羅勝彬

成為數(shù)學解題高手的秘訣是什么？有人說“知識基礎必須扎實”。知識基礎誠然重要，沒有基礎肯定不行，但有了基礎也未必行。還有人說“必須多做題”。題一定是要做的，但搞題海戰(zhàn)術是不科學的，題做多了，會掉入“感性經(jīng)驗解題”的陷阱——做題不是靠思考而是靠記憶。缺乏有效解題策略支持，盲目做題，不但負擔沉重，而且會造成思維僵化。筆者從事數(shù)學教學二十余年，總結出培養(yǎng)學生解題能力的兩大關鍵：一是培養(yǎng)其心理能力，即遇到難題時，不慌，不亂，不怕。二是培養(yǎng)其思維能力，即要形成有效的解題策略。筆者把培養(yǎng)這兩種關鍵能力的思想總結為“確定必可求”。筆者將結合思維可視化技術來分享這一數(shù)學解題思想在數(shù)學教學中的具體應用。

初中數(shù)學擔負著一個重要的使命——幫助學生轉變學習方式（主要是思維方式）。由于小學數(shù)學知識相對簡單，不是特別強調深度理解，很多學生養(yǎng)成了死記硬背的學習習慣（背公式、背定理甚至是背題目），但到了初中，再依靠死記硬背顯然難以應對變得復雜和抽象的數(shù)學題目，因此初中數(shù)學教師必須幫助學生轉變解題思維，即從“感性經(jīng)驗答題”轉變?yōu)椤袄硇运伎冀忸}”。但“理性思考”很抽象，不好理解，怎么辦？筆者認為思維可視化是較好的選擇。因為，它能夠將不可見的思維（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見，更易于理解。下面筆者就結合自己的教學實踐，談談如何將數(shù)學解題策略的研究與思維可視化技術進行有效整合，提高數(shù)學教學效能。

何為“確定必可求”的解題思想

一些相對復雜或綜合性的數(shù)學題目，由于條件較多，圖形復雜，學生做題時往往會心理慌亂，思維無序，解不出來。如果學生能夠熟練運用“確定必可求”的解題思想，則能夠較輕松地應對了。那么，到底什么是“確定必可求”呢？

要搞清這個思想，我們首先要理解“確定”這個概念（如圖1）。所謂“確定”即明確的、肯定的意思。在數(shù)學解題中，“確定”是指確定一個宏觀的解題對象。在幾何中，這個對象可能是一個確定的、具體的三角形、四邊形、圓形等圖形，我們稱之為“定形”。在代數(shù)中這個對象可能是一個確定的、具體的方程、函數(shù)等代數(shù)關系，我們稱之為“定性”。這里要強調的是它必須是一個確定的、具體的圖形或關系，而不是一個“類”的概念，如果是一個“類”的概念，就會存在著多種可能性，是無法解的。在初中數(shù)學題目中，所有的對象都是確定的、具體對象，所以才一定是可解的。

其次，還要知道如何“確定”？也就是說根據(jù)什么條件證明這個解題對象存在或成立呢？答案是“滿足這個對象存在的一切條件都可以”。接下來我們來了解“必可求”：哪些是必可求的呢？答案是“跟這個解題對象有關的一切未知條件都是必可求的”。用什么來求呢？并不是用題目中所給的那些條件直接求，如果能直接求的那就不是“難題”了。而是要用給的那些條件去“確定”解題對象，再根據(jù)解題對象所具有的特性去解決問題，這就是“確定必可求”。下面，我們舉例來說明。

例如，解一道有關三角形的證明題，首先要確定三角形的成立，用什么條件來確定呢？一般用全等思想（結合特殊圖形）來確定，既然能滿足與另外一個三角形全等的條件，那么這個三角形一定存在，若題干中給出了三條邊，那么就可根據(jù)“SSS”的全等思想來確定這個三角形；如果是特殊三角形，若條件給出了高和斜邊長，那么就可根據(jù)“HL”來確定直角三角形。一旦確定了這個具體的三角形，那么此三角形的特性及相關要素就都是可求的，如三角形的邊長、周長、面積、角度、角平分線、高線、中線、中位線等都可求了。既然所有的都是可求的，那么要求的條件肯定在可求的之列，所以解題時只要按照“確定必可求”的思想先確定解題對象，然后再根據(jù)這個對象的特性去推導出要求的就可以了。

“確定必可求”的解題思想按照華東師大劉濯源教授提出的“六種思考方式”來分類屬于“轉化思維”，所謂轉化思維就是從具體到抽象，再從抽象落到具體的思維過程。從哲學角度講，就是從個別到一般，再從一般到個別的思考過程。把這種思想運用在數(shù)學解題中（如圖2），就是根據(jù)題干中所給出的條件A1、A2來確定A（也就是我們所說的解題對象），再根據(jù)A所具有的特性，推導出A3、A4、A5。這種思維模式在數(shù)學解題中應用非常廣泛，可以稱之為數(shù)學解題“第一思維”。

如何應用“確定必可求”的解題思想

下面用一道初中數(shù)學綜合題（函數(shù)與三角形相結合）來舉例說明如何在具體的解題實踐中運用“確定必可求”的解題思想。

例：如下頁圖3，已知，是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù) 的圖像的兩個交點，求△的面積。

這道題的解題步驟比較繁雜，很多學生遇到這類題時要么感覺無從下手，要么就會思維混亂，亂中出錯。但是按照“確定必可求”的思想并結合思維可視化中的魚骨圖（如圖4）來解題就容易多了。

解題魚骨圖由三部分構成：中間脊骨為總問題及解題的關鍵節(jié)點；脊骨下方為策略分析過程，主要由“追問策略”來引導；脊骨上方為條件轉化（已知→未知）過程。如圖4所示本題的總目標為求△AOB的面積，那么根據(jù)“確定必可求”的解題思想，只要確定了三角形，與其有關的其他未知都可求，包括它的面積。那么用什么條件來確定呢？這道題中顯然要用邊長來確定，如何確定邊長？確定A、B、C、O四點的坐標即可，B點與O點的坐標已知，那么三角形面積的問題則轉化為求A與C兩點坐標的問題。如何求出A與C點的坐標？由于A點為雙曲線上的一點，那么只要知道反比例函數(shù)的解析式即可求出，根據(jù)“確定必可求”的思想——一點確定雙曲線，已知B點坐標即可求出反比例函數(shù)解析式，進而得出A點坐標。C點為一次函數(shù)圖像與X軸交點，確定一次函數(shù)解析式即可求，根據(jù)“確定必可求”的思想——兩點確定一條直線，已知A與B點坐標即可求出一次函數(shù)解析式，進而求出C點坐標。得知A、B、C、O四點坐標可確定邊長，進而求出△AOB的面積。

或許你會覺得這樣做一道題太復雜，但是題不在多，而在于做透，做透的目的不僅僅是讓學生做會這道題，而是要讓學生掌握解這類題的有效思考策略。因此，以上看似復雜的分析過程是非常有價值的，按這種方式練習，時間長了，這種思考策略就會被學生“內化”，從而實現(xiàn)腦內畫圖，那么這個解題過程就不用畫在紙上了，而是在學生大腦中快速呈現(xiàn)，進而解題效率大大提高。