郭 文，孫 濤，朱建軍

（1．南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇南京211106；2．滑鐵盧大學(xué)工程學(xué)院，安大略滑鐵盧N2L3G1）

基于不可分離變量的非期望SBM效率評(píng)價(jià)方法

郭 文1，2，孫 濤1，朱建軍1

（1．南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇南京211106；2．滑鐵盧大學(xué)工程學(xué)院，安大略滑鐵盧N2L3G1）

基于松弛變量度量法（slacks－based measure，SBM）評(píng)價(jià)模型，首先區(qū)分投入、期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出為可分離變量和不可分離變量，構(gòu)建了復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)基于不可分離變量的非期望SBM效率評(píng)價(jià)模型，該模型更加符合生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程；其次基于非期望產(chǎn)出總量規(guī)制目標(biāo)，進(jìn)一步構(gòu)建了非期望產(chǎn)出規(guī)制視角下的不可分離變量非期望SBM模型，該模型能直接計(jì)量非期望產(chǎn)出規(guī)制對(duì)系統(tǒng)整體效率的影響程度。最后，以0．5為步長(zhǎng)，運(yùn)用實(shí)例檢驗(yàn)了非期望產(chǎn)出規(guī)制影響生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率的靈敏度。

不可分離變量；非期望產(chǎn)出規(guī)制；非期望松弛變量度量法；總量規(guī)制目標(biāo)

0 引 言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（data envelopment analysis，DEA）方法在擁有相同結(jié)構(gòu)決策單元的復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)中具有巨大的優(yōu)勢(shì)［1］，但該方法無(wú)法獲得投入、產(chǎn)出松弛與效率之間關(guān)系。文獻(xiàn)［2］提出的松弛變量度量法（slacks－based measure，SBM）模型是一種改進(jìn)的DEA方法，該模型將決策單元的投入、產(chǎn)出松弛直接反映在評(píng)價(jià)值的計(jì)算中，很好地解決了上述問(wèn)題。然而，一些復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)過(guò)程不僅產(chǎn)生期望產(chǎn)出，也產(chǎn)生非期望產(chǎn)出，并且非期望產(chǎn)出與期望產(chǎn)出具有“零聯(lián)合性”，在此基礎(chǔ)上，很多學(xué)者構(gòu)建了多種非期望產(chǎn)出SBM模型，并將其應(yīng)用于復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)的研究中［3－6］。文獻(xiàn)［3－4］在商業(yè)銀行效率評(píng)價(jià)的實(shí)證研究中應(yīng)用了非期望產(chǎn)出SBM模型，結(jié)果表明不考慮非期望產(chǎn)出（不良貸款）的效率評(píng)價(jià)模型明顯高估了決策單元的效率；文獻(xiàn)［5－6］則采用非期望SBM（un－desirable SBM，USBM）模型分析了經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)系統(tǒng)的環(huán)境效率，認(rèn)為經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)系統(tǒng)的環(huán)境外部性嚴(yán)重影響了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的可持續(xù)性，SO2、CO2等污染物應(yīng)考慮在效率分析模型中，從而與經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)際情況更加契合。隨著基于非期望產(chǎn)出的效率評(píng)價(jià)研究的深入，非期望產(chǎn)出的減少和規(guī)制也成為該領(lǐng)域研究的重要分支：文獻(xiàn)［7－8］研究了經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)系統(tǒng)的環(huán)境效率，并分析了環(huán)境規(guī)制成本問(wèn)題；文獻(xiàn)［9－10］也從理論上闡述了減少和規(guī)制非期望產(chǎn)出的意義，并且非期望產(chǎn)出的總量控制對(duì)決策單元的效率具有顯著影響［7－10］。

雖然USBM模型將生產(chǎn)系統(tǒng)的非期望產(chǎn)出引入到模型中，很好地解決了生產(chǎn)系統(tǒng)的外部負(fù)效應(yīng)問(wèn)題，然而，大多數(shù)USBM模型仍然存在兩方面的局限。首先，傳統(tǒng)的USBM模型忽視了投入、期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出的不可分離特性［11］。文獻(xiàn)［11］的研究表明，考慮投入、產(chǎn)出間不可分離性的SBM模型更準(zhǔn)確地反映了生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程，評(píng)價(jià)結(jié)果更符合實(shí)際情況；然而，該文獻(xiàn)提出的模型中假設(shè)不可分離投入、產(chǎn)出同比例變化，筆者認(rèn)為非期望產(chǎn)出的減少往往需要外部的強(qiáng)制規(guī)制，即不可分離非期望產(chǎn)出的變化比例與之不同。其次，文獻(xiàn)［9－10］的實(shí)證提出了對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)非期望產(chǎn)出的規(guī)制設(shè)想，然而這些研究都屬于理論研究，缺乏計(jì)量模型中的體現(xiàn)。鑒于此，本文基于USBM模型的建模思路，首先考慮投入、期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出間的不可分離性，構(gòu)建了基于不可分離變量的非期望產(chǎn)出SBM模型，然后在非期望產(chǎn)出總量規(guī)制的思路下進(jìn)一步構(gòu)建了基于非期望產(chǎn)出規(guī)制目標(biāo)下的不可分離變量非期望產(chǎn)出SBM模型，并在應(yīng)用研究中分析了規(guī)制目標(biāo)的靈敏度。

1 傳統(tǒng)USBM模型

文獻(xiàn)［6］在文獻(xiàn)［2］提出的SBM模型的基礎(chǔ)上，考慮工業(yè)生產(chǎn)系統(tǒng)能源在使用過(guò)程中產(chǎn)生的CO2、SO2等污染物，將這些污染物定義為非期望產(chǎn)出，從而引出傳統(tǒng)USBM模型。考慮一個(gè)包含m個(gè)決策單元DMUj（j＝1，2，…，m）的生產(chǎn)系統(tǒng)。生產(chǎn)過(guò)程包含r個(gè)投入、s個(gè)期望產(chǎn)出和t個(gè)非期望產(chǎn)出，那么，可用xj來(lái)表示決策單元j的資源投入向量，yj表示決策單元j的產(chǎn)出向量，zj表示決策單元j的非期望產(chǎn)出向量。則生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)可能集P（x）可以表示為

式中，λj∈R＋是一個(gè)正數(shù)列向量，本文用sx∈Rr、sy∈Rs和sz∈Rt來(lái)表示系統(tǒng)的投入松弛、期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出松弛矩陣，那么USBM模型如下：

上述USBM模型基于生產(chǎn)系統(tǒng)規(guī)模報(bào)酬可變的經(jīng)濟(jì)假設(shè)，文獻(xiàn)［12－13］的研究表明，基于規(guī)模報(bào)酬不變的經(jīng)濟(jì)假設(shè)下只需將模型中的約束條件剔除即可。上述模型的求解可以借鑒文獻(xiàn)［14］的轉(zhuǎn)化方法，本文不再贅述。

2 基于不可分離變量的USBM

前文已經(jīng)提及傳統(tǒng)USBM模型忽視了生產(chǎn)系統(tǒng)投入產(chǎn)出變量間的不可分離性，本文參考文獻(xiàn)［11］對(duì)于可分離變量和不可分離變量的定義，先假設(shè)不可分離變量呈等比例變化，并將其引入U(xiǎn)SBM模型中。為了區(qū)分可分離變量和不可分離變量，本文以上標(biāo)“S”表示可分離變量，上標(biāo)“NS”表示不可分離變量，則生產(chǎn)可能集可以進(jìn)一步表示為

根據(jù)上述分析，本文建立基于不可分離變量的USBM（non－separable USBM，N－USBM），如模型式（4）所示，并采用N－USBM模型來(lái)評(píng)價(jià)考慮不可分離變量的決策單元SBM效率：

模型式（4）同時(shí)將可分離變量和不可分離變量的松弛變量引入到目標(biāo)函數(shù)中，各決策單元的效率評(píng)價(jià)值由決策單元所有投入的混合效率以及所有產(chǎn)出的混合效率構(gòu)成，其中

表示決策單元DMUo所有投入混合效率。

表示決策單元DMUo所有產(chǎn)出混合效率。

上述模型假設(shè)不可分離變量中不可分離投入、不可分離期望產(chǎn)出和不可分離非期望產(chǎn)出等比例變化。然而，非期望產(chǎn)出的減少往往需要額外的成本，即非期望產(chǎn)出的變化比例與期望產(chǎn)出不同，基于該假設(shè)，模型式（4）可以改進(jìn)為

為了區(qū)分模型式（4）和模型式（5），本文將前者稱為N－USBM（I）模型，后者稱為N－USBM（Ⅱ）模型。

定理1 生產(chǎn)系統(tǒng)中的決策單元DMUo，利用上述N－USBM（Ⅱ）模型評(píng)價(jià)得到的效率

再假設(shè)

由于ρo＊是決策單元對(duì)應(yīng)的N－USBM（Ⅱ）模型最優(yōu)解，可得又因?yàn)槭菦Q策單元的最優(yōu)解，則

證畢

定理1表明，N－USBM模型對(duì)于決策單元效率值的評(píng)價(jià)結(jié)果具有單調(diào)性，即：在所有決策單元中，投入少、期望產(chǎn)出高、非期望產(chǎn)出少的決策單元對(duì)應(yīng)的效率評(píng)價(jià)值相對(duì)更高。

3 非期望產(chǎn)出規(guī)制視角下的N－USBM

傳統(tǒng)的DEA方法主要關(guān)注生產(chǎn)投入、產(chǎn)出的改進(jìn)，自USBM模型被提出之后，非期望產(chǎn)出的減少也成為決策單元效率改進(jìn)的一個(gè)重要方面。然而，正如文獻(xiàn)［7］的研究結(jié)論，由于區(qū)域經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)系統(tǒng)間的緊密聯(lián)系，以及環(huán)境污染物的特殊形態(tài)，諸如SO2、CO2等非期望產(chǎn)出在單個(gè)區(qū)域內(nèi)的規(guī)制和控制非常困難，而對(duì)整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)的非期望產(chǎn)出的規(guī)制更加符合實(shí)際，也容易實(shí)現(xiàn)。因此，本文借鑒模型式（5）的建模思路，基于非期望產(chǎn)出總量規(guī)制目標(biāo)構(gòu)建如下約束條件：

基于以上分析，本文將式（11）引入到N－USBM（Ⅱ）模型中，構(gòu)建了基于非期望產(chǎn)出規(guī)制的N－USBM模型（regulated N－USBM，RN－USBM）

該可行解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為

由于N－USBM模型的最優(yōu)解為ρ＊o，則可知ρ＊o≤ρo，而

證畢

定理2表明，RN－USBM模型評(píng)價(jià)得到的決策單元的整體效率值不小于N－USBM（Ⅱ）模型評(píng)價(jià)得到的單個(gè)決策單元的效率均值，即非期望產(chǎn)出規(guī)制目標(biāo)提高了各決策單元的效率均值，提高了生產(chǎn)系統(tǒng)的整體效率。

4 應(yīng)用研究

為了檢驗(yàn)本文模型在復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)中的優(yōu)勢(shì)，本文采用文獻(xiàn)［15］中的生產(chǎn)系統(tǒng)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)用研究，構(gòu)建了一個(gè)包含12個(gè)決策單元、2個(gè)投入、2個(gè)期望產(chǎn)出和1個(gè)非期望產(chǎn)出的生產(chǎn)系統(tǒng)，其中投入2、期望產(chǎn)出2和非期望產(chǎn)出為不可分離變量，其余為可分離變量，具體如表1所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)［15］）。

采用模型式（2）、模型式（5）和模型式（12）評(píng)價(jià)上述生產(chǎn)系統(tǒng)各決策單元的生產(chǎn)效率，為了對(duì)比RN－USBM模型與前兩個(gè)模型的差異，本文選擇非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)（Q）取106．5，即要求非期望產(chǎn)出總量減少76．5。3個(gè)模型的評(píng)價(jià)結(jié)果如表2所示。

表1 生產(chǎn)系統(tǒng)投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)

表2 非期望產(chǎn)出規(guī)制、不可分離變量USBM模型評(píng)價(jià)結(jié)果

對(duì)比USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型的決策單元效率評(píng)價(jià)結(jié)果可知，USBM模型高估了決策單元的效率，主要原因在于USBM模型忽視了投入產(chǎn)出變量的不可分離特性，即投入2、產(chǎn)出2和非期望產(chǎn)出松弛量的變動(dòng)是關(guān)聯(lián)的。對(duì)比N－USBM（Ⅱ）模型和RN－USBM模型的決策單元效率評(píng)價(jià)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Q＝106．5時(shí)，決策單元的效率值以及生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率值均增大，表明非期望產(chǎn)出規(guī)制有助于生產(chǎn)系統(tǒng)效率的提升。另外，3種模型評(píng)價(jià)結(jié)果的差異也造成了決策單元效率排名的變化。

為了進(jìn)一步分析決策單元無(wú)效率的主要原因，本文測(cè)算了USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型中的投入產(chǎn)出松弛量，測(cè)算結(jié)果如表3所示。

表3 USBM模型、N－USBM（Ⅱ）模型投入產(chǎn)出松弛量

以決策單元C為例，無(wú)效率的主要原因是產(chǎn)出2小于前沿面25．162 5，而非期望產(chǎn)出高于前沿面5．977 6。表3的結(jié)果還表明，N－USBM（Ⅱ）模型改變了決策單元的效率優(yōu)化路徑，以決策單元C為例，其USBM模型評(píng)價(jià)的投入產(chǎn)出松弛矩陣為［12．300 0，44．400 0，0．0000，9．900 0，6．000 0］T，而其N(xiāo)－USBM（Ⅱ）模型評(píng)價(jià)的投入產(chǎn)出松弛矩陣為［12．300 0，0．0000，0．0000，25．162 5，5．977 6］T，原因在于N－USBM（Ⅱ）模型中投入2、產(chǎn)出2和非期望產(chǎn)出是不可分離的，投入2與產(chǎn)出2的變化比例為0．907 5，非期望產(chǎn)出的變化比例為0．998 5（見(jiàn)表2），其松弛量的變動(dòng)也是關(guān)聯(lián)的。

圖1 非期望產(chǎn)出規(guī)制靈敏度分析

為了進(jìn)一步分析非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)影響生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率的靈敏度，本文設(shè)置步長(zhǎng)為0．5，Q從總量183開(kāi)始遞減，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Q＝108時(shí)，生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率開(kāi)始上升。限于篇幅，本文圖1僅以非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)Q＝108前后15個(gè)步長(zhǎng)的生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率變動(dòng)情況來(lái)反映其靈敏度。

由圖1可以發(fā)現(xiàn)，Q的取值與生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率呈負(fù)向關(guān)系，隨著Q的取值減小，系統(tǒng)效率值緩慢提升，這表明非期望產(chǎn)出規(guī)制能夠改善系統(tǒng)整體效率。然而，當(dāng)Q≥108．5時(shí)，系統(tǒng)整體效率值不變，說(shuō)明非期望產(chǎn)出規(guī)制具有門(mén)檻值，高于門(mén)檻值的非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)不能發(fā)揮改善系統(tǒng)整體效率的作用。通過(guò)進(jìn)一步細(xì)化步長(zhǎng)取值，本文得到案例中的非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)門(mén)檻值為108．287，即Q≤108．287時(shí)，生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率開(kāi)始升高。顯然，圖1的結(jié)果驗(yàn)證了定理2的結(jié)論，即適當(dāng)?shù)姆瞧谕a(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)能夠提高生產(chǎn)系統(tǒng)的整體效率。

5 結(jié) 論

針對(duì)實(shí)踐中存在不可分離投入產(chǎn)出的復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)效率評(píng)價(jià)問(wèn)題，本文首先提出了基于不可分離投入產(chǎn)出變量的USBM效率評(píng)價(jià)模型，該模型改進(jìn)了傳統(tǒng)USBM模型忽視生產(chǎn)系統(tǒng)投入、期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出變量的不可分離特性的缺陷，更加契合此類(lèi)生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程。但在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)不可分離投入產(chǎn)出變量的特性來(lái)選擇N－USBM（I）模型或N－USBM（Ⅱ）模型。其次，從非期望產(chǎn)出規(guī)制的研究視角進(jìn)一步將上述模型拓展為非期望產(chǎn)出規(guī)制視角下的N－USBM模型，該模型將非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)引入模型的約束中，能夠直接計(jì)量非期望產(chǎn)出規(guī)制對(duì)系統(tǒng)整體效率的影響程度（靈敏度），并且可通過(guò)細(xì)化步長(zhǎng)的方式探尋非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)的門(mén)檻值。本文的研究對(duì)于存在不可分離投入產(chǎn)出的復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)具有顯著優(yōu)勢(shì)，也為復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)非期望產(chǎn)出規(guī)制總量目標(biāo)的設(shè)定政策提供了一種定量分析手段，但決策單元非期望產(chǎn)出規(guī)制具體目標(biāo)對(duì)系統(tǒng)整體效率、決策單元效率的影響尚待進(jìn)一步討論。

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E－mail：guowen＿870608＠163．com

孫 濤（1959－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楣芾砜茖W(xué)與工程。E－mail：nuaastao＠163．com

朱建軍（1976－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程理論與方法。

E－mail：zhujianjun＠nuaa．edu．cn

Undesirable SBM system efficiency evaluation methods based on non－separable variables

GUO Wen1，2，SUN Tao1，ZHU Jian－jun1
（1．College of Economic and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China；2．College of Engineering，University of Waterloo，Waterloo N2L3G1，Canada）

On the basis of slacks－based measure（SBM）model，firstly，divide the inputs，desirable outputs and undesirable outputs into separable and non－separable variables，build the undesirable SBM efficiency evaluation model based on non－separable variables to the complex production system．This model is more suitable to the actual production process of the production system．Then，on the basis of total regulation target of undesirable outputs，build the non－separable variables undesirable SBM model according to the perspective of regulation of undesirable outputs，this model measures the impact of regulation of undesirable outputs on the efficiency of the whole system．Finally，take 0．5as the step length，use an example to test the sensitivity of its impact．

non－separable variables；regulation of undesirable outputs；undesirable slacks－based measure（SBM）；total regulation target

O 224

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．17

郭 文（1987－），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程和系統(tǒng)效率。

1001－506X（2015）06－1331－07

2014－06－03；

2014－10－31；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014－12－09。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141209．0118．004．html

國(guó)家自然科學(xué)基金（71171112）；教育部人文社科基金（11YJA790133）；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程（KYZZ＿0107）；國(guó)家留學(xué)基金委2014年國(guó)家建設(shè)高水平大學(xué)公派研究生項(xiàng)目資助課題