張 靜， 張建基， 盧維娜

（新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

雙向多尺度函數的逼近階及計算

張 靜， 張建基， 盧維娜

（新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

構造同時具有高逼近階等良好性質的小波是小波分析的核心問題，已有的關于小波逼近階的許多研究結果是針對單向小波的。最近，楊守志教授提出了雙向細分方程與雙向小波的概念。然而，目前，針對雙向多尺度函數的逼近階的研究還非常地少。文章首先給出了一種雙向多尺度函數的逼近階的定義，然后又給出了雙向多尺度函數的逼近階的一些成立的條件，最后又給出了雙向多尺度函數的逼近階的計算算法。文章給出的概念和方法還可以做進一步的推廣研究。

雙向多尺度函數，雙向多小波，逼近階

眾所周知，自小波理論誕生以來，小波理論的核心問題是關于小波構造與性質的研究，除了Haar小波外，不存在其他單小波能夠同時具備緊支撐性，正交性，對稱性等。為了彌補單小波的不足，人們提出了多小波理論，如：GHM多小波，C-L多小波等（見文獻［1-10］）。最近楊守志教授提出了雙向細分方程與雙向小波的概念，討論了雙向加細函數的正交性，逼近階，正則性等（見文獻［11-12］）。雙向加細函數是單尺度函數的推廣。

小波的構造是小波分析的核心問題，構造同時具有多種良好性質的小波，比如：正交性、對稱性、緊支撐性、高逼近階、插值性等一直是小波分析研究的熱點問題。

目前，已有的結果主要是針對單向小波。但是對于雙向小波的構造研究還有許多問題需要進一步去研究。特別是，對于雙向多尺度函數的逼近階的研究還非常地少。在本文中，我們首先給出了一種雙向多尺度函數的逼近階的定義，然后又給出了雙向多尺度函數的逼近階的一些成立的條件，最后又給出了雙向多尺度函數的逼近階的計算算法。

1 雙向多尺度函數和雙向多小波

設Φ（x）=［?1（x），?2（x），...?r（x）］T是r重M進制雙向多尺度函數，滿足下列細分方程：

對（1）兩邊作Fourier變換得到：

像往常一樣，方程（2）中定義的Φ（x）能產生一個（L2（R））r中的多分辨分析 ｛Vj｝j∈Z當且僅當上式定義的 ｛Vj｝j∈Z滿足：

（?。?V-1?V0?V1?…（ⅱ）ClosL2（R）Vj=（L2（R））r

（ⅳ）f（x）∈Vj?f（Mx）∈Vj+1

（ⅴ）存在Φ（x）使得集合｛?i（x-k），?i（n-x）：i=1，2，…，r，k，n∈Z｝是V0的Riesz基。

定義2 設Φ（x）是雙向多細分函數，如果它們滿足下列條件：

〈Φ（x），Φ（x-k）〉=δ0，kIr，〈Φ（x），Φ（n-x）〉=Or

那么Φ（x）稱為一對雙正交雙向多細分函數。

每一個j∈Z，定義Wj是（4）定義的在Vj+1中Vj的正交補空間，即Vj+1=Vj⊕Wj。

因此對j≠k，Wj⊥Wk并且L2（R）=Wj。如果存在向量函數Ψi（x），i=1，2，…，M-1使得向量函數族 ｛Ψi（x-k），Ψi（k-x），i=1，2，…，M-1，k∈Z｝是W0的正交基，那么Ψi（x）稱為Φ（x）的正交雙向多小波。

上述兩邊作Fourier變換，我們有

令

在頻域上的面具

（9）式在時域上的細分方程為

2 雙向多尺度函數的逼近階

文章假設P（1）滿足條件E：即1是矩陣P（1）的單特征值，P（1）的其他特征值的模都小于1。定義3 稱雙向多尺度向量函數Φ（x）具有逼近階p（p?1），如果多項式

xj，j=0，1，…，p-1都是Φ（x-k）和Φ（k-x）線性組合，即

下面討論雙向M進制尺度函數在時域上的逼近階條件。

定義雙邊無限矩陣L：=（Li，j）=（PMi-j），定義向量函數

其中Φ1（x）如（11）所定義，則LF（Mx）=F（x）

下面給出Φ（x）在時域上逼近階條件。

即y（j）L=M-jy（j），j=0，1，2，…，p-1

綜上所述，我們可以給出雙向多尺度函數逼近階的計算方法如下：

以M=2帶雙向多尺度函數的逼近階計算為例：

（1）計算（10）式定義矩陣P（0）的左特征向量u0P（0）=u0

（2）驗證u0P（π）=O是否成立，若不成立，則逼近階為n=0

（3）若步驟（2）成立，取n=1，計算u1=（，），其中u1滿足條件（12）

（4）驗證條件（13），若（13）不成立，則逼近階為n

（5）若步驟（4）成立，重置n=n+1，重復步驟（3）（4）（5）直到（13）不成立為止。

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A Study on the Approximation Order of Two-Direction Refinable Functions and its Construction Algorithm

ZHANGJing， ZHANG Jian-Ji， LUWei-na
（College ofMathematical Science，XinJiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The construction ofwave1ets having good properties such as high-order approximation is the core issue ofwave1et ana1ysis.But the existing research resu1ts on the wave1et approximation order is for a one-direction wave1ets.Recent1y，Professor Yang Shouzhiproposed the conceptof two-direction subdivision equation and two-direction wave1ets.However，at present，the research on approximation order of two-directionmu1ti-sca1e function is a1so very sma11.In this paper，first1y，we give the definition of approximation order of two-direction refinab1e functions.Then，we give some sufficient conditions that the two-direction refinab1e functionsmust satisfied on the approximation order properties.And fina11y we gives the ca1cu1ation a1gorithm of on the approximation order of two-direction refinab1e functions.The concepts and methods of this paper can be further promotion of research.

Two-direction refinab1e functions；Two-direction mu1tiwave1ets；Approximation order

O174.2

A

1008-9659（2015）04-042-05

2015-09-15

2014年度我校優(yōu)秀青年教師科研啟動基金資助項目（XJNU201417）。

張 靜（1989-），女，新疆烏蘇人，碩士研究生，主要從事小波分析及其應用的研究。