨率Δf的限制。同時(shí)，本文方法隨采樣頻率增大，可分辨的最小間諧波頻率變小，這是由于式（5）中的N值變大使式（6）的模型更精確。換言之，要檢測出相同的超低頻間諧波，IEC算法需要的信號(hào)長度是本文方法的5倍以上，從而驗(yàn)證了本文方法檢測超低頻間諧波時(shí)的快速性。

圖3 本文方法的相位檢測誤差Fig.3 Phase error of proposed detection method

表1 10周期±5%容差范圍內(nèi)能檢測的最小間諧波頻率Table 1 Detectable minimum interharmonic frequency，with±5%tolerance and for 10 cycles

3.2 鄰近基波或諧波的間諧波檢測仿真

對于檢測與基波或諧波相隔較近的間諧波，此時(shí)基波或諧波與間諧波之間的主瓣干涉是影響算法檢測精度的關(guān)鍵因素。傳統(tǒng)的檢測算法通過增加采樣信號(hào)長度來減小頻率分辨率Δf以降低這種干涉，但這樣的后果是增加了檢測時(shí)間，甚至不能滿足IEC和國標(biāo)規(guī)定的10周期檢測要求，無法達(dá)到快速檢測的目的。為了驗(yàn)證本文方法可以消除這種主瓣干涉，實(shí)現(xiàn)鄰近基波或諧波的間諧波快速檢測，以基波附近的間諧波為例，間諧波的參數(shù)檢測條件同上，采樣頻率fs=3200 Hz。當(dāng)fi以0.01 Hz的步長在40～60 Hz變化時(shí)，對應(yīng)的檢測結(jié)果如圖4所示。

從圖4可看出，IEC間諧波組算法在檢測鄰近基波或諧波的間諧波時(shí)誤差很大，40～60 Hz范圍內(nèi)的幅值歸一化偏移誤差εn約為34.4%，平均偏移誤差εa約為20.2%，這是因?yàn)殚g諧波相當(dāng)大部分頻譜泄漏在基波或諧波譜線和相鄰頻段上，此時(shí)該方法失效；本文方法在無噪聲干擾的情況下可以實(shí)現(xiàn)鄰近基波或諧波的間諧波高精度檢測，40～60 Hz范圍內(nèi)幅值歸一化偏移誤差εn僅為0.15%，平均偏移誤差εa為0.05%，且均可以滿足誤差要求。因此本文方法可以在不增加采樣窗長的情況下實(shí)現(xiàn)對鄰近基波或諧波的間諧波快速檢測。

圖4 鄰近基波的間諧波幅值檢測誤差Fig.4 Amplitude error of interharmonic detection when it is near fundamental

3.3 噪聲干擾對間諧波檢測的影響

上述分析均建立在無噪聲干擾的理想情況下，但實(shí)際電力系統(tǒng)中采樣信號(hào)難免會(huì)受到噪聲信號(hào)的污染。為考察各種算法的抗噪性能，選取目前常用的間諧波檢測算法進(jìn)行比較：IEC間諧波組算法[1]（方法1）、擴(kuò)展 Prony 算法[6]（50 階模型）（方法2）、3點(diǎn)插值修正算法[17]（方法3）、本文方法（方法4）。

采樣頻率fs=5120 Hz，10個(gè)基頻周期同步采樣信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)N=1024。其中信號(hào)包含基波、2次諧波和1個(gè)間諧波，為不失一般性，各畸變分量的相位角為0，間諧波參數(shù)變化依次如表2所示。

表2 各分量參數(shù)Table 2 Parameters of different components

表2中2.5 Hz頻率成分為超低頻間諧波，51.2 Hz頻率成分為與基波鄰近的間諧波，87 Hz頻率成分為常規(guī)間諧波，102.6 Hz頻率成分為鄰近2次諧波的間諧波。所疊加的噪聲為高斯白噪聲信號(hào)，其信噪比 SNR（Signal to Noise Ratio）為 10～100 dB，分別考察不同噪聲環(huán)境下各間諧波的檢測精度。各間諧波的頻率誤差Ef、幅值誤差EA和相位誤差Ep結(jié)果如表3—6所示，“—”表示無法檢測對應(yīng)項(xiàng)，其中51.2 Hz分量在不同噪聲環(huán)境下的幅值誤差變化情況如圖5所示（方法3無法檢測出幅值）。

表3 不同噪聲下2.5 Hz分量的檢測誤差對比Table 3 Comparison of detection error among different noises for 2.5 Hz component

表4 不同噪聲下51.2 Hz分量的檢測誤差對比Table 4 Comparison of detection error among different noises for 51.2 Hz component

表5 不同噪聲下87 Hz分量的檢測誤差對比Table 5 Comparison of detection error among different noises for 87 Hz component

表6 不同噪聲下102.6 Hz分量的檢測誤差對比Table 6 Comparison of detection error among different noises for 102.6 Hz component

圖5 加噪時(shí)51.2 Hz間諧波幅值檢測誤差比較Fig.5 Comparison of amplitude error of 51.2 Hz interharmonic detection，with noise

表7 87 Hz間諧波各種算法的平均檢測時(shí)間Table 7 Average detection time of 87 Hz interharmonic for different algorithms

為檢驗(yàn)4種算法的檢測響應(yīng)時(shí)間，以含87 Hz間諧波分量的檢測為例，多次測試求取檢測時(shí)間的平均值作為結(jié)果，4種算法各自的平均檢測時(shí)間對比如表7所示。

從表3—7和圖5可以看出，方法1檢測速度最快，但只能進(jìn)行頻段內(nèi)的幅值檢測，無法檢測間諧波的幅值和相位信息，且無法對超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波（簡稱特殊間諧波）進(jìn)行檢測；方法2建立了很高的模型階數(shù)，因而檢測時(shí)間最長，可以檢測特殊間諧波，但對噪聲干擾比較敏感，誤差較大；方法3能夠?qū)崿F(xiàn)常規(guī)間諧波的高精度檢測，但對于特殊間諧波的檢測卻無能無力，其根本原因在于該算法模型只適用于旁瓣干涉情況，未考慮主瓣干涉影響；方法4（本文方法）在特殊間諧波的檢測具有相當(dāng)大的優(yōu)勢，同時(shí)該方法的抗噪性能較好、檢測速度較快，在較大噪聲環(huán)境中可以滿足IEC和國家標(biāo)準(zhǔn)的檢測要求。

4 結(jié)論

本文提出的間諧波快速檢測方法消除了負(fù)頻率對頻譜的干擾，通過組建和求解不同位置的間諧波譜線方程組，得到了間諧波參數(shù)的顯式求解公式，實(shí)現(xiàn)了在IEC標(biāo)準(zhǔn)檢測要求下對低頻間諧波的快速檢測。特別是當(dāng)間諧波與鄰近的基波、諧波或直流分量相距小于1個(gè)頻率分辨率時(shí)，該方法仍能在有限的采樣數(shù)據(jù)長度下對間諧波快速精確檢測。仿真結(jié)果表明該方法的檢測速度和抗噪性能較好，不受直流偏移和諧波分量的影響。

本文方法只適用IEC標(biāo)準(zhǔn)要求的同步采樣矩形加窗情況，在間諧波頻率較低時(shí)有很大的優(yōu)勢，其他加窗可以進(jìn)一步抑制多個(gè)間諧波之間的相互干擾來提高檢測精度，但有待進(jìn)一步研究。