雷新亮，卿　華

（中國(guó)燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

基于PID控制的磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

雷新亮，卿華

（中國(guó)燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性是磁軸承與轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)綜合作用的結(jié)果，其好壞不僅決定穩(wěn)定懸浮能否實(shí)現(xiàn)，而且還直接影響其動(dòng)態(tài)性能和轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)精度。對(duì)基于PID控制的主動(dòng)徑向磁軸承的剛度和阻尼特性進(jìn)行了深入研究，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)五自由度的多電模擬發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速、穩(wěn)定性分析，得到各階臨界轉(zhuǎn)速及穩(wěn)定與否的判定方法，并分析了軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速的不同特性。研究結(jié)果能為多電發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)減振設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持。

多電發(fā)動(dòng)機(jī)；主動(dòng)磁軸承；PID控制；模擬轉(zhuǎn)子；轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)；臨界轉(zhuǎn)速；穩(wěn)定性

1　引言

主動(dòng)磁軸承（AMB）作為一種新的支承形式，具有非接觸、無(wú)摩擦、無(wú)磨損、無(wú)振動(dòng)、無(wú)噪聲、高可靠性、長(zhǎng)壽命、不需潤(rùn)滑和密封等一系列優(yōu)良品質(zhì)，從根本上改變了傳統(tǒng)的支承形式，在航空航天、能源交通、超高速精密加工等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

為深入研究主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速特性，使轉(zhuǎn)子無(wú)障礙、平穩(wěn)地通過(guò)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，就必須通過(guò)深入研究磁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、機(jī)電耦合特性及控制規(guī)律，得到主動(dòng)磁軸承的剛度阻尼特性規(guī)律，從而進(jìn)一步研究磁軸承-轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。而弄清磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，是實(shí)現(xiàn)主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子能夠穩(wěn)定、安全運(yùn)轉(zhuǎn)的保證，是實(shí)現(xiàn)磁軸承在航空發(fā)動(dòng)機(jī)上應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)之一。

早在1980年，Haberman等［1］就對(duì)磁軸承的剛度特性作了研究，并提出了浴盆形復(fù)剛度曲線。此后，多數(shù)研究者均以此為基礎(chǔ)分析磁軸承系統(tǒng)的支承特性。Humphris等［2］用磁軸承系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，推導(dǎo)出了磁軸承的等效剛度和等效阻尼計(jì)算公式。Baloh等［3］采用最小均方誤差自適應(yīng)估計(jì)方法，測(cè)試了磁軸承的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)。Kim等［4］提出基于自適應(yīng)濾波器參數(shù)收斂的方法，實(shí)現(xiàn)了電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)的自適應(yīng)識(shí)別功能。Jeon等［5］以柔性轉(zhuǎn)子模型為分析對(duì)象，提出了用激勵(lì)測(cè)試獲得模型參數(shù)和剛度特性的方法。Lim等［6］采用激勵(lì)的方法，識(shí)別了PID控制策略下的磁軸承支承特性參數(shù)。國(guó)內(nèi)對(duì)磁軸承支承特性也做了大量探索性研究。汪希平［7］對(duì)磁軸承的等效剛度和等效阻尼的計(jì)算表達(dá)式進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)試了磁軸承的復(fù)剛度特性［8］，驗(yàn)證了Haberman的浴盆曲線理論；趙雷等［9］分析了控制環(huán)節(jié)各參數(shù)對(duì)磁軸承剛度特性的影響；胡業(yè)發(fā)等［10］研究了考慮交叉剛度和交叉阻尼的磁軸承的支承特性；吳華春等［11］理論分析了濾波、滯后、衰減等因素對(duì)磁軸承剛度的影響；劉小靜等［12］通過(guò)推導(dǎo)非線性剛度公式，分析了控制器參數(shù)、位移變化速度對(duì)剛度的影響；肖凱等［13］理論研究了基于PD控制的磁軸承剛度與阻尼。

本文通過(guò)深入分析磁軸承的剛度、阻尼特性，結(jié)合磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制特性，建立了一種磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析方法，闡述了軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速的區(qū)別，分析了控制參數(shù)對(duì)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2　磁軸承剛度和阻尼特性分析

2.1單自由度磁懸浮系統(tǒng)模型

首先建立磁軸承控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。圖1為一個(gè)單自由度差動(dòng)激磁的磁軸承系統(tǒng)框圖，圖中轉(zhuǎn)子位置可由位移傳感器及其變換電路、調(diào)節(jié)電路和功放電路組成的控制器精密控制。單自由度磁軸承系統(tǒng)控制框圖見(jiàn)圖2。

整個(gè)控制系統(tǒng)分別由傳感器、控制器、功率放大器、濾波等環(huán)節(jié)組成，其控制電流與轉(zhuǎn)子位移的傳遞函數(shù)可表示為：

式中：I（S）為系統(tǒng)的控制電流，Gs（S）為傳感器的傳遞函數(shù)，Gp（S）為功率放大器的傳遞函數(shù)，Gc（S）為控制器的傳遞函數(shù)，X（S）為轉(zhuǎn)子的位移量，S為拉普拉斯變換算子?？梢?jiàn)，磁軸承的剛度和阻尼特性，應(yīng)與傳感器、控制器、功率放大器緊密相關(guān)。

2.2位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)

在忽略鐵心材料磁阻和轉(zhuǎn)子重力的情況下，磁軸承轉(zhuǎn)子中心的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

圖1　R單自由度磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The structure of single DOFmagnetic system

圖2　R單自由度磁懸浮系統(tǒng)控制框圖Fig.2 The flow diagram of single DOFmagnetic system

式中：x0為磁軸承轉(zhuǎn)子處于平衡位置的軸承氣隙長(zhǎng)度，x為磁軸承轉(zhuǎn)子偏離中心的距離，一般x?x0；I0為偏磁電流分量，i為磁軸承轉(zhuǎn)子因偏心而產(chǎn)生的控制電流，一般i?I0；μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0= 4π×10-7N/A2；S0為磁軸承轉(zhuǎn)子與靜子之間氣隙截面積；N為電磁線圈匝數(shù)。

將式（2）看作磁軸承轉(zhuǎn)子偏心距x的函數(shù)，并考慮到磁軸承的實(shí)際工作情況（一般情況下x很小，趨近于0），在x=0處采用泰勒公式展開(kāi)：

雖然隨著x的增加方程（3）的精度下降，尤其是在磁軸承轉(zhuǎn)子與軸承接觸、強(qiáng)電流（鐵心飽和）及偏磁電流很小等極限狀態(tài)下，方程（3）絕對(duì)不適合；但實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及理論都證實(shí)，簡(jiǎn)單的線性化方程（3）在很大范圍內(nèi)都適合。，則式（3）可簡(jiǎn)

化為：

式中：ki稱(chēng)為磁軸承的電流剛度系數(shù)，kx稱(chēng)為磁軸承的位移剛度系數(shù)。由于電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)，與磁軸承的氣隙截面積、線圈匝數(shù)、磁導(dǎo)率、偏磁電流分量、氣隙大小有關(guān)，而這些參數(shù)均為磁軸承的固有參數(shù)，因此位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)為磁軸承的固有特性參數(shù)，是研究磁軸承的剛度、阻尼特性的基礎(chǔ)。

2.3基于PID控制的磁軸承剛度和阻尼特性

采用PID控制器的磁軸承控制方程為：

式中：cp，cd，ci分別為PID控制的比例、微分、積分常數(shù)，t為時(shí)間。其對(duì)應(yīng)的控制器傳遞函數(shù)為：

為便于與普通剛度-阻尼系統(tǒng)比較，需引入廣義剛度［14］的概念。為此，對(duì)線性化的磁軸承支承力位移和電流函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

根據(jù)上述定義，若PID控制器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為式（6），則磁軸承廣義剛度表達(dá)式為：

由振動(dòng)理論可知，普通具有彈簧阻尼特性支承的廣義剛度為：

式中：k、c分別為磁軸承剛度和阻尼。

為考察其頻域特性，令S=jω，則式（8）可簡(jiǎn)化為：

式（9）可簡(jiǎn)化為：

對(duì)比式（10）和式（11）可知，要使PID控制的磁軸承等效于一般彈簧阻尼支承，則式（10）、式（11）的實(shí)部和虛部必須各自相等，則有：顯然，式（12）為磁軸承支承特性（剛度和阻尼）與PID控制參數(shù)之間函數(shù)關(guān)系的顯式表達(dá)式。

2.4基于磁軸承控制系統(tǒng)的磁軸承剛度和阻尼特性

設(shè)某控制器的傳遞函數(shù)為G（S），不失一般性，

將式（12）所得結(jié)果合理外推，得到一般控制條件下的磁軸承剛度和阻尼特性公式［15］：

由式（1）可得，整個(gè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

由于磁軸承根據(jù)傳感器檢測(cè)的位移信號(hào)來(lái)調(diào)整電磁力的大小及作用方向，進(jìn)而使轉(zhuǎn)子恢復(fù)其理想位置，因此磁軸承系統(tǒng)性能的好壞很大程度上取決于所采用位移傳感器的性能。由于磁懸浮轉(zhuǎn)子相對(duì)于平衡位置的位置變化量，是由位移傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)換為電壓量，再由信號(hào)放大器輸出，并且為消除傳感器電路中的高頻噪聲，這一環(huán)節(jié)還帶有低通濾波器，所以傳感器的傳遞函數(shù)一般為：

式中：As為傳感器增益，Ts為傳感器滯后時(shí)間常數(shù)系數(shù)。

功率放大器是磁軸承系統(tǒng)的一個(gè)重要部件，是控制器控制命令的執(zhí)行者，它根據(jù)控制器的輸出在磁軸承定子線圈中產(chǎn)生比例電流信號(hào)，以產(chǎn)生所需電磁力，從而使轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)到控制器所設(shè)定的位置，其性能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)有著重要影響。當(dāng)功率放大器在線性范圍內(nèi)工作時(shí)，其等效傳遞函數(shù)為：a

式中：Aa為功率放大器增益，Ta為功率放大器衰減系數(shù)。

由式（6）、式（14）～式（16）可知，單自由度磁軸承控制下的傳遞函數(shù)一般形式為：

為考察其頻域特性，令S=jω，則式（13）變?yōu)椋?/p>

若忽略Ts和Ta的影響，則式（18）可簡(jiǎn)化為：

式（18）和式（19）即為基于PID控制的磁軸承剛度、阻尼的一般表達(dá)式?？梢?jiàn)，基于PID控制的磁軸承剛度、阻尼與三方面因素相關(guān)：①磁軸承本身的結(jié)構(gòu)、電磁參數(shù)，如真空磁導(dǎo)率、轉(zhuǎn)靜子氣隙截面積、氣隙大小、線圈匝數(shù)、偏磁電流等；②PID控制器參數(shù)（比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)）及控制信號(hào)頻率；③傳感器和功率放大器相關(guān)參數(shù)（傳感器、功率放大器增益，傳感器滯后時(shí)間常數(shù)，功率放大器衰減系數(shù)）。

實(shí)際磁軸承中，磁軸承本身的結(jié)構(gòu)、電磁參數(shù)以及傳感器和功率放大器相關(guān)參數(shù)一般確定不變，而PID控制器相關(guān)參數(shù)可調(diào)，因此一般通過(guò)調(diào)節(jié)控制器相關(guān)參數(shù)來(lái)改變磁軸承的剛度、阻尼特性。下面舉實(shí)例說(shuō)明。

某實(shí)驗(yàn)用徑向磁軸承相關(guān)參數(shù)為：ki=522 N/A，kx=1.74×106N/m，As=8×103V/m，Aa=0.6 A/V，Ts= 5×10-4s，Ta=2×10-5s，cp=3.15，ci=305，cd=0.018。可得到磁軸承支承剛度、阻尼隨控制頻率的變化，如圖3所示。從圖中可知：

圖3　R磁軸承的支承剛度和阻尼特性Fig.3 The stiffnessand damping characteristicsofmagnetic bearing

（1）控制頻率在磁軸承共振頻率1 600 Hz以下時(shí)，支承剛度隨控制頻率的增大而迅速增大；控制頻率超過(guò)共振頻率后，支承剛度隨控制頻率的增大而緩慢減小。實(shí)際使用中，控制頻率應(yīng)避開(kāi)磁軸承共振頻率。

（2）控制頻率在0～20 Hz之間時(shí)，支承阻尼小于零；控制頻率在20～1 500 Hz之間時(shí)，支承阻尼大于零，其中控制頻率在85 Hz左右時(shí)阻尼值達(dá)到最大，而后迅速減小，總體趨勢(shì)是阻尼先增大后減?。豢刂祁l率大于1 500 Hz后，支承阻尼小于零且變化平穩(wěn)。控制器設(shè)計(jì)中，必須避開(kāi)阻尼小于零的控制頻率帶。

3　磁軸承轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

以某多電發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子為例，根據(jù)磁軸承剛度、阻尼特性，采用SAMCEF轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。由于關(guān)注重點(diǎn)是磁軸承的轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性，故在原多電發(fā)動(dòng)機(jī)的基礎(chǔ)上，建立了多電發(fā)動(dòng)機(jī)模擬轉(zhuǎn)子（圖4），其轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性與原多電發(fā)動(dòng)機(jī)的基本一致。

圖4　R某型多電發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖Fig.4 The structuremodelofamore-electric engine

從力學(xué)模型本質(zhì)上看，這是一個(gè)五自由度磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。其中前、后徑向磁軸承約束轉(zhuǎn)子的四個(gè)徑向自由度，支撐轉(zhuǎn)子正常運(yùn)轉(zhuǎn)；推力軸承約束轉(zhuǎn)子的軸向自由度。其中前、后徑向磁軸承有8個(gè)磁極，8個(gè)磁極對(duì)轉(zhuǎn)子的作用可簡(jiǎn)化為8個(gè)具有阻尼效果的彈簧，如圖5所示。

假定兩個(gè)磁軸承采用分散式控制，考慮到磁軸承在x、y方向的耦合作用較弱，可將支承簡(jiǎn)化為各向同性，可得：

圖5　R徑向磁軸承簡(jiǎn)化示意圖Fig.5 Idealization diagram of AMB

前、后徑向磁軸承的kx=6.85×105N/m，ki=61.2 N/A，其他相關(guān)參數(shù)與2.4節(jié)中的一致。則磁軸承剛度、阻尼特性隨渦動(dòng)頻率的變化如圖6所示。

圖6　R磁軸承剛度和阻尼與渦動(dòng)頻率的關(guān)系Fig.6 Stiffnessand damping vs.whirling frequency

不考慮兩個(gè)徑向磁軸承的阻尼效應(yīng)，模擬轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果如表1所示。圖7為模擬轉(zhuǎn)子前六階臨界轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的振型?？梢?jiàn)，模擬轉(zhuǎn)子的前兩階臨界轉(zhuǎn)速為剛體型臨界轉(zhuǎn)速，其中第一階為平動(dòng)型，第二階為俯仰型。由于轉(zhuǎn)子在剛體型臨界轉(zhuǎn)速時(shí)其應(yīng)變能主要集中在軸承上，可稱(chēng)為軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速；第三～第六階為彎曲型臨界轉(zhuǎn)速，應(yīng)變能主要集中在轉(zhuǎn)子上，可稱(chēng)為轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速。

表1　R不考慮磁軸承阻尼效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速分析結(jié)果Tab le 1 The simulation resu lts at critical speed unconsidering damping effects

圖7　R模擬轉(zhuǎn)子前六階振型示意圖Fig.7 The firstsix vibrationmodesof rotor

考慮磁軸承阻尼效應(yīng)的情況下，模擬轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速及對(duì)數(shù)衰減率δ結(jié)果如表2所示。振型與圖7相似。對(duì)比表1和表2可以看出：

（1）考慮磁軸承阻尼效應(yīng)后，軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速明顯減小，而轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速基本不變。這說(shuō)明控制器參數(shù)變化時(shí)，能改變模擬轉(zhuǎn)子軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速，而不能改變轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速，除非改變轉(zhuǎn)子幾何尺寸。

表2　R考慮磁軸承阻尼效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果Tab le 2 The simu lation results at critical speed considering damping effects

（2）考慮磁軸承阻尼效應(yīng)后，轉(zhuǎn)子前三階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的δ＞0，而后三階臨界轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的δ＜0。這表明在通過(guò)后三階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子將失穩(wěn)，因此必須考慮控制器參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域，以避免磁軸承轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)失穩(wěn)。

4　結(jié)論

（1）磁軸承的剛度和阻尼，除與軸承的固有參數(shù)（位移剛度系數(shù)、電流剛度系數(shù)）直接相關(guān)外，還與控制器的傳遞函數(shù)和信號(hào)的角頻率（即系統(tǒng)信號(hào)中可能出現(xiàn)的任何頻率成分）有關(guān)；分析計(jì)算時(shí)至少應(yīng)以轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)頻率為依據(jù)。

（2）為避免轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，在系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行前，需預(yù)知其穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性，避開(kāi)控制參數(shù)選擇的非穩(wěn)定性區(qū)域，采取措施避免轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近運(yùn)行。

（3）磁軸承控制器參數(shù)變化時(shí)，能改變轉(zhuǎn)子的軸承主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速，而對(duì)轉(zhuǎn)子主導(dǎo)型臨界轉(zhuǎn)速影響較小。

（4）本文建立的先由控制系統(tǒng)穩(wěn)定性理論分析方法獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性控制器參數(shù)，再基于控制器參數(shù)分析轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性，用于指導(dǎo)轉(zhuǎn)子試驗(yàn)，然后由試驗(yàn)結(jié)果修正控制器參數(shù)的磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性分析方法，為最終獲得系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速分布和穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。

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Analysison m agnetic bearing rotor dynam ics based on PID control

LEIXin-liang，QINGHua
（China Gas Turbine Establishment，Chengdu 610500，China）

The characteristics ofmagnetic bearing rotor dynamics are the interaction results ofmagnetic suspension characteristics and rotor dynamics.Its design level notonly determines the achievementofmagnetic suspension，butalso influences the dynamic characteristics and the precision of the rotor.The stiffness and damping characteristics of radical activemagnetic bearing（AMB）based on PID controlwas investigated.The critic speed and stability of a five DOFsmore-electrical enginewas analyzed.Based on the analyzing results，the critical speed and stability criterion of each degreewere obtained.At last，the different characteristicsof bearing-dominated critical speed and rotor-dominated critical speed were researched.The researching resultswilloffer technicalsupports for the damping design ofmore-electricalengine.

more-electric engine；activemagnetic bearing；PID control；simulated rotor；rotor dynamics；critical speed；stability

雷新亮（1982-），男，湖南臨武人，工程師，碩士，主要從事航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度設(shè)計(jì)工作。

V231.96

A

1672-2620（2015）02-0020-06

2014-11-27；修回日期：2015-04-10