歐陽丹丹，付 波

(1.武警杭州士官學校，杭州310023;2.杭蕭鋼構股份有限公司，杭州310003;3.浙江大學 土木工程系，杭州310058)

梭形空間桁架是一種變截面桁架，結構由底面帶斜桿的四角錐沿曲線方向排列組成，截面為倒三角形，桁架高度沿著跨度方向變化并在跨中達到最大值，其示意圖如圖1 所示。由于梭形桁架外形呈曲線狀，簡潔流暢，富于建筑表現(xiàn)力，因而備受建筑師青睞，近年來在大跨度建筑物的屋蓋結構中得到較廣泛應用。與等截面四角錐桁架相比，梭形桁架外形與梁彎矩圖更為接近，故其承載效率更高，用料也更為經(jīng)濟。

圖1 梭形空間桁架示意圖

目前，在工程實踐中，對梭形空間桁架的設計存在著以下兩個主要問題:

(1)這類桁架一般僅在端部點支撐，其平面外失穩(wěn)問題是設計中的主要矛盾，如何保證其整體穩(wěn)定是工程設計人員所關心的問題之一。

(2)在桁架的穩(wěn)定計算方面，現(xiàn)行空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程(JGJ7)［1］僅規(guī)定了對立體桁架應設置平面外的穩(wěn)定支撐體系，沒有給出平面外失穩(wěn)的臨界荷載計算式，使得該類結構在應用時缺乏理論指導。

對第1 個問題，文獻［2 -3］分別應用ANSYS和MIDAS 有限元分析軟件對五個典型梭形桁架計算模型進行了線彈性穩(wěn)定分析和非線性穩(wěn)定分析，重點研究了考慮上弦系桿，上弦斜撐，屋蓋檁條系統(tǒng)與桁架協(xié)同工作及端部支承形式對梭形桁架結構整體穩(wěn)定的影響。計算結果表明增加上弦水平支撐，桁架端部采用雙支座，考慮連續(xù)檁條協(xié)同工作均能有效提高梭形桁架結構的整體穩(wěn)定性。

對第2 個問題，文獻［4 -5］從理論上推導了四角錐系等截面空間桁架的等效抗彎剛度、抗扭剛度、抗剪剛度，并應用同時考慮彎、剪、扭剛度的勢能駐值原理，導出了四角錐系等截面空間桁架的彈性臨界荷載計算解析式。公式計算結果與有限元分析的結果相比吻合較好。但這兩篇文獻均未對梭形桁架的臨界荷載進行分析。

本文在文獻［5］的基礎上，利用剛度等效原理將梭形桁架等效為等截面桁架，把變截面問題轉化為等截面問題，從而將文獻［5］導出的等截面空間桁架臨界荷載計算式推廣為梭形桁架的臨界荷載計算式，并通過大量算例來驗證公式的實用性。

1 等截面四角錐系空間桁架的臨界荷載計算式

1.1 等截面四角錐單元的抗彎、抗扭、抗剪剛度

文獻［5］以一個等截面四角錐單元(圖2)為研究對象，通過該單元推導了四角錐系桁架的等效抗彎、抗扭、抗剪剛度，如式(1)～式(5)所示。四角錐單元各類桿件編號如圖2 所示，公式中的Ai(i =1，2，…，9，10)為各桿的截面積，E、G 分別表示材料的彈性模量和剪切模量。

圖2 四角錐單元

圖3 四角錐截面

截面對x 軸的慣性矩為:

截面對y 軸的慣性矩為:

截面的扭轉慣性矩:

式中:

截面的抗剪剛度:

1.2 等截面桁架的臨界荷載計算式

在得到了四角錐單元的各種剛度之后，文獻［5］應用同時考慮彎曲-扭轉-剪切變形的勢能駐值原理，導出了等截面四角錐系桁架的臨界彎矩表達式為:

式中:βy為不對稱截面常數(shù)，a 為荷載作用點到截面剪心的距離，η 為考慮剪切變形的修正系數(shù)，這三個參數(shù)的表達式分別如式(7)～式(9)所示:

由式(6)可得到桁架的臨界荷載為:

2 梭形桁架的等效抗彎、抗扭、抗剪剛度

從式(1)和式(3)可知，四角錐單元的抗扭剛度、x 向抗彎剛度均與桁架的高度有關，而梭形桁架(圖1)的高度沿跨度方向是變化的，為克服數(shù)學上的困難，可將梭形桁架與具有相同跨度L 的等截面桁架進行剛度等效轉換［6-7］，將變截面問題轉化為等截面問題，從而可利用等截面桁架的臨界荷載計算式來計算梭形桁架的臨界荷載。

2.1 抗彎剛度

四角錐截面的坐標系仍如圖2 所示，梭形桁架的寬度沿著z 向沒有發(fā)生改變，則截面對y 軸的等效慣性矩與式(2)相同:

截面對x 軸的慣性矩仍為式(1)，但其中的四角錐高度h 是關于z 的函數(shù):

對于梭形桁架，h(z)可用z 的二次函數(shù)進行擬合，令桁架跨中高度為h0，h(z)= b1z2+b2z +b3，由兩端高度為0 和跨中高度為h0的條件，可得:

由上式解出b1= -4h0/L2，b2= 4h0/L，可得:

確定變截面桁架等效抗彎剛度的原則是按直接剛度計算的彎曲應變能Ub1與按等效剛度計算的彎曲應變能Ub2之差ε 最小。

建立ε 的表達式如下:

式中:

y1—等截面桁架繞x 軸彎曲時，y 向的撓曲函數(shù);

y2—變截面桁架繞x 軸彎曲時，y 向的撓曲函數(shù)。

根據(jù)文獻［6］，對于兩端簡支的情況，可取y1m代入式(15)，再利用使彎曲應變能之差ε 取極小值的條件= 0 (i = 1，2，，，，m)可求得I'x。

將式(14)代入上式經(jīng)積分運算可得:

由式(19)的非零解條件可得:

展開行列式得到梭形桁架截面對x 軸的等效慣性矩:

2.2 抗扭剛度

由式(3)和式(4)所表征的梭形桁架截面的抗扭慣性矩是關于z 的函數(shù):

式中:

確定變截面桁架等效抗扭剛度的原則是按直接剛度計算的扭轉應變能Ut1與按等效剛度計算的扭轉應變能Ut2之差ε 最小。

建立ε 的表達式:

式中:

φ1—等截面桁架繞z 軸扭轉時的扭轉角，其是z 的函數(shù);

φ2—變截面桁架繞z 軸扭轉時的扭轉角，其是z 的函數(shù)。

若直接將λ(z)的表達式代入上式，第二項將難于進行積分。由于該項對抗扭剛度影響較小，可令λ(z)為常數(shù)以簡化運算。由式(23)可看出當h(0.5L)= h0時，λ(z)取最小值。故可取λ(z)= λ(0.5L)，這樣得到的等效抗扭剛度要偏小一些。

在式(25)中令λ(z)= λ(0.5L)，可得:

將h(z)代入上式經(jīng)積分運算可得:

注意到It(0.5L)= 4λ(0.5L)Edb2，式(27)可改寫為:

式(29)有非零解的條件為:

展開行列式可得到梭形桁架的等效抗扭慣性矩:

2.3 抗剪剛度

取出梭形桁架的一個四角錐單元進行分析，如圖4 和圖5 所示，θ 是上弦桿與z 軸之間的夾角。通常情況下，θ 在1°～8°Z 之間，cosθ ≈1 。故等效抗剪剛度可近似用式(5)來進行計算，此時式中的d = L/n，n 為梭形桁架的四角錐單元數(shù)。

圖4 四角錐單元立體圖

圖5 四角錐單元立面圖

通過上述推導和分析，得到了一系列梭形桁架的等效剛度，其中等效y 向抗彎剛度及等效抗剪剛度可沿用等截面桁架的表達式。

3 梭形桁架的臨界荷載計算式

由式(7)和式(8)可知，荷載作用點到截面剪心的距離a 及不對稱截面常數(shù)βy也與桁架高度有關:

設a'為等效的荷載作用點到截面剪心的距離，βy'為等效不對稱截面常數(shù)。采用與上面相同的方法可列出由a(z)計算的外力勢能與a'計算的外力勢能之差ε1，以及由βy(z)計算的項與βy'計算的項之差ε2:

將梭形桁架的各等效剛度及參數(shù)代入式(6)替換掉相對應的項之后，可得到梭形桁架的臨界彎矩計算式:

梭形桁架的臨界荷載仍由式(10)來進行計算。

4 算例分析

選取22 榀典型梭形空間桁架作為算例，用式(35)、式(10)計算各榀桁架的臨界荷載，桁架的幾何尺寸見表1，配桿截面見表2，各計算模型中的桿件截面尺寸是利用空間網(wǎng)格結構設計軟件MST2006 完成結構的靜力分析后，按照滿應力原則來進行設計的。

臨界荷載的比較如表3 所示。表中的有限元解是利用有限元軟件ANSYS 對同一桁架進行特征值屈曲分析的結果。從表中所列數(shù)據(jù)可知，本文就計算臨界荷載的研究工作已覆蓋跨度30 ～70 m 的梭形桁架范圍，且計算結果與有限元數(shù)值分析結果基本一致，表明公式精度較好。

表1 桁架的幾何尺寸表

表2 桿件截面尺寸表

表3 臨界荷載比較

5 結論

(1)本文將梭形桁架與具有相同跨度的等截面桁架進行剛度等效轉換，將變截面問題轉化為等截面問題，利用等截面桁架的臨界荷載計算式來計算梭形桁架的臨界荷載。此時將梭形桁架的各等效剛度與參數(shù)Iy'，It'，βy'，a' 替換掉等截面桁架臨界荷載公式中的相應項即可得到梭形桁架的臨界荷載計算式。

(2)從表3 可知，大量典型算例的結果與有限元解的誤差均在±5%以內，說明將梭形桁架等效為等截面桁架，采用相同臨界荷載計算式的做法具有一定的可靠性，計算結果可供工程設計參考。

［1］空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程(JGJ7 -2010)［S］. 北京:中國建筑工業(yè)出版社，2010.

［2］丁圣果，付波，鄭濤，等.梭形桁架式屋蓋整體穩(wěn)定的一階屈曲分析［J］. 工業(yè)建筑:增刊，2010:417 -420.

［3］付波，丁圣果，鄭濤，等.梭形桁架式屋蓋整體穩(wěn)定的非線性分析［J］. 工業(yè)建筑:增刊，2010:421 -422.

［4］付波，丁圣果，鄭濤，等.四角錐系空間桁架的臨界荷載［J］.貴州大學學報:自然科學版，2009，26(5):101 -104.

［5］丁圣果，付波.大跨四角錐系空間桁架的臨界荷載分析［J］.四川建筑科學研究，2011，37(5):8 -11.

［6］吳亞平.變截面壓桿穩(wěn)定性計算的等效剛度法［J］. 力學與實踐，1994，16(1):58 -60.

［7］吳亞平.對變截面壓桿穩(wěn)定性計算的等效剛度法的改進［J］.蘭州鐵道學院學報，1998，17(4):4 -6.