石松寧　王大志

消弱永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩的斜極優(yōu)化方法

石松寧1,2王大志1

（1. 東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 沈陽 110004 2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 葫蘆島 125000）

采用斜極結(jié)構(gòu)消弱永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩，利用解析方法推導(dǎo)出具有斜極結(jié)構(gòu)的永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式。采用Ansys有限元仿真和中心復(fù)合實驗設(shè)計獲取響應(yīng)值，根據(jù)響應(yīng)值建立斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器的二階響應(yīng)面回歸模型。并基于該模型，選擇永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩最小為目標(biāo)，利用粒子群優(yōu)化算法對其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得出最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)組合。對斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器分別進(jìn)行了解析和優(yōu)化，結(jié)果表明，優(yōu)化方法可以顯著地消弱永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩，避免產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩波動，提高了系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度，證明所得出的結(jié)論是正確、有效的。

永磁驅(qū)動器 斜磁極 響應(yīng)面法 有限元法 粒子群算法

0　引言

永磁驅(qū)動器（Permanent Magnet Drive，PMD）是在永磁磁力耦合器的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。近年來，永磁調(diào)速技術(shù)集中應(yīng)用于提高設(shè)備的性能、可靠性及制造裝配的準(zhǔn)確度上。國內(nèi)外對永磁驅(qū)動器電磁場性能計算的研究已經(jīng)取得了一定的成果[1-4]，但是永磁調(diào)速技術(shù)還存在很多有待解決的問題。例如，與永磁電機(jī)相似，永磁驅(qū)動器中永磁體與開槽導(dǎo)體盤相互作用產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，進(jìn)而產(chǎn)生振動，影響系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度。所以，在永磁驅(qū)動器的設(shè)計中必須采用相應(yīng)的方法消弱齒槽轉(zhuǎn)矩。

本文針對具有開槽結(jié)構(gòu)的永磁驅(qū)動器，提出一種斜磁極的消弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法，推導(dǎo)出永磁驅(qū)動器磁極斜極的齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式。利用Ansys有限元軟件和中心復(fù)合實驗設(shè)計獲?。–entral Composite Design，CCD）響應(yīng)值，應(yīng)用響應(yīng)值建立斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器二階響應(yīng)面回歸模型，在此模型的基礎(chǔ)上以齒槽轉(zhuǎn)矩最小為目標(biāo)，利用粒子群優(yōu)化算法對斜極結(jié)構(gòu)PMD進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，得到一組最優(yōu)的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，最后采用Ansys有限元仿真進(jìn)行了驗證。

1　機(jī)械結(jié)構(gòu)和工作原理

永磁驅(qū)動器的機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，該結(jié)構(gòu)為雙組盤式結(jié)構(gòu)（單組只包含一個導(dǎo)體轉(zhuǎn)子和一個永磁轉(zhuǎn)子），主要由四個圓盤形鋼架、兩個導(dǎo)體環(huán)和兩個嵌入永磁體的鋁盤組成。其中的兩個鋼架分別和導(dǎo)體環(huán)固定在一起組成導(dǎo)體轉(zhuǎn)子，并與電機(jī)端聯(lián)接。為了優(yōu)化渦流路徑，避免產(chǎn)生雜散電流，如圖2所示導(dǎo)體環(huán)上開有梯形槽。另外的兩個鋼架和磁盤固定在一起組成永磁轉(zhuǎn)子，與負(fù)載端聯(lián)接。永磁體如圖2所示，永磁體沿圓周均勻分布且N、S極交替放置。

圖1　永磁驅(qū)動器的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.1　Machinery structure of PMD

圖2　開槽導(dǎo)體環(huán)和永磁體排列示意圖Fig.2 Schematic of slotted copper disk and permanent magnet arrangement

2　永磁驅(qū)動器斜磁極時齒槽轉(zhuǎn)矩的解析

2.1永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機(jī)理

如圖2所示由于導(dǎo)體環(huán)上齒槽的存在，引起導(dǎo)體環(huán)與永磁體之間的氣隙不均勻，一個齒距內(nèi)的磁通相對集中于齒部，使得氣隙磁導(dǎo)不是常數(shù)，當(dāng)導(dǎo)體轉(zhuǎn)子帶動永磁轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，氣隙磁場的儲能發(fā)生變化，產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。齒槽轉(zhuǎn)矩會使永磁驅(qū)動器轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速發(fā)生波動，從而影響系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度，所以設(shè)計時應(yīng)考慮避免產(chǎn)生過大的齒槽轉(zhuǎn)矩。通常齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制方法包括減小槽口寬度、磁極偏移、斜槽和斜極等[5-9]。本文采用永磁體整體斜極的方法來消弱永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩。

2.2斜磁極時齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式

如圖3給出了永磁驅(qū)動器永磁體斜極時的示意圖，R1、R2分別代表永磁體的內(nèi)半徑和外半徑。設(shè)N為磁極所斜的齒距數(shù)，θp=2π/z為齒距角，磁極傾斜的角度以導(dǎo)體環(huán)上齒距為計算單位。根據(jù)幾何關(guān)系得到徑向長度r處所斜的角度為[10]

圖3　磁極斜極示意圖Fig.3　Schematic of magnet skewing

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可得永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩為

式中，L為永磁驅(qū)動器導(dǎo)體環(huán)厚度；R1、R2分別為永磁體的內(nèi)半徑和外半徑；Gn和Brnz為傅里葉系數(shù)；z為導(dǎo)體盤開槽數(shù)。

當(dāng)磁極傾斜一個齒距，即N=1時，將θp=2π/z代入上式并整理得

可見，當(dāng)磁極傾斜一個齒距時，永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩各諧波分量有一定的消弱。所以本文提出的斜磁極消弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法是可行的。由式（3）可以看出影響永磁驅(qū)動器斜極結(jié)構(gòu)的齒槽轉(zhuǎn)矩大小的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有導(dǎo)體環(huán)厚度L，導(dǎo)體環(huán)開槽數(shù)z，齒距數(shù)N和斜極時永磁體的內(nèi)外半徑差值R2-R1。

3 建立斜極結(jié)構(gòu)的永磁驅(qū)動器響應(yīng)面模型

為了分析的方便，本文在確保永磁體內(nèi)半徑R1不變的情況下，選擇永磁驅(qū)動器導(dǎo)體環(huán)厚度L、導(dǎo)體環(huán)開槽數(shù)z、齒距數(shù)N和永磁體外半徑R2作為設(shè)計變量，齒槽轉(zhuǎn)矩作為響應(yīng)變量。本文通過中心復(fù)合實驗設(shè)計選取合適的實驗點，利用Ansys有限元分析軟件對實驗點處的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計算分析，獲取響應(yīng)值。最后根據(jù)響應(yīng)值建立斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器響應(yīng)變量與設(shè)計變量的二階響應(yīng)面回歸模型。

3.1 有限元建模

本文采用Ansys有限元仿真軟件建立永磁驅(qū)動器開槽結(jié)構(gòu)的三維有限元模型。仿真模型如圖4所示，永磁驅(qū)動器具體的三維仿真參數(shù)見表1。

圖4 開槽結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器的三維有限元仿真模型Fig.4 3D finite-element model of the PMD

3.2 中心復(fù)合實驗設(shè)計

響應(yīng)面設(shè)計中最經(jīng)典的方法是中心復(fù)合設(shè)計（Central Composite Design，CCD）[11]。采用CCD設(shè)計能用較少的實驗次數(shù)進(jìn)行全面的分析研究。本文進(jìn)行了4因素3水平的中心復(fù)合設(shè)計。表2為設(shè)計變量因素水平表。

表1 PMD的三維仿真參數(shù)Tab.1 3D simulation parameters of the PMD

表2 設(shè)計變量因素水平表Tab.2 The level of design parameters

表2中x1、x2、x3和x4分別代表永磁驅(qū)動器導(dǎo)體環(huán)厚度L、導(dǎo)體環(huán)開槽數(shù)z、齒距數(shù)N和永磁體外半徑R2。根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行中心復(fù)合實驗設(shè)計，實驗結(jié)果示于表3。表3中各組設(shè)計實驗對應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩響應(yīng)值是通過Ansys有限元軟件計算得到的。

表3 實驗設(shè)計及計算結(jié)果Tab.3 The experimental design and results

3.3 響應(yīng)面建模

為了更精確地表達(dá)設(shè)計變量和響應(yīng)變量之間的關(guān)系，永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩用帶交叉項的二階回歸方程進(jìn)行描述[12,13]，即

式中，k為設(shè)計變量個數(shù)；xi為設(shè)計變量；Y為響應(yīng)變量；ζ為一個隨機(jī)誤差向量；βi為回歸系數(shù)，其個數(shù)為[(k+1)(k+2)]/2，βi可由實驗數(shù)據(jù)響應(yīng)值利用最小二乘發(fā)估算。

式中，?β是由βi組成的向量；X為因素水平矩陣；Y為響應(yīng)值列向量。

根據(jù)式（6）的計算方法和表3中的數(shù)據(jù)，應(yīng)用Matlab軟件編程可計算得到二階回歸方程系數(shù)向量?β，由此得到齒槽轉(zhuǎn)矩的二階回歸方程為

4　基于齒槽轉(zhuǎn)矩最小的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

通過響應(yīng)面法得到齒槽轉(zhuǎn)矩的二階回歸模型后，以齒槽轉(zhuǎn)矩最小為優(yōu)化目標(biāo)，選取影響齒槽轉(zhuǎn)矩的四個主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化變量，建立基于粒子群算法的永磁驅(qū)動器斜極結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型。

斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)是齒槽轉(zhuǎn)矩最小，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為

minY=obj (z，L，N，R2) （8）式中，Y代表齒槽轉(zhuǎn)矩的二階回歸方程。

顯然該優(yōu)化模型是一個非線性、多參數(shù)的復(fù)雜系統(tǒng)，難以采用常規(guī)優(yōu)化算法。所以本文采用粒子群優(yōu)化算法對斜極結(jié)構(gòu)PMD進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

在粒子群算法中，粒子群由n個粒子構(gòu)成，其中第i個粒子代表一個D維位置矢量xi=(xi1,xi2,…,xid)和D維速度矢量vi=(vi1,vi2,…,vid)。每個粒子的位置矢量xi代表最優(yōu)問題的一個解。將xi代入目標(biāo)函數(shù)可以求出對應(yīng)的適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)值的大小衡量xi是否為所要求的最優(yōu)解。每個粒子根據(jù)適應(yīng)值搜索到最優(yōu)解和所有粒子的全局最優(yōu)解參考圖5優(yōu)化流程，粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)值實時計算由齒槽轉(zhuǎn)矩的二階回歸方程完成，粒子群按照式（9）和式（10）的速度-位置模型進(jìn)行尋優(yōu)操作[14,15]。

圖5　PSO優(yōu)化流程Fig.5　The flowchart of PSO optimization

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如式（8），在滿足PMD輸出轉(zhuǎn)矩不小于額定轉(zhuǎn)矩的情況下，確定優(yōu)化參數(shù)的約束范圍為

采用粒子群算法進(jìn)行搜索，得到的一組優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4　優(yōu)化前后PMD結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.4 The structural parameters of non-optimized and optimized PMD

5　優(yōu)化結(jié)果驗證

為了驗證基于斜極優(yōu)化的永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩消弱方法的有效性，采用有限元進(jìn)行仿真計算，不斜極時永磁驅(qū)動器結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，優(yōu)化后斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器結(jié)構(gòu)參數(shù)見表4。

圖6為根據(jù)有限元計算結(jié)果畫出的永磁驅(qū)動器不斜極結(jié)構(gòu)、斜極結(jié)構(gòu)解析結(jié)果和優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖，由波形比較可以看出，永磁驅(qū)動器不斜極結(jié)構(gòu)齒槽轉(zhuǎn)矩較大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為20N·m。斜極結(jié)構(gòu)解析結(jié)果使得永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)一步減小，優(yōu)化后的斜極結(jié)構(gòu)可以大幅度消弱PMD的齒槽轉(zhuǎn)矩，優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為4.8N·m，比不斜極結(jié)構(gòu)減小了79%。證明了本文提出的斜極結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法是有效的。

圖6　磁極斜極齒槽轉(zhuǎn)矩仿真曲線Fig.6　Simulation curres of cogging torque with magnet skewing (3D FEM)

6　　 結(jié)論

本文采用磁極斜極法所得的齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式，利用Ansys有限元仿真和中心復(fù)合實驗設(shè)計獲取齒槽轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)值，根據(jù)響應(yīng)值建立斜極結(jié)構(gòu)永磁驅(qū)動器二階響應(yīng)面回歸方程，采用粒子群優(yōu)化算法對影響齒槽轉(zhuǎn)矩的主要參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋找使齒槽轉(zhuǎn)矩最小的最優(yōu)組合。利用有限元仿真軟件分別計算出不斜極結(jié)構(gòu)和斜極結(jié)構(gòu)解析及優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩，有限元分析結(jié)果表明優(yōu)化后的斜極結(jié)構(gòu)可以顯著消弱永磁驅(qū)動器的齒槽轉(zhuǎn)矩。

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石松寧 女，1982年生，博士研究生，講師，研究方向為永磁驅(qū)動器的建模和優(yōu)化設(shè)計。

王大志 男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)與電力傳動。

Magnet Skewing Optimization Method for Reducing Cogging Torque in Permanent Magnet Drive

Shi Songning1,2Wang Dazhi1
（1. Northeastern University Shenyang 110004 China 2. Liaoning Technical University Huludao 125000 China）

In this paper, the magnet skewing structure is adopted to reduce the cogging torque in permanent magnet drive. The analytical method is used to give the expression of the cogging torque. The quadratic polynomials are employed to construct response surface model based on the response obtained by the Ansys software and the central composite design (CCD) experiment method. Based on this model, the minimal cogging torque is taken as the optimal objective, and then the particle swarm optimization (PSO) algorithm is used to perform optimization and obtain the optimal structure parameters of the PMD. At last, the permanent magnet drive with magnet skewing structure is analyzed and optimized with above method. The results verify that the cogging torque can be notably reduced with this optimization method.

Permanent magnet drive, magnet skewing, response surface methodology, finite element method, particle swarm algorithm

TP215

遼寧省技術(shù)創(chuàng)新重大項目資助（201309001）。

2013-12-04 改稿日期 2014-10-20